Nos parlamentos democráticos, nos conselhos internacionais e nas assembleias de acionistas, costuma-se aceitar uma ilusão aritmética intuitiva, porém profundamente falsa: a suposição de que a proporção de assentos de um partido — ou o percentual de ações de um sócio — equivale diretamente ao seu poder real de decisão (Voting Power).
Imagine um parlamento de 100 assentos onde aprovar uma lei exige maioria simples de \(q = 51\) votos. O partido A possui 49 assentos, o partido B possui 49 assentos e um minúsculo partido C detém apenas 2 assentos. À primeira vista, A e B dominam o plenário com \(49\%\) cada um, enquanto C parece irrelevante com \(2\%\). Contudo, a teoria dos jogos cooperativos (Cooperative Game Theory) demonstra um fato surpreendente: os partidos A, B e C possuem exatamente o mesmo poder de voto: um terço (\(33,33\%\)) cada um.
Por outro lado, um partido ou Estado soberano pode possuir um bloco considerável de votos e ter poder de voto matematicamente igual a zero (\(0\%\)), tornando-se o que a teoria dos jogos chama de jogador fictício (Dummy Player). Entre 1958 e 1973, o Conselho de Ministros da Comunidade Econômica Europeia (CEE) utilizou o sistema ponderado \([12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]\). Embora Luxemburgo tivesse 1 voto (\(5,88\%\) do total), todos os demais países tinham um número par de votos (\(4, 4, 4, 2, 2\)) e a cota era par (\(12\)). Como a soma de números pares é sempre par, nenhuma coalizão perdedora (no máximo \(10\) votos) podia alcançar \(12\) graças ao voto único de Luxemburgo: durante 15 anos, seu poder formal de voto foi literalmente \(0\%\).
Neste artigo desenvolvemos a teoria matemática dos índices de poder de voto: a formulação axiomática dos jogos simples ponderados, o índice de Banzhaf, o índice de Shapley-Shubik, o teorema probabilístico de Straffin, algoritmos por funções geradoras, o poder de veto no Conselho de Segurança da ONU e os paradoxos de redistribuição.
1. A ilusão da proporção de assentos: três experimentos mentais
Consideremos três parlamentos com \(W = 100\) assentos e uma cota de maioria \(q = 51\):
- O fazedor de reis (Kingmaker) \([51;\, 49, 49, 2]\): Nenhum partido atinge 51 assentos sozinho. As coalizões vencedoras são \(\{A, B\}(98)\), \(\{A, C\}(51)\), \(\{B, C\}(51)\) e \(\{A, B, C\}(100)\). Como qualquer par de partidos vence, este jogo é isomorfo à votação majoritária simples \([2;\, 1, 1, 1]\). Com apenas \(2\%\) dos assentos, o partido C detém \(33,33\%\) do poder de decisão, exatamente igual a A e B.
- O ditador e a oposição impotente \([51;\, 52, 47, 1]\): Como \(w_A = 52 \ge 51\), o partido A é um ditador (\(100\%\) do poder). Embora o partido B controle \(47\%\) dos assentos, nem mesmo unindo-se a C (\(47 + 1 = 48 < 51\)) pode aprovar ou bloquear qualquer projeto: B e C são jogadores fictícios (\(0\%\) de poder).
- O jogador fictício invisível e o caso do Condado de Nassau (1965) \([51;\, 35, 35, 25, 5]\): Nenhum partido tem maioria absoluta. Mas as somas possíveis dos subconjuntos de \(\{A, B, C\}\) (pesos \(35, 35, 25\)) são apenas \(0, 25, 35, 60, 70, 95\). Nenhum subconjunto soma entre \(46\) e \(50\) (o intervalo crítico \([q - w_D,\, q - 1]\))! Portanto, os \(5\) assentos do partido D jamais podem converter uma derrota em vitória e seu poder é \(0\%\). Em 1965, o jurista John F. Banzhaf III empregou exatamente essa análise para provar que três municípios do Conselho de Supervisores do Condado de Nassau (Nova York) tinham \(0\%\) de poder de voto, levando os tribunais a declarar o sistema inconstitucional.
