Ряд Фурье и преобразование Фурье: понимание волн через синусные и косинусные составляющие

1. Введение: представление волны как суммы

Нас окружают звук, свет и электромагнитные волны. Можно ли понять сложную, нерегулярную форму сигнала как сочетание простых волн? Ряд Фурье, связанный с именем Жозефа Фурье, и преобразование Фурье, использующее непрерывный набор частот, придают этой идее математическую форму. При этом необходимо указать условия на функции и смысл сходимости.

В статье рассматриваются основные формулы, их наглядное толкование и пример применения в современной обработке сигналов.

2. Ряд Фурье: разложение периодических волн

Ряд Фурье представляет периодическую функцию через тригонометрические составляющие с частотами, являющимися целочисленными кратными основной частоты. Возможность вычислить коэффициенты сама по себе не означает, что ряд в каждой точке сходится к значению исходной функции. Здесь рассматриваются кусочно-гладкие периодические функции: период можно разбить на конечное число интервалов, внутри которых функция непрерывно дифференцируема, а на концах и функция, и её производная имеют конечные односторонние пределы. При этом достаточном условии ряд сходится к значению функции в точках непрерывности и к полусумме левого и правого пределов в точках скачка.

\[ \lim_{M\to\infty} S_M(x)=\frac{f(x-)+f(x+)}{2} \]

\(S_M\) — частичная сумма до гармоники порядка \(M\). На стыке периодов также используются пределы периодического продолжения. Вблизи скачка сохраняется выброс, связанный с явлением Гиббса, даже при увеличении числа членов. Поэтому добавление членов не приводит к равномерному стремлению ошибки к нулю на всём интервале.

2.1 Вещественная форма ряда Фурье

Для вещественнозначной функции периода \(2\pi\), удовлетворяющей указанным условиям, следующее равенство верно в точках непрерывности. Углы измеряются в радианах. В точке скачка левую часть следует заменить полусуммой односторонних пределов.

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]

Числа \(a_0,a_n,b_n\) называются коэффициентами Фурье. Постоянный член, или постоянная составляющая, равен среднему за период: \(a_0/2\), а не \(a_0\). При \(n\ge1\) коэффициенты \(a_n,b_n\) задают веса косинусных и синусных составляющих. Из ортогональности тригонометрических функций получаются формулы:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \]\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx \]

2.2 Комплексная форма ряда Фурье

Формула Эйлера \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) позволяет записать тот же ряд через комплексные экспоненты. Двусторонняя сумма ниже понимается как предел симметричных частичных сумм от \(n=-M\) до \(M\). Равенство в точках непрерывности и оговорка в точках скачка остаются такими же, как в вещественной форме.

\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} \]\[ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \]

Для вещественнозначной \(f\) выполняются равенства \(c_0=a_0/2\), \(c_n=(a_n-ib_n)/2\), \(c_{-n}=(a_n+ib_n)/2\) при \(n\ge1\). Отрицательные частоты появляются даже при представлении вещественного сигнала комплексными экспонентами. Эта форма также помогает увидеть связь с преобразованием Фурье.

3. Преобразование Фурье: за пределами периодических функций

Ряды применимы и к периодически продолженным функциям. Однако для описания отдельного импульса или другого сигнала на всей вещественной оси полезно преобразование Фурье, в котором частота меняется непрерывно. Увеличение периода и уменьшение шага частот дают наглядную связь между двумя представлениями. Но перестановка предела и интеграла требует условий, поэтому одна эта наглядная идея не является общим доказательством.

3.1 Определение и обращение

Мы используем отрицательный знак в показателе прямого преобразования и множитель \(1/(2\pi)\) в обратном. Если \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty\), следующий интеграл прямого преобразования сходится абсолютно при каждом вещественном \(\omega\).

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]

Например, если \(f\) непрерывна, а \(f\) и \(F\) обе абсолютно интегрируемы, обратное преобразование восстанавливает \(f\) по следующей формуле. Её нельзя без условий применять к произвольной функции.

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]

Здесь \(t\) измеряется в секундах, а \(\omega\) — угловая частота в рад/с. Частота \(\nu\) в герцах связана с ней равенством \(\omega=2\pi\nu\). Комплекснозначная функция \(F(\omega)\) описывает веса непрерывного спектра; там, где \(F\ne0\), модуль и аргумент дают величину и фазу. Вес в непрерывном спектре нельзя напрямую отождествлять с амплитудой отдельной составляющей периодического сигнала.

Для функций со скачками при дополнительных условиях регулярности симметричный несобственный интеграл может восстанавливать полусумму односторонних пределов. Для функций с интегрируемым квадратом модуля и для периодических сигналов могут потребоваться расширения в смысле \(L^2\) и в смысле обобщённых функций соответственно. Эти теории здесь не рассматриваются. Знаки и нормировка различаются в разных источниках; проверяйте прямое и обратное преобразования вместе.

