O que torna a identidade de Euler bela?

A identidade de Euler é admirada por conectar cinco constantes matemáticas fundamentais em uma equação curta.

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

A equação reúne números importantes na aritmética, geometria, análise e álgebra. No capítulo 22 do primeiro volume de The Feynman Lectures on Physics, Feynman descreve a fórmula geral de Euler com as palavras “This is our jewel.” O comentário se refere à fórmula discutida adiante, e não apenas à identidade particular acima.

Explicaremos as cinco constantes, obteremos a identidade a partir da fórmula de Euler, demonstraremos essa fórmula com séries absolutamente convergentes e a interpretaremos como uma rotação. Nas aplicações, distinguiremos a identidade para um ângulo específico da fórmula para ângulos arbitrários.

Cinco constantes fundamentais

Os números $0,1,\pi,e,i$ desempenham papéis básicos em diferentes contextos matemáticos. Associá-los a áreas distintas é uma maneira de explicar esses papéis, não uma afirmação de que antes não tivessem relação entre si.

1. $0$: O elemento neutro da adição

$0$ é o elemento neutro da adição: $a+0=a$ para qualquer número $a$. Também pode representar a ausência de uma quantidade ou uma posição vazia na notação posicional; aqui nos concentramos em sua propriedade aditiva.

2. $1$: O elemento neutro da multiplicação

$1$ é o elemento neutro da multiplicação: $a\cdot1=a$ para qualquer número $a$. Começar os naturais em 1 ou incluir o 0 é uma convenção; o papel multiplicativo do 1 não muda.

3. $\pi$: A constante do círculo

$\pi$ é um número irracional de valor aproximado $3.14159\dots$, a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro no plano euclidiano. Também aparece nas funções trigonométricas e na medida de ângulos em radianos. Aqui o ângulo essencial é $\pi$, uma meia-volta.

4. $e$: A base do logaritmo natural

$e$ é um número irracional de valor aproximado $2.71828\dots$ e a base do logaritmo natural. Para $x$ real, a derivada de $e^x$ é $e^x$ e suas primitivas são $e^x+C$. Ele aparece em modelos exponenciais de crescimento e decaimento, embora nem toda mudança contínua siga um modelo exponencial.

5. $i$: A unidade imaginária

$i$ é a unidade imaginária que satisfaz $i^2=-1$. Como $-i$ satisfaz a mesma equação, convencionamos representar $i$ na direção vertical para cima no plano complexo. Os números complexos têm a forma $a+bi$, com $a,b$ reais, ampliando o contexto para estudar equações e rotações.

A identidade de Euler conecta as constantes aritméticas $0$ e $1$, a constante geométrica $\pi$, a constante da análise $e$ e a constante algébrica $i$ em uma só equação.

Obtenção a partir da fórmula de Euler

A identidade é o caso da fórmula de Euler para o ângulo $\pi$. Neste artigo, $x$ é real e os ângulos são medidos em radianos. A notação $e^z$ significa a função exponencial complexa de valor único $\exp z$, definida pela série apresentada adiante.

$$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $$

A fórmula conecta a função exponencial à esquerda às funções trigonométricas à direita por meio da unidade imaginária $i$.

Substituímos $x=\pi$, a medida em radianos de 180 graus:

$$ e^{i\pi} = \cos\pi + i\sin\pi $$

Como $\cos\pi=-1$ e $\sin\pi=0$, obtemos:

$$ e^{i\pi} = -1 + i \cdot 0 $$

Portanto:

$$ e^{i\pi} = -1 $$

Somando 1 aos dois lados:

$$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$

Assim, a identidade decorre da fórmula de Euler.

Demonstração por séries de Maclaurin

Por que vale $e^{ix}=\cos x+i\sin x$? Usaremos as séries de Maclaurin, verificando a definição da exponencial complexa e a convergência, em vez de apenas substituir formalmente um número complexo em uma igualdade de variáveis reais.

Definimos $\exp z=\sum_{n=0}^{\infty}z^n/n!$. A convergência para $z=0$ é imediata. Para qualquer complexo fixo $z\ne0$, a razão entre os valores absolutos de termos consecutivos, $|z|/(n+1)$, tende a zero, de modo que a série converge absolutamente. Para $x$ real, ela coincide com a exponencial usual; o seno e o cosseno também admitem as expansões seguintes. As três igualdades valem para todo $x$ real.

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \dots $$$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots $$$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots $$

Tomamos $z=ix$ na série da exponencial complexa. Como $x$ é real, $ix$ é imaginário puro, ou zero quando $x=0$. Usamos o ciclo de quatro passos $i^1=i$, $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$.

$$ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \dots $$$$ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \dots $$

A convergência absoluta permite agrupar os termos de grau par e ímpar. Como $x$ é real, o primeiro parêntese fornece a parte real e o segundo o valor da parte imaginária. A parte imaginária é um número real, diferente desse número multiplicado por $i$.

$$ e^{ix} = \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots \right) + i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots \right) $$

O primeiro parêntese é a série de $\cos x$ e o segundo a de $\sin x$. Logo:

$$ e^{ix} = \cos x + i\sin x $$

Isso demonstra a relação entre as funções exponencial e trigonométricas.

