1. Jogar até a primeira coroa
Como avaliar, apenas pelo prêmio esperado, um jogo de moeda com entrada de 10 000 dólares americanos? Comecemos com um modelo ideal: lançamentos independentes de uma moeda equilibrada, sem teto para o prêmio nem limite à capacidade de pagamento do organizador. Os valores monetários são números expressos em dólares americanos.
- Paga-se a entrada.
- Lança-se a moeda. Se sair cara, o prêmio potencial dobra e o jogo continua.
- Na primeira coroa, o jogo termina e você recebe o prêmio atingido.
O prêmio inicial é 2. Se sair coroa no primeiro lançamento, você recebe 2; com cara e coroa, 4; com cara, cara e coroa, 8. Seja N o número do lançamento em que aparece a primeira coroa, e X o prêmio bruto, antes de descontar a entrada.
\[ X=2^N,\qquad \Pr(N=n)=2^{-n}\quad(n=1,2,\ldots) \]
graph TD
Start["Início"] --> Toss1{"Primeiro lançamento"}
Toss1 -->|"Coroa (1/2)"| End1["Fim: 2 dólares"]
Toss1 -->|"Cara (1/2)"| Toss2{"Segundo lançamento"}
Toss2 -->|"Coroa (1/2)"| End2["Fim: 4 dólares"]
Toss2 -->|"Cara (1/2)"| Toss3{"Terceiro lançamento"}
Toss3 -->|"Coroa (1/2)"| End3["Fim: 8 dólares"]
Toss3 -->|"Cara (1/2)"| Toss4{"Quarto lançamento em diante"}
Toss4 -.->|"Sem máximo de lançamentos"| Continue["Repetir a mesma regra"]
A probabilidade de o jogo ultrapassar um número finito de lançamentos tende a zero quando esse número cresce:
\[ \Pr(N>m)=2^{-m}\longrightarrow0,\qquad \Pr(N=\infty)=0,\qquad\Pr(X<\infty)=1 \]Portanto, o prêmio é finito com probabilidade 1, embora os valores possíveis não tenham limite superior finito. Não ter um teto não significa receber de fato um prêmio infinito.
2. O significado de um valor esperado infinito
O valor esperado de um prêmio discreto não negativo é a soma de cada prêmio multiplicado por sua probabilidade.
| Primeira coroa no lançamento | Prêmio | Probabilidade | Contribuição ao valor esperado incondicional |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1/2 | 1 |
| 2 | 4 | 1/4 | 1 |
| 3 | 8 | 1/8 | 1 |
Cada possível instante de término contribui com 1, de modo que
\[ \mathbb E[X]=\sum_{n=1}^{\infty}2^n2^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}1=\infty \]Se sabemos que o jogo termina no lançamento n, o prêmio é 2 elevado a n, não 1. Esse 1 é a contribuição do evento ao valor esperado incondicional.
Somando apenas os primeiros K termos,
\[ \sum_{n=1}^{K}2^n2^{-n}=K \]as somas parciais crescem sem limite quando K aumenta. Nesse sentido, o valor esperado é infinito positivo. Isso não implica um prêmio infinito nem lucro garantido em um conjunto finito de observações. A lei dos grandes números discute as hipóteses que relacionam médias finitas usuais e médias amostrais.
Mesmo descontando um preço de entrada c fixo e finito, o valor esperado do resultado líquido, no sentido estendido, é
\[ \mathbb E[X-c]=\infty\qquad(0\le c<\infty) \]Mas esse valor, sozinho, não avalia a possibilidade de uma grande perda, se a pessoa consegue pagar a entrada ou se o organizador consegue honrar os prêmios. Valor esperado infinito não implica que seja necessário ou recomendável se endividar para jogar.
3. História e critério de avaliação
A tradução inglesa do artigo de Daniel Bernoulli de 1738 relata como seu primo Nicolaus Bernoulli enviou problemas a Montmort. Uma carta de Cramer de 1728, citada no artigo, faz referência ao problema da carta de 9 de setembro de 1713. O nome do paradoxo se relaciona à publicação do artigo de Daniel nos anais da Academia de Ciências de São Petersburgo.
O jogo clássico citado nesse artigo começa com um prêmio de um ducado. Aqui, usamos um prêmio inicial de 2 dólares, de modo que equivalentes certos e outros resultados monetários não devem ser transportados diretamente entre as duas escalas.
O problema convida a distinguir o valor monetário esperado da avaliação de resultados arriscados. Daniel propôs uma avaliação baseada na utilidade e também apresentou ideias semelhantes anteriores de Cramer. São explicações que dependem de modelos, não provas matemáticas universais da psicologia de cada pessoa.
4. Modelar a utilidade marginal decrescente
Depois de beber água suficiente, um copo adicional pode ter menos valor. Para a riqueza, também podemos modelar o valor de um acréscimo monetário fixo como dependente do nível inicial.
