В чём красота тождества Эйлера?

Тождество Эйлера вызывает восхищение тем, что связывает пять фундаментальных математических констант коротким равенством.

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

В равенстве встречаются числа, важные для арифметики, геометрии, анализа и алгебры. В главе 22 первого тома The Feynman Lectures on Physics Фейнман характеризует более общую формулу Эйлера словами «This is our jewel.» Его замечание относится к формуле, рассмотренной ниже, а не только к приведённому частному тождеству.

Мы объясним смысл пяти констант, выведем тождество из формулы Эйлера, докажем эту формулу с помощью абсолютно сходящихся рядов и истолкуем её как поворот. В приложениях будем различать тождество для определённого угла и формулу для произвольных углов.

Пять фундаментальных констант

Числа \(0,1,\pi,e,i\) играют основные роли в разных математических ситуациях. Их распределение по отдельным областям служит объяснению этих ролей и не означает, что прежде они были никак не связаны.

1. \(0\): Нейтральный элемент сложения

\(0\) — нейтральный элемент сложения: для любого числа \(a\) имеем \(a+0=a\). Он может также обозначать отсутствие количества или пустой разряд в позиционной записи; здесь нас интересует его свойство относительно сложения.

2. \(1\): Нейтральный элемент умножения

\(1\) — нейтральный элемент умножения: для любого числа \(a\) имеем \(a\cdot1=a\). Начинаются ли натуральные числа с 1 или включают 0, зависит от соглашения; роль единицы при умножении не меняется.

3. \(\pi\): Число пи

\(\pi\) — иррациональное число, приблизительно равное \(3{,}14159\dots\), отношение длины окружности к её диаметру на евклидовой плоскости. Оно появляется также в тригонометрических функциях и радианной мере углов. Здесь ключевой угол — \(\pi\), половина оборота.

4. \(e\): Основание натурального логарифма

\(e\) — иррациональное число, приблизительно равное \(2{,}71828\dots\), основание натурального логарифма. Для действительного \(x\) производная \(e^x\) равна \(e^x\), а первообразные имеют вид \(e^x+C\). Оно используется в экспоненциальных моделях роста и убывания, но не всякое непрерывное изменение подчиняется такой модели.

5. \(i\): Мнимая единица

\(i\) — мнимая единица, удовлетворяющая \(i^2=-1\). Поскольку \(-i\) решает то же уравнение, обычно договариваются, что \(i\) соответствует направлению вверх на комплексной плоскости. Комплексные числа записываются как \(a+bi\) с действительными \(a,b\), расширяя возможности изучения уравнений и поворотов.

Тождество Эйлера связывает арифметические константы \(0\) и \(1\), геометрическую константу \(\pi\), константу анализа \(e\) и алгебраическую константу \(i\) в одном равенстве.

Вывод из формулы Эйлера

Тождество — частный случай более общей формулы Эйлера при угле \(\pi\). В этой статье \(x\) действителен, а углы измеряются в радианах. Обозначение \(e^z\) означает однозначную комплексную экспоненту \(\exp z\), определённую рядом ниже.

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

Формула связывает экспоненциальную функцию слева с тригонометрическими функциями справа посредством мнимой единицы \(i\).

Подставим \(x=\pi\), радианную меру 180 градусов:

\[ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi \]

Так как \(\cos\pi=-1\) и \(\sin\pi=0\), получаем:

\[ e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 \]

Следовательно:

\[ e^{i\pi} = -1 \]

Прибавляя 1 к обеим частям, имеем:

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

Так тождество получается из формулы Эйлера.

Доказательство с помощью рядов Маклорена

Почему верно \(e^{ix}=\cos x+i\sin x\)? Мы используем разложение Маклорена, проверяя определение комплексной экспоненты и сходимость, а не просто формально подставляя комплексное число в равенство для действительных переменных.

Определим \(\exp z=\sum_{n=0}^{\infty}z^n/n!\). При \(z=0\) сходимость очевидна. Для любого фиксированного комплексного \(z\ne0\) отношение модулей последовательных членов \(|z|/(n+1)\) стремится к нулю, поэтому ряд сходится абсолютно. Для действительного \(x\) он совпадает с обычной экспонентой; синус и косинус также имеют следующие разложения. Все три равенства верны для любого действительного \(x\).

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots \]\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \]

Положим \(z=ix\) в ряде комплексной экспоненты. Поскольку \(x\) действителен, \(ix\) — чисто мнимое число, а при \(x=0\) оно равно нулю. Используем цикл из четырёх шагов: \(i^1=i\), \(i^2=-1\), \(i^3=-i\), \(i^4=1\).

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots \]\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots \]

Абсолютная сходимость позволяет сгруппировать члены чётных и нечётных степеней. Так как \(x\) действителен, первая скобка даёт действительную часть, а вторая — значение мнимой части. Мнимая часть сама является действительным числом; её следует отличать от этого числа, умноженного на \(i\).

\[ e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \right) \]

Первая скобка — ряд для \(\cos x\), вторая — для \(\sin x\). Поэтому:

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

Тем самым доказана связь экспоненты с тригонометрическими функциями.

