為什麼尤拉恆等式被讚為美麗的等式？

尤拉恆等式（Euler’s Identity）以簡短的式子連結五個基本數學常數，因此常被讚為美麗的公式。

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

這個等式連結了算術、幾何、分析與代數中的重要常數。費曼在《費曼物理學講義》第一卷第22章中，以“This is our jewel.”評價更一般的尤拉公式。這句話所指的是下文的一般公式，應與僅針對上述特殊恆等式的引文區分。

本文將解釋五個常數的意義、從尤拉公式推導恆等式、以絕對收斂的級數證明公式，並說明旋轉的幾何解釋。討論應用時，會區分特定角度的恆等式與適用於任意角度的公式。

五個基本數學常數

\(0,1,\pi,e,i\) 在數學的不同場合扮演基本角色。將它們分配到不同學科只是說明方式，並不表示這些常數原本互不相關。

1. \(0\)：加法單位元素

\(0\) 是加法單位元素：對任意數 \(a\)，皆有 \(a+0=a\)。它也可以表示數量不存在，或在位值記數法中占位；這裡著重於加法的性質。

2. \(1\)：乘法單位元素

\(1\) 是乘法單位元素：對任意數 \(a\)，皆有 \(a\cdot1=a\)。自然數是否包含0是慣例問題，不影響1作為乘法單位元素的角色。

3. \(\pi\)：圓周率

\(\pi\) 是約為 \(3.14159\dots\) 的無理數，表示歐幾里得平面中圓周長與直徑的比值。它也出現在三角函數與弧度制中。這裡的關鍵角度 \(\pi\) 表示半周旋轉。

4. \(e\)：自然對數的底數

\(e\) 是約為 \(2.71828\dots\) 的無理數，也是自然對數的底數。對實變數 \(x\)，\(e^x\) 的導數仍為 \(e^x\)，原函數為 \(e^x+C\)。它常用於成長、衰減的指數模型，但並非所有連續變化都遵循指數模型。

5. \(i\)：虛數單位

\(i\) 是滿足 \(i^2=-1\) 的虛數單位。\(-i\) 也滿足相同方程式，因此通常約定複數平面中向上的方向對應 \(i\)。複數可寫成 \(a+bi\)，其中 \(a,b\) 為實數，擴展了處理方程式與旋轉的範圍。

尤拉恆等式將算術中的 \(0\) 和 \(1\)、幾何中的 \(\pi\)、分析中的 \(e\)，以及代數中的 \(i\) 連結在同一個等式中。

從尤拉公式推導

尤拉恆等式是一般的尤拉公式在角度取 \(\pi\) 時的特例。本文中 \(x\) 為實數，角度以弧度表示。\(e^z\) 表示下文用級數定義的單值複數指數函數 \(\exp z\)。

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

這個公式透過虛數單位 \(i\)，將左邊的指數函數與右邊的三角函數連結起來。

代入 \(x=\pi\)，即180度對應的弧度值：

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi \]

因為 \(\cos\pi=-1\)、\(\sin\pi=0\)，可得：

\[ e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 \]

因此：

\[ e^{i\pi} = -1 \]

兩邊加1：

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

如此就從尤拉公式推導出尤拉恆等式。

以麥克勞林級數證明

為什麼 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) 成立？我們使用麥克勞林展開，但必須確認複數指數函數的定義與級數的收斂性，不能僅在實變數的等式中形式地代入複數。

定義 \(\exp z=\sum_{n=0}^{\infty}z^n/n!\)。\(z=0\) 時收斂顯然成立。對固定的複數 \(z\ne0\)，相鄰項絕對值的比 \(|z|/(n+1)\) 趨近0，因此級數絕對收斂。對實數 \(x\)，它與通常的指數函數一致；正弦與餘弦也有以下展開。這三個等式對所有實數 \(x\) 都成立。

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

在複數指數函數的級數中令 \(z=ix\)。因為 \(x\) 為實數，\(ix\) 為純虛數（\(x=0\) 時為0）。利用 \(i^1=i\)、\(i^2=-1\)、\(i^3=-i\)、\(i^4=1\) 的四步循環：

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots \]\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots \]

絕對收斂允許將偶數次項與奇數次項分別合併。因為 \(x\) 是實數，第一個括號給出實部，第二個括號給出虛部的值。虛部本身是實數，應與乘上 \(i\) 後的部分區分。

\[ e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \right) \]