Significado geométrico no plano complexo

A identidade também tem uma interpretação geométrica no plano complexo, ou plano de Gauss.

Representamos $z=a+bi$ pelo ponto $(a,b)$: a coordenada horizontal é a parte real e a vertical é o valor da parte imaginária. Para $\theta$ real, $|e^{i\theta}|=1$, de modo que multiplicar por $e^{i\theta}$ preserva o comprimento e gira em torno da origem. Se $\theta$ é positivo, a rotação é anti-horária; se é negativo, é horária. A origem permanece fixa.

Consideremos $e^{i\pi}=-1$ nessa perspectiva:

Partimos de $1$, o ponto $(1,0)$ do eixo real.
Multiplicar por $e^{i\pi}$ gira esse ponto $\pi$ radianos, ou 180 graus, em torno da origem.
Uma meia-volta a partir de $1$ leva a $-1$, o ponto $(-1,0)$.

A identidade expressa, assim, o fato geométrico de que meia-volta a partir de $1$ alcança o ponto oposto, $-1$.

  graph TD
    A["Identidade de Euler e^(iπ) + 1 = 0"] -->|"contém"| B["e (Análise: mudança contínua)"]
    A -->|"contém"| C["i (Álgebra: rotação no plano complexo)"]
    A -->|"contém"| D["π (Geometria: arco semicircular)"]
    A -->|"contém"| E["1, 0 (Aritmética: ponto inicial e equilíbrio)"]

Leonhard Euler

Leonhard Euler (1707–1783), nascido na Suíça, foi um dos principais matemáticos do século XVIII. Contribuiu para várias áreas da matemática e também trabalhou em física, astronomia e engenharia.

Euler produziu muitos artigos e livros e continuou pesquisando ativamente depois de perder a visão na velhice. O primeiro volume de Introductio in analysin infinitorum, publicado em 1748, coloca as funções no centro da análise e destaca a notação $f(x)$ e os papéis de $e$ e da função exponencial. Também trata de séries infinitas, produtos infinitos e frações contínuas.

A demonstração apresentada aqui é uma explicação moderna baseada na definição da exponencial complexa e na convergência absoluta. Ela não deve ser identificada diretamente com os argumentos infinitesimais empregados nos escritos de Euler.

Aplicações na ciência e na engenharia

As aplicações usam principalmente a fórmula de Euler com um ângulo variável. A identidade apenas para $x=\pi$ não realiza, por si só, todos esses cálculos.

Processamento de sinais e análise de Fourier

A análise de Fourier representa sinais por componentes trigonométricas ou exponenciais complexas. Séries para sinais periódicos e transformadas para sinais não periódicos exigem condições sobre as funções e uma noção especificada de convergência. A derivada temporal de $e^{i\omega t}$ é $i\omega e^{i\omega t}$; para $\omega\ne0$, uma primitiva é $e^{i\omega t}/(i\omega)$. Derivar ou integrar uma série termo a termo requer condições adicionais.

Uma FFT calcula eficientemente a transformada discreta de Fourier de dados finitos. O método básico do JPEG usual com perdas usa uma transformada discreta do cosseno (DCT); isso deve ser distinguido da afirmação de que JPEG usa diretamente uma FFT.

Engenharia elétrica e eletrônica

Em um circuito de corrente alternada linear e invariante no tempo, no regime permanente senoidal de uma única frequência, fasores permitem calcular amplitudes e fases de tensões e correntes com álgebra complexa. Os transitórios são tratados separadamente; frequências diferentes são analisadas individualmente antes da superposição. O método não se aplica sem condições a circuitos não lineares ou a variações temporais arbitrárias.

Mecânica quântica

Na mecânica quântica não relativística, a equação de Schrödinger descreve uma função de onda, uma amplitude de probabilidade complexa. Para uma função de onda normalizada na representação de posição $\psi(x,t)$, $|\psi(x,t)|^2$ é uma densidade de probabilidade de posição; a própria função de onda não é uma probabilidade. Exponenciais complexas aparecem nas ondas planas de partículas livres e na evolução temporal de autoestados de energia, mas uma função de onda geral não é uma única exponencial.

Conclusão: O encanto da equação

A identidade de Euler pode lembrar um quebra-cabeça cujas peças finalmente formam uma imagem: a constante geométrica $\pi$, a constante da análise $e$, a unidade imaginária $i$ e os números elementares $1$ e $0$. Suas relações podem despertar a sensação de que a matemática reflete uma ordem mais profunda do mundo.

Embora a matemática seja frequentemente vista como uma linguagem técnica, a simplicidade e as amplas conexões dessa identidade também podem ser apreciadas como um poema ou uma obra de arte. Sua beleza está na harmonia que os leitores encontram entre essas ideias.

Identidade de Euler: Uma equação que conecta cinco constantes matemáticas

Uma explicação profunda do contexto e significado da Identidade de Euler, considerada a mais bela da história da matemática.