3.2 Обработка сигналов

Схема показывает обработку сигнала в частотной области.

  flowchart LR
    A["Входной сигнал во времени"] -->|"Преобразование Фурье"| B["Частотный спектр"]
    B -->|"Фильтрация"| C["Изменённый спектр"]
    C -->|"Обратное преобразование Фурье"| D["Выходной сигнал во времени"]

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

4. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) переводит конечную последовательность \(x_0,\ldots,x_{N-1}\) в такое же число частотных составляющих. Это конечное преобразование следует отличать от простой замены интеграла непрерывного преобразования конечной суммой. Для временного сигнала сначала выполняют дискретизацию и выбирают конечный интервал наблюдения. Прямое и обратное ДПФ образуют пару:

\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \quad \text{for } k = 0, 1, \dots, N-1 \]\[ x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{i\frac{2\pi}{N}kn} \quad \text{for } n=0,1,\dots,N-1 \]

При частоте дискретизации \(f_s\) шаг частотных отсчётов, или бинов, равен \(f_s/N\) Гц. ДПФ соответствует представлению конечной последовательности как периодически повторяющейся. Компоненты исходного сигнала до дискретизации с частотами не ниже \(f_s/2\) вызывают наложение спектров или неоднозначность. Поэтому восстановление непрерывного сигнала требует предположений, например ограничения полосы частот. Если синусоида не укладывается в интервал наблюдения целым числом периодов, возникает и спектральная утечка: энергия распределяется между несколькими бинами.

Прямой расчёт всех \(N\) составляющих ДПФ требует \(O(N^2)\) операций. Быстрое преобразование Фурье (БПФ, FFT) — семейство алгоритмов для эффективного вычисления того же ДПФ. Например, при длине, равной степени двойки, рекурсивное разбиение даёт \(O(N\log N)\) операций. БПФ означает способ вычисления, а не другое преобразование или само по себе приближение. Оно широко применяется в цифровой обработке сигналов, в том числе звуковых. С другой стороны, базовый метод обычного JPEG со сжатием с потерями использует дискретное косинусное преобразование (ДКП, DCT). Эти преобразования связаны, но JPEG не следует без оговорок представлять как прямое применение БПФ.

4.1 Проверка двух частот и их амплитуд в Python

Пример использует NumPy и Matplotlib. Мы берём одну секунду с частотой дискретизации 1 000 Гц и складываем синусоиду с частотой 50 Гц и амплитудой 1 с синусоидой с частотой 120 Гц и амплитудой 0,5. Вход вещественный, поэтому используются rfft и rfftfreq. Обе частоты точно совпадают с бинами, расположенными с шагом 1 Гц, и ниже 500 Гц.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Одна секунда с частотой 1000 Гц; конечную точку в одну секунду не включаем
fs = 1000.0
N = 1000
t = np.arange(N) / fs
signal = np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 120 * t)

# ДПФ неотрицательных частот вещественного сигнала
fft_result = np.fft.rfft(signal)
frequencies = np.fft.rfftfreq(N, d=1 / fs)

# Односторонняя амплитуда: не удваиваем DC и Найквист при чётном N
amplitude = np.abs(fft_result) / N
if N % 2 == 0:
    amplitude[1:-1] *= 2
else:
    amplitude[1:] *= 2

peak_indices = np.argsort(amplitude)[-2:]
for k in sorted(peak_indices, key=lambda k: frequencies[k]):
    print(f"{frequencies[k]:.0f} Hz: {amplitude[k]:.3f}")

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(frequencies, amplitude)
ax.set(xlim=(0, 200), xlabel="Frequency (Hz)", ylabel="Amplitude",
       title="One-sided amplitude spectrum")
ax.grid(True)
fig.tight_layout()
plt.show()

Округлённый вывод: 50 Hz: 1.000 и 120 Hz: 0.500; Python использует в выводе десятичную точку. Прямое преобразование rfft по умолчанию не делится на \(N\), поэтому для отображения амплитуд выполнена указанная нормировка. При объединении положительной и отрицательной частот вещественного сигнала удваиваются только внутренние бины; постоянная составляющая и, при чётной длине, составляющая Найквиста не удваиваются. Это позволяет определить амплитуды синусоид данного примера, частоты которых совпадают с бинами и к которым не применялась оконная функция. Одна эта формула не гарантирует точные амплитуды для произвольных сигналов или данных после применения окна.

5. Заключение

Ряд и преобразование Фурье помогают разложить сложные явления на простые составляющие. Представление сигнала в частотной области позволяет находить скрытые закономерности и обрабатывать информацию.

Указывайте периодичность, условия сходимости, единицы частоты и нормировку. Различие между ДПФ и вычисляющими его алгоритмами БПФ также проясняет связь математических формул с программами.