第一個括號是 \(\cos x\) 的級數，第二個括號是 \(\sin x\) 的級數。因此：

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

這就證明了指數函數與三角函數之間的關係。

複數平面中的幾何意義

尤拉恆等式也可以透過**複數平面（高斯平面）**獲得幾何解釋。

將複數 \(z=a+bi\) 對應到點 \((a,b)\)，橫座標是實部，縱座標是虛部的值。對實數 \(\theta\)，有 \(|e^{i\theta}|=1\)，所以乘以 \(e^{i\theta}\) 會保持長度，並繞原點旋轉。\(\theta\) 為正時逆時針旋轉，為負時順時針旋轉；原點保持不動。

從這個角度看 \(e^{i\pi}=-1\)：

從實軸上的 \(1\)，即點 \((1,0)\) 出發。
乘以 \(e^{i\pi}\)，相當於繞原點旋轉 \(\pi\) 弧度，也就是180度。
從 \(1\) 旋轉半周，就會到達對面的 \(-1\)，即點 \((-1,0)\)。

因此，這個恆等式表達了從 \(1\) 出發旋轉半周會到達 \(-1\) 的幾何事實。

  graph TD
    A["尤拉恆等式 e^(iπ) + 1 = 0"] -->|"包含"| B["e（分析：連續變化）"]
    A -->|"包含"| C["i（代數：複數平面中的旋轉）"]
    A -->|"包含"| D["π（幾何：半圓弧）"]
    A -->|"包含"| E["1, 0（算術：起點與平衡）"]

李昂哈德·尤拉

李昂哈德·尤拉（Leonhard Euler，1707—1783）出生於瑞士，是18世紀的代表性數學家。他對多個數學分支作出重要貢獻，也研究物理學、天文學與工程問題。

尤拉留下大量論文與著作，晚年失明後仍積極研究。他在1748年出版的《Introductio in analysin infinitorum》第一卷中，將函數放在分析學的核心位置，重視 \(f(x)\) 記號及 \(e\) 與指數函數的角色。書中也討論無窮級數、無窮乘積與連分數。

本文給出的是利用複數指數函數定義與絕對收斂的現代解釋，不應直接視為尤拉著作中運用無窮小等論證的同一份證明。

科學與工程中的應用

應用時主要使用的是角度可以變化的尤拉公式，而不是只靠 \(x=\pi\) 的特殊恆等式完成所有計算。

訊號處理與傅立葉分析

傅立葉分析以三角函數或複數指數函數的分量表示訊號。週期訊號的級數、非週期訊號的轉換等，需要指定函數條件與收斂的意義。\(e^{i\omega t}\) 對時間的導數是 \(i\omega e^{i\omega t}\)；當 \(\omega\ne0\) 時，一個原函數是 \(e^{i\omega t}/(i\omega)\)。但對級數逐項微分或積分，仍需額外條件。

FFT是有效率地計算有限資料之離散傅立葉轉換的演算法。一般失真JPEG的基本方式使用離散餘弦轉換（DCT），應與「JPEG直接使用FFT」的說法區分。

電機與電子工程

對線性非時變交流電路，在單一頻率的正弦穩態下，可用相量（phasor）表示電壓、電流，以複數代數計算振幅和相位。暫態須另外處理；疊加多個頻率時，應分別分析各頻率。不能將這個方法無條件用於非線性電路或任意時間變化。

量子力學

在非相對論量子力學中，薛丁格方程式描述波函數，也就是複數機率振幅。對正規化的位置表象波函數 \(\psi(x,t)\)，\(|\psi(x,t)|^2\) 是位置的機率密度；波函數本身並不是機率。自由粒子的平面波與能量本徵態的時間演化會出現複數指數函數，但一般波函數並不是單一指數函數。

結語：等式的魅力

尤拉恆等式令人聯想到拼圖的碎片終於組成完整的圖畫：圓周率 \(\pi\)、分析中的 \(e\)、虛數單位 \(i\)，以及最基本的 \(1\) 和 \(0\)。這些關係可以讓讀者感受到數學彷彿映照著世界更深層的秩序。

數學常被看作技術語言，但這個恆等式的簡潔與廣泛聯繫，也能像詩歌或藝術一樣被欣賞。讀者所感受到的美，來自這些觀念之間的和諧。

尤拉恆等式：連結五個數學常數的等式

深入解說數學史上最美麗的尤拉恆等式的背景與意義。