为什么欧拉恒等式被称为美丽的等式？

欧拉恒等式（Euler’s Identity）用一个简短的等式连接五个基本数学常数，因此常被赞为美丽的公式。

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

这个等式将算术、几何、分析和代数中的重要常数联系起来。费曼在《费曼物理学讲义》第一卷第22章中，用“This is our jewel.”评价更一般的欧拉公式。这句话指的是下文介绍的一般公式，应与只针对上述特殊恒等式的引语区分。

本文将解释五个常数的含义，从欧拉公式推导恒等式，用绝对收敛的级数证明公式，并说明其旋转意义。讨论应用时，我们会区分某个特定角度的恒等式与适用于任意角度的公式。

五个基本数学常数

\(0,1,\pi,e,i\) 在数学的不同场合发挥基本作用。按学科划分只是为了说明各自的作用，并不表示这些常数原本互不相关。

1. \(0\)：加法单位元

\(0\) 是加法单位元：对任意数 \(a\)，都有 \(a+0=a\)。它还可以表示数量不存在，或在位值记数法中占位；这里关注的是它的加法性质。

2. \(1\)：乘法单位元

\(1\) 是乘法单位元：对任意数 \(a\)，都有 \(a\cdot1=a\)。自然数是否包含0是约定问题，不影响1作为乘法单位元的作用。

3. \(\pi\)：圆周率

\(\pi\) 是约为 \(3.14159\dots\) 的无理数，表示欧几里得平面中圆周长与直径的比。它也出现在三角函数与弧度制中。这里的关键角度 \(\pi\) 表示半周旋转。

4. \(e\)：自然对数的底

\(e\) 是约为 \(2.71828\dots\) 的无理数，也是自然对数的底。对实变量 \(x\)，\(e^x\) 的导数仍是 \(e^x\)，原函数为 \(e^x+C\)。它用于增长、衰减的指数模型，但并非所有连续变化都遵循指数模型。

5. \(i\)：虚数单位

\(i\) 是满足 \(i^2=-1\) 的虚数单位。\(-i\) 也满足这个方程，因此通常约定复平面中向上的方向对应 \(i\)。复数可写为 \(a+bi\)，其中 \(a,b\) 为实数，扩展了处理方程和旋转的范围。

欧拉恒等式把算术中的 \(0\) 和 \(1\)、几何中的 \(\pi\)、分析中的 \(e\) 与代数中的 \(i\) 联系在同一个等式中。

从欧拉公式推导

欧拉恒等式是一般的欧拉公式在角度取 \(\pi\) 时的特例。本文中 \(x\) 为实数，角度采用弧度制。\(e^z\) 表示下文用级数定义的单值复指数函数 \(\exp z\)。

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

这个公式通过虚数单位 \(i\)，将左边的指数函数与右边的三角函数连接起来。

代入 \(x=\pi\)，即180度对应的弧度值：

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi \]

由 \(\cos\pi=-1\)、\(\sin\pi=0\)，得到：

\[ e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 \]

因此：

\[ e^{i\pi} = -1 \]

两边加1：

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

这样就从欧拉公式得到了欧拉恒等式。

用麦克劳林级数证明

为什么 \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\) 成立？我们使用麦克劳林展开，但需要确认复指数函数的定义和级数的收敛性，而不是仅在实变量等式中形式地代入复数。

定义 \(\exp z=\sum_{n=0}^{\infty}z^n/n!\)。\(z=0\) 时收敛显然成立。对固定的复数 \(z\ne0\)，相邻项绝对值之比 \(|z|/(n+1)\) 趋于0，因此级数绝对收敛。对实数 \(x\)，它与通常的指数函数一致；正弦和余弦也有如下展开。这三个等式对所有实数 \(x\) 都成立。

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

在复指数函数的级数中令 \(z=ix\)。由于 \(x\) 是实数，\(ix\) 为纯虚数（\(x=0\) 时为0）。利用 \(i^1=i\)、\(i^2=-1\)、\(i^3=-i\)、\(i^4=1\) 的四步循环：

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots \]\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots \]

绝对收敛允许将偶数次项与奇数次项分别合并。因为 \(x\) 为实数，第一个括号给出实部，第二个括号给出虚部的值。虚部本身是实数，应与乘上 \(i\) 后的部分区分。

\[ e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \right) \]

