1. Introdução: O Jovem Gênio Abel

Na história da matemática, existem alguns gênios que faleceram precocemente, mas que deixaram um impacto decisivo nas gerações futuras. Entre eles, o norueguês Niels Henrik Abel destaca-se, juntamente com Évariste Galois, como um dos gênios trágicos mais famosos. Na sua curta vida de apenas 26 anos, ele provou que “não existe uma solução algébrica geral para equações de grau cinco ou superior”, um problema que atormentava os matemáticos há séculos.

Neste artigo, aprofundaremos na vida de Abel, impulsionada por sua paixão pela matemática apesar da pobreza e da doença, e nas suas realizações monumentais, como os “grupos abelianos” e as “integrais abelianas”.

2. A Vida de Abel: Pobreza e o Florescimento do Talento

2.1 Primeira Infância e o Encontro com o seu Mentor Holmboe

Niels Henrik Abel nasceu a 5 de agosto de 1802, na pequena vila norueguesa de Finnøy, filho de um pastor. A Noruega, na época, estava economicamente empobrecida, e a família de Abel não era exceção.

O seu destino mudou significativamente quando ingressou na Escola da Catedral de Oslo em 1817 e conheceu o seu professor de matemática, Bernt Michael Holmboe. Holmboe reconheceu imediatamente o extraordinário talento de Abel e ensinou-lhe matemática avançada de nível universitário. Devorando as obras de mestres como Euler, Lagrange e Laplace, Abel absorveu rapidamente a matemática de ponta.

  flowchart TD
    A["1802: Nasce na Noruega"] --> B["1817: Conhece Holmboe"]
    B --> C["1821: Ingressa na Universidade Real Frederico"]
    C --> D["1824: Auto-publica a impossibilidade da equação quíntica"]
    D --> E["1825-1827: Viagem de estudos europeia (Berlim, Paris)"]
    E --> F["1829: Morre de tuberculose aos 26 anos"]

2.2 A Morte do seu Pai e um Fardo Pesado

Em 1820, quando Abel tinha 18 anos, o seu pai faleceu. O seu pai tinha agravado os conflitos políticos e morreu deixando para trás pesadas dívidas. Como resultado, Abel teve de assumir a pesada responsabilidade de sustentar a sua mãe e seis irmãos. Apesar da extrema pobreza, com o apoio do seu mentor Holmboe e de amigos, ingressou na Universidade Real Frederico (hoje Universidade de Oslo) em 1821.

3. A Impossibilidade da Fórmula da Equação Quíntica

A primeira grande realização de Abel esteve relacionada com as equações algébricas. As equações quadráticas têm uma fórmula de solução conhecida desde a antiguidade, e as fórmulas para as equações cúbicas e quárticas foram descobertas na Itália do século XVI. No entanto, ninguém conseguiu encontrar uma fórmula geral para a equação quíntica durante quase 300 anos depois disso.

Inicialmente, Abel pensou que tinha descoberto a fórmula para a equação quíntica e escreveu um artigo. No entanto, durante o processo de revisão por pares por parte de Holmboe e outros, ele percebeu o seu erro. Subsequentemente, chegou à ideia oposta: “Será que não existe uma fórmula geral utilizando apenas as quatro operações aritméticas fundamentais e radicais para equações de grau cinco e superior?”

Finalmente, em 1824, ele provou completamente este facto. Hoje, isto é conhecido como o teorema de Abel-Ruffini (uma vez que o matemático italiano Paolo Ruffini havia publicado anteriormente uma prova incompleta).

É geralmente impossível expressar as raízes desta equação num número finito de termos utilizando apenas $a, b, c, d, e, f$, as quatro operações aritméticas e os radicais.

4. Viagem à Europa e o Encontro com Crelle

Em 1825, Abel obteve uma bolsa do governo norueguês e teve a oportunidade de estudar na Europa continental. O seu objetivo era visitar Paris, o centro da matemática na época, e Göttingen, onde residia o grande matemático Carl Friedrich Gauss.