Por exemplo, adotemos utilidade logarítmica para valores positivos:
\[ u(x)=\log_2x,\qquad x>0 \]Essa função satisfaz
\[ u'(x)=\frac{1}{x\ln2}>0,\qquad u''(x)=-\frac{1}{x^2\ln2}<0 \]A utilidade aumenta com a riqueza, mas uma unidade adicional gera um acréscimo de utilidade menor em níveis de riqueza maiores. Essa é a utilidade marginal decrescente neste modelo. A própria utilidade logarítmica continua sem limite superior. Acréscimos decrescentes e um limite superior finito são propriedades distintas.
Funções de utilidade desse tipo são hipóteses para representar preferências, não uma constatação empírica de que a satisfação de todas as pessoas segue a mesma fórmula logarítmica.
5. Utilidade esperada 2, equivalente certo 4 e preço de entrada
Primeiro, façamos uma comparação simplificada aplicando a utilidade diretamente ao prêmio recebido. Terminar no lançamento n dá utilidade
\[ \log_2(2^n)=n \]e, portanto, utilidade esperada
\[ \mathbb E[u(X)]=\sum_{n=1}^{\infty}n2^{-n}=2 \]As somas parciais confirmam:
\[ \sum_{n=1}^{K}n2^{-n}=2-\frac{K+2}{2^K}\longrightarrow2 \]A série de utilidades ponderadas por suas probabilidades converge. Assim, a utilidade esperada pode ser finita mesmo quando a função de utilidade não tem limite superior.
O recebimento certo que produz a mesma utilidade nesta comparação, o equivalente certo (CE), é
\[ \mathrm{CE}=u^{-1}\!\left(\mathbb E[u(X)]\right)=2^2=4 \]Isso compara receber o prêmio aleatório X com receber 4 com certeza. Não é um teto universal de 4 para o preço de entrada.
Para decidir se vale pagar, é preciso incluir a riqueza inicial w e o preço c. Um modelo simples sem endividamento usa
\[ w>0,\qquad0\le c\le w,\qquad W_{\mathrm{final}}=w-c+X \]Com a mesma utilidade logarítmica, a diferença entre a utilidade esperada de participar e a utilidade de não participar é
\[ G_w(c)=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\log_2(w-c+2^n)-\log_2w \]Uma diferença positiva favorece participar neste modelo; zero indica indiferença; uma diferença negativa favorece não participar. Se w supera 4, a diferença é contínua e estritamente decrescente em c, positiva quando c é 0 e negativa quando c é w. Assim, existe um único preço de entrada que produz indiferença:
\[ G_w(c^\ast)=0,\qquad0<c^\ast<w\quad(w>4) \]A solução numérica da série fornece estes exemplos:
| Riqueza inicial w | Preço de indiferença c* aproximado |
|---|---|
| 10 | 4,97 |
| 100 | 7,79 |
| 1 000 | 10,95 |
Incluir a riqueza muda a avaliação mesmo com a mesma função de utilidade. O acréscimo certo de riqueza equivalente a uma loteria já possuída também difere do preço de indiferença para comprá-la. O próprio Bernoulli distingue preço de compra e valor de uma oportunidade já possuída na seção 19.
6. Impor um teto ao prêmio
Um modelo prático também deve considerar os limites do contrato e a capacidade de pagamento. Por exemplo, fixe um teto de 2 elevado a K: na primeira coroa, paga-se o menor entre o prêmio original e o teto.
\[ X_K=\min(X,2^K),\qquad K\in\{1,2,\ldots\} \]A probabilidade de N ser pelo menos K é o inverso de 2 elevado a K−1. Logo,
\[ \mathbb E[X_K]=\sum_{n=1}^{K-1}2^n2^{-n}+2^K\Pr(N\ge K)=(K-1)+2=K+1 \]Um teto de 1 024, isto é, K igual a 10, dá prêmio esperado de 11. Os primeiros K termos da expectativa original somam K, enquanto o contrato com esse teto tem valor esperado K+1. Mudar a regra de pagamento quando o jogo é interrompido antes de terminar define outro jogo.
7. Uma perspectiva econômica que explicita as hipóteses
Bernoulli também aplicou modelos de riqueza e utilidade a seguros e à divisão de cargas entre embarcações. A utilidade esperada é uma estrutura para pensar escolhas arriscadas. Preços, dependência entre perdas e restrições financeiras também importam para seguros e diversificação; um único princípio psicológico não explica todas as decisões.
A concavidade da utilidade sobre a riqueza e a aversão a perdas como assimetria entre ganhos e perdas em relação a um ponto de referência são conceitos distintos. Tversky e Kahneman, no artigo de 1981, discutem pontos de referência, valores de ganhos e perdas e pesos de decisão, observando que essas propriedades não são universais entre indivíduos.
O paradoxo de São Petersburgo separa modelo probabilístico, valor monetário esperado, preferências e restrições. O paradoxo dos dois envelopes e o teorema de Bayes também ficam mais claros quando as hipóteses e as informações condicionantes são explícitas.