2. Formulação matemática: índices de Banzhaf e Shapley-Shubik
Jogos simples e jogos de votação ponderada
\[v(S) = \begin{cases} 1 & \text{se } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{coalizão vencedora}) \\ 0 & \text{se } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{coalizão perdedora}) \end{cases}\]Um jogador \(i \in S\) é crítico (Swing Voter) em \(S\) se \(v(S) = 1\) e \(v(S \setminus \{i\}) = 0\), isto é, \(\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1\).
flowchart TD
A["Jogo de votação ponderada [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Peso da coalizão w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
B --> C{"Vale w(S) ≥ q?"}
C -- "Sim: v(S) = 1" --> D["Coalizão vencedora S ∈ W"]
C -- "Não: v(S) = 0" --> E["Coalizão perdedora S ∉ W"]
D --> F{"Ao remover o jogador i tem-se w(S \ {i}) < q?"}
F -- "Sim: v(S \ {i}) = 0" --> G["Jogador i é crítico (Swing Voter) em S"]
F -- "Não: v(S \ {i}) = 1" --> H["Jogador i é excedentário em S"]
G --> I["Índice de Banzhaf βᵢ: conta os swings ηᵢ nos 2ⁿ⁻¹ subconjuntos"]
G --> J["Índice de Shapley-Shubik φᵢ: conta os pivôs nas n! permutações"]
1. O índice de poder de Banzhaf (Penrose 1946 / Banzhaf 1965)
\[\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}\]2. O índice de poder de Shapley-Shubik (Shapley & Shubik 1954)
\[\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]\]3. Comparação passo a passo em \([6;\, 4, 3, 2, 1]\) e funções geradoras
No jogo \([6;\, 4, 3, 2, 1]\) (\(w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1\), peso total \(10\), cota \(q=6\)), a enumeração completa das 7 coalizões vencedoras e das 24 permutações fornece:
| Coalizão vencedora \(S\) | Peso \(w(S)\) | Peso após remoção \(w(S \setminus \{i\})\) | Jogadores críticos (Swing) | Partido | Quota de votos | Swings \(\eta_i\) | Banzhaf normalizado \(\beta_i\) | Pivôs (\(/24\)) | Shapley-Shubik \(\phi_i\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\{A, B\}\) | \(7\) | \(-A:3,\ -B:4\) | A, B | A (\(w_A=4\)) | \(40,0\%\) | \(5\) | \(5/12 \approx \mathbf{41,67\%}\) | \(10\) | \(10/24 \approx \mathbf{41,67\%}\) |
| \(\{A, C\}\) | \(6\) | \(-A:2,\ -C:4\) | A, C | B (\(w_B=3\)) | \(30,0\%\) | \(3\) | \(3/12 = \mathbf{25,00\%}\) | \(6\) | \(6/24 = \mathbf{25,00\%}\) |
| \(\{A, B, C\}\) | \(9\) | \(-A:5,\ -B:6,\ -C:7\) | A | C (\(w_C=2\)) | \(20,0\%\) | \(3\) | \(3/12 = \mathbf{25,00\%}\) | \(6\) | \(6/24 = \mathbf{25,00\%}\) |
| \(\{A, B, D\}\) | \(8\) | \(-A:4,\ -B:5,\ -D:7\) | A, B | D (\(w_D=1\)) | \(10,0\%\) | \(1\) | \(1/12 \approx \mathbf{8,33\%}\) | \(2\) | \(2/24 \approx \mathbf{8,33\%}\) |
| \(\{A, C, D\}\) | \(7\) | \(-A:3,\ -C:5,\ -D:6\) | A, C | Total | \(100\%\) | \(12\) | \(100,00\%\) | \(24\) | \(100,00\%\) |
| \(\{B, C, D\}\) | \(6\) | \(-B:3,\ -C:4,\ -D:5\) | B, C, D | ||||||
| \(\{A,B,C,D\}\) | \(10\) | Qualquer remoção \(\ge 6\) | Nenhum |
Embora o partido B (\(30\%\)) tenha \(50\%\) mais votos que o partido C (\(20\%\)), ambos possuem exatamente o mesmo poder de voto (\(25,00\%\)) segundo os dois índices. Já em \([5;\, 3, 2, 1, 1]\), os dois índices divergem: \(\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)\) contra \(\phi = (58,33\%, 25,00\%, 8,33\%, 8,33\%)\). Pelo teorema de Straffin (1977), Banzhaf corresponde à hipótese de independência (\(p_i \sim \mathrm{Uniform}(0,1)\) independentes) e Shapley-Shubik à hipótese de homogeneidade (\(p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)\)).
