1. 引言：从波的叠加来思考
声音、光、电磁波等各种波无处不在。看起来复杂而不规则的波形，能否理解为简单波形的组合？与约瑟夫·傅里叶相关的傅里叶级数，以及使用连续频率的傅里叶变换，为这种思路提供了数学表达。不过，使用时需要说明函数满足的条件，以及收敛的含义。
本文从基本公式和直观理解出发，介绍它们在现代信号处理中的应用。
2. 傅里叶级数：分解周期波形
傅里叶级数用频率为基频整数倍的三角函数成分来表示周期函数。能够计算出系数，并不意味着级数在每一点都收敛到原函数的值。这里考虑分段光滑的周期函数：一周期可以分成有限个区间，函数在各区间内部连续可微，且函数及其导函数在端点处具有有限的单侧极限。在这个充分条件下，级数在连续点收敛到原函数的值，在跳跃间断点则收敛到左右极限的平均值。
\[ \lim_{M\to\infty} S_M(x)=\frac{f(x-)+f(x+)}{2} \]\(S_M\) 表示保留到第 \(M\) 次谐波的部分和。在两个周期的连接处，也要使用周期延拓后的左右极限。跳跃附近存在吉布斯现象所产生的过冲；增加项数时，这种过冲并不会消失。因此，不能认为增加项数就会使整个区间上的误差一致趋于零。
2.1 实数形式的傅里叶级数
对于满足上述条件、周期为 \(2\pi\) 的实值函数，下面的等式在连续点成立。角度以弧度表示。在跳跃间断点，应把左端替换为左右极限的平均值。
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]\(a_0,a_n,b_n\) 称为傅里叶系数。常数项，即直流分量和一周期的平均值，是 \(a_0/2\)，不是 \(a_0\)。对于 \(n\ge1\)，\(a_n,b_n\) 分别是余弦和正弦的权重。利用三角函数的正交性，可以得到以下系数公式。
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \]\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx \]2.2 复数形式的傅里叶级数
利用欧拉公式 \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)，同一个级数可以写成复指数函数的形式。下面的双边求和，应理解为从 \(n=-M\) 到 \(M\) 的对称部分和的极限。连续点的等式和跳跃处的注意事项与实数形式相同。
\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} \]\[ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \]当 \(f\) 为实值函数时，\(c_0=a_0/2\)，\(c_n=(a_n-ib_n)/2\)，\(c_{-n}=(a_n+ib_n)/2\)（\(n\ge1\)）。因此，即使原波形是实值的，用复指数函数表示时也会出现负频率。复数形式还便于理解级数与傅里叶变换的联系。
3. 傅里叶变换：扩展到非周期函数
傅里叶级数也能用于经过周期延拓的函数。但若要在整个实数轴上描述单个脉冲等信号，具有连续频率的傅里叶变换更为合适。把周期逐渐增大、使频率间隔逐渐缩小，可以提供直观的联系。不过，交换极限与积分需要满足条件，单凭这个直观过程还不能作为一般性证明。
3.1 定义与逆变换
本文约定正变换的指数带负号，逆变换带因子 \(1/(2\pi)\)。如果 \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty\)，则下面的正变换对所有实数 \(\omega\) 都绝对收敛。
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]例如，如果 \(f\) 连续，且 \(f\) 和 \(F\) 都绝对可积，就可以用下面的逆变换还原 \(f\)。不能对任意函数无条件使用这个公式。
\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]这里取 \(t\) 的单位为秒，\(\omega\) 为角频率，单位是 rad/s。以 Hz 表示的频率 \(\nu\) 与它的关系为 \(\omega=2\pi\nu\)。复值函数 \(F(\omega)\) 表示连续频谱中的权重；在 \(F\ne0\) 处，可由模和辐角读取大小与相位。连续频谱的权重，不能直接等同于周期信号中单个成分的振幅。
对于有跳跃的函数，在附加正则性条件下，采用对称的反常积分，有时可以还原左右极限的平均值。平方可积函数和周期信号则可能分别需要 \(L^2\) 意义和广义函数意义下的扩展。本文不展开这些理论。不同文献可能采用不同的符号和归一化约定，因此要把正变换和逆变换作为一对来核对。
3.2 信号处理流程
下图展示了在频域处理输入信号的流程。
flowchart LR
A["输入信号的时间波形"] -->|"傅里叶变换"| B["频谱"]
B -->|"滤波处理"| C["处理后的频谱"]
C -->|"逆傅里叶变换"| D["输出信号的时间波形"]
style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
4. 离散傅里叶变换（DFT）与快速傅里叶变换（FFT）
**离散傅里叶变换（DFT）**把有限序列 \(x_0,\ldots,x_{N-1}\) 映射为同样数量的频率成分。它不是简单地把连续傅里叶变换中的积分换成有限和。处理时间信号时，应先进行采样和有限时间截取。正变换与逆变换为：
\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \quad \text{for } k = 0, 1, \dots, N-1 \]\[ x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{i\frac{2\pi}{N}kn} \quad \text{for } n=0,1,\dots,N-1 \]设采样频率为 \(f_s\)，则频率格点（bin）之间的间隔为 \(f_s/N\) Hz。DFT对应于把有限序列作周期重复的理解。采样前的信号若含有 \(f_s/2\) 或更高频率的成分，就会有混叠或歧义问题，因此还原连续信号需要带限等假设。若正弦波在观测区间内没有恰好完成整数个周期，还会出现频谱泄漏，其能量分散到多个频率格点。
直接按定义计算全部 \(N\) 个DFT成分需要 \(O(N^2)\) 次运算。快速傅里叶变换（FFT）是高效计算同一个DFT的一类算法。例如，长度为2的幂时，分治方法可以把计算量降到 \(O(N\log N)\)。FFT不是另一种变换，也不意味着该方法本身是一种近似。它广泛用于音频等数字信号处理。另一方面，通常的有损JPEG基本编码方式采用离散余弦变换（DCT）。这些变换虽有关联，却不应直接把JPEG列为使用FFT的例子。
4.1 用Python检查两种频率及其振幅
以下示例使用NumPy和Matplotlib，以1,000 Hz采样1秒，将50 Hz、振幅1和120 Hz、振幅0.5的正弦波叠加。输入为实数，因此使用 rfft 和 rfftfreq。两种频率都与间隔1 Hz的频率格点对齐，且都低于500 Hz。
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输出经四舍五入后为 50 Hz: 1.000 和 120 Hz: 0.500。rfft 默认的正变换没有除以 \(N\)，所以显示振幅时使用上面的归一化。将实信号的正负频率配对合并时，只把内部格点的值乘以2，不包括直流成分，以及偶数长度时的奈奎斯特成分。这是在本例中读取未加窗、与格点对齐的正弦波振幅的方法。对于任意信号或加窗后的数据，不能只靠同一个公式就保证得到准确的振幅。
5. 总结
傅里叶级数和傅里叶变换帮助我们将复杂现象分解为简单成分。从频域观察信号，可以发现隐藏的模式并进行有效处理。
使用时应指定周期性、收敛条件、频率单位和归一化约定。区分DFT与计算它的FFT算法，也能使数学公式与实际程序的联系更加清楚。