Геометрический смысл на комплексной плоскости

Тождество имеет и геометрическое толкование на комплексной плоскости, также называемой плоскостью Гаусса.

Представим \(z=a+bi\) точкой \((a,b)\): горизонтальная координата — действительная часть, вертикальная — значение мнимой части. Для действительного \(\theta\) имеем \(|e^{i\theta}|=1\), поэтому умножение на \(e^{i\theta}\) сохраняет длину и поворачивает вокруг начала координат. Положительный \(\theta\) задаёт поворот против часовой стрелки, отрицательный — по часовой. Начало координат остаётся неподвижным.

Рассмотрим \(e^{i\pi}=-1\) с этой точки зрения:

Начинаем с \(1\), точки \((1,0)\) действительной оси.
Умножение на \(e^{i\pi}\) поворачивает эту точку на \(\pi\) радиан, то есть на 180 градусов, вокруг начала координат.
Половина оборота из \(1\) приводит к противоположной точке \(-1\), то есть \((-1,0)\).

Итак, тождество выражает геометрический факт: половина оборота из \(1\) приводит к \(-1\).

  graph TD
    A["Тождество Эйлера e^(iπ) + 1 = 0"] -->|"включает"| B["e (Анализ: непрерывное изменение)"]
    A -->|"включает"| C["i (Алгебра: поворот на комплексной плоскости)"]
    A -->|"включает"| D["π (Геометрия: дуга полуокружности)"]
    A -->|"включает"| E["1, 0 (Арифметика: начало и равновесие)"]

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер (Leonhard Euler, 1707–1783), родившийся в Швейцарии, был одним из ведущих математиков XVIII века. Он внёс вклад во многие области математики и занимался также физикой, астрономией и инженерными задачами.

Эйлер оставил множество статей и книг и продолжал активно заниматься исследованиями даже после потери зрения в старости. Первый том его Introductio in analysin infinitorum, опубликованный в 1748 году, ставит функции в центр анализа и подчёркивает обозначение \(f(x)\), роль \(e\) и экспоненциальной функции. В нём рассматриваются также бесконечные ряды, бесконечные произведения и цепные дроби.

Приведённое здесь доказательство — современное объяснение, основанное на определении комплексной экспоненты и абсолютной сходимости. Его не следует напрямую отождествлять с инфинитезимальными рассуждениями в трудах Эйлера.

Применения в науке и технике

В приложениях главным образом используется формула Эйлера с переменным углом. Одно лишь тождество при \(x=\pi\) не выполняет все эти вычисления.

Обработка сигналов и анализ Фурье

Анализ Фурье представляет сигналы тригонометрическими или комплексно-экспоненциальными компонентами. Ряды для периодических сигналов и преобразования для непериодических требуют указания условий на функции и смысла сходимости. Производная \(e^{i\omega t}\) по времени равна \(i\omega e^{i\omega t}\); при \(\omega\ne0\) одна из первообразных равна \(e^{i\omega t}/(i\omega)\). Для почленного дифференцирования или интегрирования ряда нужны дополнительные условия.

FFT эффективно вычисляет дискретное преобразование Фурье конечных данных. Основной метод обычного JPEG с потерями использует дискретное косинусное преобразование (DCT); это следует отличать от утверждения, что JPEG непосредственно использует FFT.

Электротехника и электроника

В линейной цепи переменного тока с не зависящими от времени параметрами, в установившемся синусоидальном режиме на одной частоте, комплексные амплитуды (фазоры) позволяют вычислять амплитуды и фазы напряжений и токов с помощью комплексной алгебры. Переходные процессы рассматриваются отдельно; разные частоты анализируются по отдельности перед суперпозицией. Метод нельзя безусловно применять к нелинейным цепям или произвольным изменениям во времени.

Квантовая механика

В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шрёдингера описывает волновую функцию, комплексную амплитуду вероятности. Для нормированной волновой функции в координатном представлении \(\psi(x,t)\) величина \(|\psi(x,t)|^2\) — плотность вероятности положения; сама волновая функция не является вероятностью. Комплексные экспоненты появляются в плоских волнах свободных частиц и во временной эволюции собственных состояний энергии, но общая волновая функция не сводится к одной экспоненте.

Заключение: Привлекательность равенства

Тождество Эйлера может напоминать головоломку, части которой наконец складываются в картину: геометрическая константа \(\pi\), константа анализа \(e\), мнимая единица \(i\) и основные числа \(1\) и \(0\). Их связи могут создавать впечатление, что математика отражает более глубокий порядок мира.

Математику часто считают техническим языком, однако простоту и широкие связи этого тождества можно ценить подобно стихотворению или произведению искусства. Его красота — в гармонии, которую читатели находят между этими идеями.

Тождество Эйлера: Равенство, связывающее пять математических констант

Глубокое объяснение смысла и истории тождества Эйлера, которое считается самым красивым в истории математики.