Um dado vencedor pode ser sempre superado? O mistério das probabilidades não transitivas

No raciocínio lógico comum, a transitividade é tida como uma verdade autoevidente: se \(A\) é superior a \(B\) e \(B\) é superior a \(C\), então \(A\) deve necessariamente superar \(C\). Esse princípio fundamenta a reta real (\(\mathbb{R}, <\)), medidas físicas e noções econômicas de valor.

Formalmente, uma relação binária \(\succ\) em um conjunto \(S\) é transitiva se:

\[ \forall x, y, z \in S, \quad (x \succ y) \land (y \succ z) \implies (x \succ z) \]

Entretanto, quando probabilidades e comparações multidimensionais se encontram, essa intuição desmorona por completo.

O exemplo intuitivo clássico é o Pedra, Papel e Tesoura. Muitos imaginam que isso ocorre apenas em convenções simbólicas. No entanto, ao distribuir estrategicamente os números em dados cúbicos comuns, surgem os fascinantes dados não transitivos: o dado \(A\) vence \(B\), \(B\) vence \(C\), \(C\) vence \(D\), e \(D\) vence \(A\), todos com uma probabilidade exata de \(2/3\) (\(66,7\%\))!

Mais impressionante ainda: ao lançar dois dados de cada tipo e somar os valores (os dados de Grime), a ordem cíclica de dominância se inverte completamente!

1. A armadilha do valor esperado

Nossa mente se confunde ao tentar aproximar a probabilidade de vitória pelo valor esperado \(E[X]\), que possui propriedade linear:

\[ E[X - Y] = E[X] - E[Y] \]

O valor esperado é transitivo. Porém, num duelo direto entre dois dados independentes, a vitória é decidida pela função indicadora \(\mathbf{1}_{\{x > y\}}\):

\[ P(X > Y) = \iint_{\mathbb{R}^2} \mathbf{1}_{\{x > y\}} \, dF_X(x) \, dF_Y(y) \]

Essa função de degrau é altamente não linear: vencer por \(+3\) pontos ou por \(+1\) ponto pontua identicamente como uma vitória. Essa não-linearidade gera uma torção probabilística, permitindo ciclos fechados de dominância.

2. Os dados de Efron: O ciclo de quatro dados

Desenvolvidos pelo estatístico Bradley Efron, os quatro dados possuem a seguinte configuração:

Dado	Faces do dado	Distribuição	Valor Esperado \(E[\cdot]\)
Dado \(A\)	\(4, 4, 4, 4, 0, 0\)	Quatro 4, dois 0	\(E[A] = 16/6 \approx 2,667\)
Dado \(B\)	\(3, 3, 3, 3, 3, 3\)	Seis 3	\(E[B] = 18/6 = 3,000\)
Dado \(C\)	\(6, 6, 2, 2, 2, 2\)	Dois 6, quatro 2	\(E[C] = 20/6 \approx 3,333\)
Dado \(D\)	\(5, 5, 5, 1, 1, 1\)	Três 5, três 1	\(E[D] = 18/6 = 3,000\)

Análise do espaço amostral de 36 pares:

  flowchart LR
    A["Dado A<br/>[4,4,4,4,0,0]"] -->|"P = 2/3 (66.7%)"| B["Dado B<br/>[3,3,3,3,3,3]"]
    B -->|"P = 2/3 (66.7%)"| C["Dado C<br/>[6,6,2,2,2,2]"]
    C -->|"P = 2/3 (66.7%)"| D["Dado D<br/>[5,5,5,1,1,1]"]
    D -->|"P = 2/3 (66.7%)"| A

\(P(A > B) = 4/6 = 2/3 \approx 66,7\%\)
\(P(B > C) = 4/6 = 2/3 \approx 66,7\%\)
\(P(C > D) = 24/36 = 2/3 \approx 66,7\%\)
\(P(D > A) = 24/36 = 2/3 \approx 66,7\%\)

Em qualquer desafio onde o adversário escolhe o dado primeiro, o jogador que escolhe por segundo possui uma vantagem matemática intransponível de \(66,7\%\) de vitória.

3. Dados de Grime e a inversão por dois dados

\[ R \prec B \prec O \prec Y \prec M \prec R \]

4.1 Paradoxo de Condorcet e Teorema de Arrow

Os dados não transitivos são idênticos ao Paradoxo de Condorcet em sistemas eleitorais: o voto majoritário pode gerar ciclos contraditórios mesmo com eleitores perfeitamente racionais. O Teorema da Impossibilidade de Arrow formaliza essa inevitabilidade.

4.2 O lagarto de manchas laterais (Uta stansburiana)

Na natureza, machos de três cores de garganta mantêm uma disputa cíclica perpétua (laranja vence azul, azul vence amarelo, amarelo vence laranja), sustentando a diversidade genética da espécie.