Monty Hall: regras do apresentador e probabilidade condicional

1. Três portas e as regras que precisamos definir

Um carro e duas cabras. Você escolhe A entre três portas fechadas, A, B e C. Depois, o apresentador abre outra porta e mostra uma cabra. É melhor trocar para a porta restante?

O problema de Monty Hall gerou debate após aparecer na coluna “Ask Marilyn” da revista Parade em 1990. O artigo de Gill discute a história e diferentes formulações matemáticas; o de Rosenthal analisa variantes das regras do apresentador. Aqui usamos o seguinte modelo explícito.

O carro tem a mesma probabilidade de estar atrás de cada porta. Você escolhe A sem usar informação sobre sua localização.
O apresentador conhece o conteúdo das portas e não abre nem A nem a porta do carro.
Em toda partida, ele abre uma porta não escolhida que contém uma cabra e sempre oferece a troca para a outra porta não escolhida que continua fechada.
Se o carro estiver em A, as outras duas portas contêm cabras: ele escolhe abrir B ou C com probabilidade 1/2 para cada uma.

Probabilidades iguais são uma hipótese sobre a colocação do carro. Não saber onde ele está não basta para concluir que essas probabilidades são iguais. Denotamos por C_A, C_B e C_C os eventos de o carro estar em A, B e C, respectivamente.

\[ \Pr(C_A)=\Pr(C_B)=\Pr(C_C)=\frac13 \]

Sob essas regras, a estratégia de sempre trocar ganha com probabilidade 2/3; a de sempre manter a escolha inicial, com probabilidade 1/3. Depois de observar que o apresentador abriu B, a probabilidade condicional de o carro estar em C também é 2/3. A probabilidade global de vitória de uma estratégia e a probabilidade condicionada à abertura de uma porta específica são cálculos diferentes.

2. Trocar ganha em duas das três posições iniciais

Antes de usar como condição qual porta foi aberta, separamos os casos pela posição inicial do carro.

Posição do carro (cada caso com probabilidade 1/3)	Porta que o apresentador abre	Manter	Trocar
A	B ou C	Ganha	Perde
B	C	Perde	Ganha
C	B	Perde	Ganha

Trocar ganha se, e somente se, você escolheu uma porta com cabra no início. Isso acontece porque o apresentador sempre descarta uma porta com cabra e oferece a troca.

\[ \Pr(\mathrm{stay\ wins})=\frac13,\qquad\Pr(\mathrm{switch\ wins})=\frac23 \]

  graph TD
    Start["Início do jogo"] --> CarA["Carro em A (probabilidade 1/3)"]
    Start --> CarB["Carro em B (probabilidade 1/3)"]
    Start --> CarC["Carro em C (probabilidade 1/3)"]
    CarA --> PickA1["Escolhe A"]
    CarB --> PickA2["Escolhe A"]
    CarC --> PickA3["Escolhe A"]
    PickA1 --> HostB_or_C["Abre B ou C com probabilidade 1/2 cada"]
    PickA2 --> HostC["Abre C"]
    PickA3 --> HostB["Abre B"]
    HostB_or_C --> Stay1["Manter: ganha"]
    HostB_or_C --> Switch1["Trocar: perde"]
    HostC --> Stay2["Manter: perde"]
    HostC --> Switch2["Trocar: ganha"]
    HostB --> Stay3["Manter: perde"]
    HostB --> Switch3["Trocar: ganha"]

O valor 2/3 é uma probabilidade do modelo, não uma garantia de ganhar exatamente duas de cada três partidas. A relação entre probabilidades e frequências relativas de vitória em repetições independentes também se conecta à lei dos grandes números.

3. O teorema de Bayes depois de abrir B

C_A, C_B e C_C são os eventos de o carro estar em A, B e C; M_B é o evento de o apresentador abrir B. As regras fornecem estas verossimilhanças:

\[ \Pr(M_B\mid C_A)=\frac12,\qquad\Pr(M_B\mid C_B)=0,\qquad\Pr(M_B\mid C_C)=1 \]

Queremos probabilidades condicionadas à informação de que B foi aberta. O teorema de Bayes combina essas verossimilhanças com as probabilidades a priori.

\[ \Pr(C_i\mid M_B)=\frac{\Pr(M_B\mid C_i)\Pr(C_i)}{\sum_{j\in\{A,B,C\}}\Pr(M_B\mid C_j)\Pr(C_j)} \]

Pela lei da probabilidade total, a probabilidade de abrir B é

\[ \Pr(M_B)=\frac12\cdot\frac13+0\cdot\frac13+1\cdot\frac13=\frac12 \]

Logo, a probabilidade de o carro estar na porta inicial A é

\[ \Pr(C_A\mid M_B)=\frac{(1/2)(1/3)}{1/2}=\frac13 \]

e a de estar em C, o destino da troca, é

\[ \Pr(C_C\mid M_B)=\frac{1\cdot(1/3)}{1/2}=\frac23 \]

Ver A e C ainda fechadas não basta para concluir que são equiprováveis. O cálculo usa o fato de que a probabilidade de abrir B depende da posição do carro.

4. Testando a intuição: informação e regras do apresentador

A intuição “restam duas, então cada uma tem metade da probabilidade” ignora o processo que deixou essas duas portas fechadas. Por outro lado, saber onde está o carro não torna toda decisão do apresentador determinística. Na seção 1, ele ainda escolhe aleatoriamente entre B e C quando o carro está em A. Deixar C fechada também não demonstra que ele não podia abri-la: se o carro estiver em A, abrir C também é permitido.