第一个括号是 \(\cos x\) 的级数，第二个括号是 \(\sin x\) 的级数。因此：

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

这就证明了指数函数与三角函数之间的联系。

复平面中的几何意义

欧拉恒等式也可通过**复平面（高斯平面）**获得几何解释。

将复数 \(z=a+bi\) 对应于点 \((a,b)\)，横坐标是实部，纵坐标是虚部的值。对实数 \(\theta\)，有 \(|e^{i\theta}|=1\)，因此乘以 \(e^{i\theta}\) 会保持长度，并绕原点旋转。\(\theta\) 为正时逆时针旋转，为负时顺时针旋转；原点保持不动。

从这个角度看 \(e^{i\pi}=-1\)：

从实轴上的 \(1\)，即点 \((1,0)\) 出发。
乘以 \(e^{i\pi}\)，相当于绕原点旋转 \(\pi\) 弧度，即180度。
从 \(1\) 旋转半周，就到达对面的 \(-1\)，即点 \((-1,0)\)。

因此，恒等式表达了从 \(1\) 出发旋转半周会到达 \(-1\) 这一几何事实。

  graph TD
    A["欧拉恒等式 e^(iπ) + 1 = 0"] -->|"包含"| B["e（分析：连续变化）"]
    A -->|"包含"| C["i（代数：复平面中的旋转）"]
    A -->|"包含"| D["π（几何：半圆弧）"]
    A -->|"包含"| E["1, 0（算术：起点与平衡）"]

莱昂哈德·欧拉

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783）出生于瑞士，是18世纪的代表性数学家。他对多个数学分支作出重要贡献，也研究物理学、天文学和工程问题。

欧拉留下大量论文与著作，晚年失明后仍积极研究。他在1748年出版的《Introductio in analysin infinitorum》第一卷中，将函数放在分析学的核心位置，强调 \(f(x)\) 记号及 \(e\) 和指数函数的作用。该书也讨论无穷级数、无穷乘积和连分数。

本文给出的是利用复指数函数的定义和绝对收敛的现代解释，不应直接视为欧拉著作中使用无穷小等论证的同一份证明。

科学与工程中的应用

应用中主要使用的是角度可以变化的欧拉公式，而非只靠 \(x=\pi\) 这一特殊恒等式完成所有计算。

信号处理与傅里叶分析

傅里叶分析用三角函数或复指数函数的分量表示信号。周期信号的级数和非周期信号的变换等，需要指定函数条件与收敛的含义。\(e^{i\omega t}\) 对时间的导数是 \(i\omega e^{i\omega t}\)；当 \(\omega\ne0\) 时，一个原函数是 \(e^{i\omega t}/(i\omega)\)。不过，对级数逐项求导或积分还需要额外条件。

FFT是高效计算有限数据的离散傅里叶变换的算法。普通有损JPEG的基本方式使用离散余弦变换（DCT），应与“JPEG直接使用FFT”的说法区分。

电气与电子工程

对于线性时不变交流电路，在单一频率的正弦稳态下，可用相量表示电压、电流，以复数代数计算振幅和相位。暂态需另行处理；叠加多个频率时，应分别分析各频率。不能将这一方法无条件用于非线性电路或任意时间变化。

量子力学

在非相对论量子力学中，薛定谔方程描述波函数，即复数概率振幅。对于归一化的位置表象波函数 \(\psi(x,t)\)，\(|\psi(x,t)|^2\) 是位置的概率密度；波函数本身并不是概率。自由粒子的平面波和能量本征态的时间演化会出现复指数函数，但一般波函数并不等于单一指数函数。

结语：等式的魅力

欧拉恒等式令人联想到拼图的碎片终于组成一幅完整的图画：圆周率 \(\pi\)、分析中的 \(e\)、虚数单位 \(i\)，以及最基本的 \(1\) 和 \(0\)。这种联系可以让读者感受到数学仿佛映照着世界更深层的秩序。

数学常被看作技术语言，但这个恒等式的简洁与广泛联系也可以像诗歌或艺术一样被欣赏。人们所感受到的美，来自这些观念之间的和谐。

欧拉恒等式：连接五个数学常数的等式

深入解析被誉为数学史上最美的欧拉恒等式的背景与意义。