\[P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}\]4. Instituições reais e os paradoxos do poder de voto
1. O Conselho de Ministros da CEE (1958–1973) \([12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]\)
Para Luxemburgo (\(w_{\text{Lux}} = 1\), cota \(q = 12\)), o polinômio gerador \(P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2\) possui apenas expoentes pares, de modo que o coeficiente de \(x^{11}\) é \(0\) (\(\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%\)). Com a ampliação da CEE em 1973 para 9 membros (\([41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]\)), embora a fatia de votos de Luxemburgo tenha caído de \(5,88\%\) para \(3,45\%\), seu poder de Banzhaf subiu de \(0\%\) para \(1,62\%\) (paradoxo dos novos membros, Brams & Affuso 1976).
2. O Conselho de Segurança da ONU (o poder de veto do P5)
O Conselho de Segurança (5 membros permanentes P5 com veto e 10 não permanentes NP10, exigindo 9 votos incluindo todos os 5 P5) equivale ao jogo ponderado \([39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]\).
- Índice de Banzhaf: \(\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848\), \(\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16,69\%}\) e \(\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1,65\%}\).
- Índice de Shapley-Shubik: Um membro não permanente só é pivô na 9.ª posição após os 5 P5 e exatamente 3 dos outros 9 NP: \(\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0,1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19,627\%}\) Os 5 membros permanentes concentram \(98,135\%\) do poder de Shapley-Shubik (cada P5 possui 105,25 vezes o poder de um membro não permanente)!
flowchart TD
P["Paradoxos não lineares dos jogos de votação ponderada"] --> P1["1. Paradoxo dos novos membros (Brams & Affuso 1976)"]
P --> P2["2. Paradoxo da cisão partidária (Large Size)"]
P --> P3["3. Paradoxo da redistribuição (Fischer & Schotter 1978)"]
P1 --> D1["A entrada de novos membros pode aumentar o poder de um membro antigo apesar de reduzir sua fração de votos (ex.: Luxemburgo em 1973: 0% → 1,6%)"]
P2 --> D2["Um grande partido que se divide em duas facções pode aumentar seu poder de voto combinado"]
P3 --> D3["Um partido que perde metade de seus assentos numa eleição pode dobrar seu poder de voto real"]
3. O paradoxo da redistribuição (Fischer & Schotter 1978)
Comparemos um parlamento de 14 assentos (cota \(q = 9\)) antes e depois de uma eleição:
- Antes da eleição \([9;\, 6, 4, 2, 2]\): As únicas coalizões vencedoras mínimas são \(\{A, B\}(10)\) e \(\{A, C, D\}(10)\); A detém poder de veto. O partido D (\(2\) assentos) tem \(\beta_D = 10,00\%\) e \(\phi_D = 8,33\%\).
- Depois da eleição \([9;\, 5, 5, 3, 1]\): A perde 1 assento para B, e o partido D perde metade de seus assentos (\(2 \to 1\)) para C. No entanto, agora \(\{B, C, D\}\) soma \(5+3+1=9\) e torna-se uma coalizão vencedora. Quebrado o monopólio de veto de A, o partido D, com apenas 1 assento, passa a ser o fiel da balança indispensável tanto para \(\{A, C, D\}\) quanto para \(\{B, C, D\}\): seu poder salta para \(\beta_D = \mathbf{16,67\%}\) e \(\phi_D = \mathbf{16,67\%}\) — metade dos assentos, o dobro do poder.
Por fim, em sistemas federativos de dois níveis, a lei da raiz quadrada de Penrose (1946) demonstra que, para igualar o poder indireto de cada cidadão independentemente da população \(P_k\) de seu Estado, o índice de Banzhaf \(\beta'_k\) de cada Estado deve ser proporcional a \(\sqrt{P_k}\).