4.1. Preferência entre as duas portas com cabra

Mantemos as outras regras e mudamos apenas para q a probabilidade de abrir B quando o carro está em A.

\[ q=\Pr(M_B\mid C_A),\qquad0\le q\le1 \]

Nesse caso,

\[ \Pr(M_B)=\frac{1+q}{3} \]

de modo que as probabilidades depois de abrir B são

\[ \Pr(C_A\mid M_B)=\frac{q}{1+q},\qquad\Pr(C_C\mid M_B)=\frac1{1+q} \]

Da mesma forma, se M_C é o evento de o apresentador abrir C,

\[ \Pr(M_C)=\frac{2-q}{3} \]\[ \Pr(C_A\mid M_C)=\frac{1-q}{2-q},\qquad\Pr(C_B\mid M_C)=\frac1{2-q} \]

Por exemplo, com q igual a 1, observar B aberta deixa A e C com probabilidade 1/2 cada uma. Já observar C aberta implica que o carro certamente está em B. Mesmo assim, ao calcular a média ponderada pelas probabilidades das portas abertas, a probabilidade de vitória da estratégia de sempre trocar continua sendo

\[ \Pr(M_B)\Pr(C_C\mid M_B)+\Pr(M_C)\Pr(C_B\mid M_C)=\frac23 \]

Para calcular probabilidades após uma observação específica, é preciso incluir no modelo a preferência do apresentador por uma ou outra porta.

4.2. Abrir sem conhecer o conteúdo

Considere outro jogo: o apresentador não sabe onde está o carro e escolhe abrir B ou C com probabilidade 1/2 cada uma, independentemente da posição do carro. Essa regra pode revelar o carro. Agora observamos que ele abriu B e mostrou uma cabra.

Sejam U_B o evento de esse apresentador abrir B e G o evento de a porta aberta revelar uma cabra. Então

\[ \Pr(U_B\cap G\mid C_A)=\frac12,\qquad\Pr(U_B\cap G\mid C_B)=0,\qquad\Pr(U_B\cap G\mid C_C)=\frac12 \]

Com probabilidades a priori iguais e o teorema de Bayes, obtemos

\[ \Pr(C_A\mid U_B\cap G)=\Pr(C_C\mid U_B\cap G)=\frac12 \]

“Revelar sempre uma cabra” e “revelar uma cabra por acaso” descrevem mecanismos de observação diferentes. Explicar a psicologia humana e calcular probabilidades sob regras definidas são questões distintas.

5. Um milhão de portas também exige uma condição clara

Numeramos n portas de 1 a n. A posição C do carro tem distribuição uniforme entre elas, e a escolha inicial é fixada em 1. Em toda partida, o apresentador informado abre n−2 portas não escolhidas que contêm cabras e oferece a troca para a única porta não escolhida que continua fechada, R. Aqui n é um inteiro maior ou igual a 3.

\[ \Pr(C=1)=\frac1n,\qquad\Pr(C=R)=\frac{n-1}{n} \]

Com um milhão de portas, a probabilidade incondicional de vitória da estratégia de sempre trocar é 999999/1000000. Vale o mesmo raciocínio: trocar ganha quando a porta inicial contém uma cabra.

Agora calculamos probabilidades condicionadas somente ao número R da porta restante. Suponha também que, quando a porta escolhida inicialmente contém o carro, o apresentador escolhe R uniformemente entre as outras n−1 portas. Para um número específico r diferente de 1, isso dá

\[ \Pr(C=r\mid R=r)=\frac{1/n}{(1/n)+(1/n)(1/(n-1))}=\frac{n-1}{n} \]

Sob essa regra simétrica, observar que a porta 777777 ficou fechada entre um milhão ainda dá uma probabilidade de 999999/1000000 de ganhar ao trocar para ela.

Mas, se o apresentador sempre deixa esse mesmo número r quando a porta inicial contém o carro, então, após observar essa porta restante,

\[ \Pr(C=r\mid R=r)=\frac{1/n}{(1/n)+(1/n)}=\frac12 \]

A probabilidade global de vitória da estratégia de sempre trocar pode continuar alta, enquanto a probabilidade após observar um número específico muda. Não incluímos informações adicionais, como a ordem de abertura, nesse condicionamento baseado apenas em R.

O próximo diagrama separa as posições iniciais do modelo de três portas da seção 1 conforme a estratégia vencedora. Os valores 2 e 1 representam uma proporção teórica de probabilidades, não contagens de partidas realizadas.

  pie title Estratégia vencedora por posição inicial (proporção teórica)
    "Trocar ganha (2/3)" : 2
    "Manter ganha (1/3)" : 1

6. Conferir hipóteses e informações antes de trocar

A lição não é que mudar uma escolha dobre o sucesso em qualquer situação. As probabilidades de vitória dependem da colocação do carro, do conhecimento do apresentador, da regra de abertura e da regra para oferecer a troca.

Nos negócios e no cotidiano, novas informações podem ajudar a rever hipóteses e atualizar decisões. Os custos, as preferências e as formas de coletar informações precisam de modelos próprios; não podem ser simplesmente equiparados a três portas.