Abel enviou o seu artigo para Gauss, mas Gauss ignorou-o sem sequer o ler. Desistindo de conhecer Gauss, Abel dirigiu-se para Berlim.

Em Berlim, conheceu August Leopold Crelle, um engenheiro civil e apaixonado entusiasta da matemática. Impressionado com o talento de Abel, Crelle lançou a primeira revista especializada em matemática do mundo, Journal für die reine und angewandte Mathematik (comumente conhecida como Jornal de Crelle). Abel contribuiu com vários artigos para o seu número inaugural, dando a conhecer o seu nome na comunidade matemática europeia.

5. Revés em Paris e a Negligência de Cauchy

Em 1826, Abel chegou a Paris. Aqui, ele submeteu um artigo à Academia Francesa de Ciências sobre um “Amplo teorema sobre funções transcendentes”, que poderia ser considerado a sua obra-prima. Este artigo continha um conteúdo inovador que mais tarde seria conhecido como o teorema de Abel.

No entanto, a tragédia atacou novamente. O grande matemático Augustin-Louis Cauchy, encarregado de o rever, perdeu o artigo de Abel numa pilha de documentos no seu quarto e nunca o reviu.

Movido pelo desespero, pela falta de fundos e pela doença progressiva da tuberculose, Abel foi forçado a deixar Paris.

6. Regresso a Casa e um Fim Trágico

Em 1827, a pobreza extrema aguardava Abel no seu regresso à Noruega. Incapaz de encontrar um cargo académico permanente, ele escreveu artigos freneticamente no pouco tempo que lhe restava.

A 6 de abril de 1829, assistido pela sua noiva e pelos seus amigos, Abel faleceu na jovem idade de 26 anos.

Tragicamente, apenas dois dias após a sua morte, chegou uma carta de Crelle. Afirmava que um cargo de professor de matemática na Universidade de Berlim havia sido garantido para Abel. Quando o seu talento recebeu o merecido reconhecimento, já era tarde demais.

7. O Legado Matemático de Abel

As realizações que Abel deixou para trás enraizaram-se em todas as áreas da matemática moderna.

7.1 Grupo Abeliano

Na álgebra abstrata, uma das estruturas mais fundamentais e importantes é o “Grupo”. Entre os grupos, aqueles em que o resultado não muda mesmo que a ordem das operações seja invertida são chamados de grupos abelianos.

Por definição, um grupo $G$ é chamado de grupo abeliano se a seguinte lei comutativa for válida para quaisquer elementos $a, b$ em $G$:

  flowchart LR
    A["Grupo"] --> B{"A lei comutativa é válida?"}
    B -- "Sim: a*b = b*a" --> C["Grupo Abeliano"]
    B -- "Não: a*b ≠ b*a" --> D["Grupo Não Abeliano"]
    
    C --> E["Exemplo: Números inteiros com adição"]
    D --> F["Exemplo: Multiplicação de matrizes"]

7.2 Integrais Abelianas e Funções Abelianas

O tema da memória de Paris de Abel, a integral abeliana, é uma generalização das integrais envolvendo funções algébricas. Após a sua morte, esta teoria foi desenvolvida por Jacobi e outros, crescendo em teorias magníficas como as variedades abelianas na geometria algébrica.

7.3 Teorema do Limite de Abel

Abel também deixou uma marca significativa no campo da análise. É um teorema referente à convergência de séries infinitas.

Este teorema ainda é frequentemente utilizado hoje em dia em teorias como o prolongamento analítico e a expansão assintótica.

8. Conclusão

A vida de Niels Henrik Abel enquadra-se perfeitamente na palavra “tragédia”. No entanto, a paixão que ele depositou na matemática e os numerosos teoremas que produziu nunca desaparecerão. As teorias que deixou para trás continuam a fornecer nova inspiração aos matemáticos até hoje.