サンクトペテルブルクのパラドックス：期待値が「無限大」のギャンブルに、あなたはいくら払う？

1. 期待値が「無限大」の夢のギャンブル

あなたがカジノを歩いていると、ディーラーから次のような新しいコイントス・ゲームに誘われました。

【ゲームのルール】

参加費を払ってゲームをスタートします。
コインを投げます。表が出たら賞金が2倍になり、もう一度投げることができます。
裏が出た時点でゲーム終了。その時点まで積み上がった賞金がもらえます。

最初の賞金は2ドルからスタートします。

1回目に裏が出たら、2ドルもらって終了。
1回目表、2回目に裏が出たら、4ドルもらって終了。
1回目表、2回目表、3回目に裏が出たら、8ドルもらって終了。
…以降、表が出続ける限り賞金は 16ドル、32ドル、64ドル…と倍々に増えていきます。

graph TD Start["ゲーム開始"] --> Toss1{"1回目のコイントス"} Toss1 -->|裏 (1/2)| End1["終了：2ドル獲得"] Toss1 -->|表 (1/2)| Toss2{"2回目のコイントス"} Toss2 -->|裏 (1/2)| End2["終了：4ドル獲得"] Toss2 -->|表 (1/2)| Toss3{"3回目のコイントス"} Toss3 -->|裏 (1/2)| End3["終了：8ドル獲得"] Toss3 -->|表 (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|連続すればするほど| Infinite["賞金は無限に倍増！"]

さて、ここであなたに質問です。 このゲームの参加費が「1万ドル（約150万円）」だとしたら、あなたは参加しますか？

おそらく、ほとんどの人は「参加しない」と答えるでしょう。なぜなら、半分の確率で最初のトスで裏が出てしまい、たった2ドルしかもらえず、大損をしてしまうからです。

しかし、数学の確率論（期待値）に忠実に計算すると、驚くべき事実が判明します。数学的には、参加費が1万ドルだろうが1億円だろうが、全財産を借金してでもこのゲームに参加すべきなのです。

一体なぜでしょうか？

2. 期待値を計算してみよう

ギャンブルが「得か損か」を判断するための数学的な指標に**「期待値」**があります。期待値とは、「そのゲームを何度も繰り返したとき、1回あたり平均してどれくらい儲かるか」を表す数値です。計算式は 「（もらえる賞金）×（その確率）」をすべて足し合わせたもの になります。

今回のゲームの期待値を計算してみましょう。

1回目で裏が出る確率： $\frac{1}{2}$ 賞金は $2$ ドル。期待値への寄与＝ $2 \times \frac{1}{2} = 1$ ドル
2回目で裏が出る確率： 表・裏と出るので $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 賞金は $4$ ドル。期待値への寄与＝ $4 \times \frac{1}{4} = 1$ ドル
3回目で裏が出る確率： 表・表・裏と出るので $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ 賞金は $8$ ドル。期待値への寄与＝ $8 \times \frac{1}{8} = 1$ ドル
$n$回目で裏が出る確率： $(\frac{1}{2})^n$ 賞金は $2^n$ ドル。期待値への寄与＝ $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ ドル

つまり、何回目で終わったとしても、そのパターンの期待値は**常に「1ドル」**になるのです。ゲームは無限に続く可能性があるため、この期待値をすべて足し合わせると次のようになります。

$$ \text{総期待値} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{（無限大）} $$

数学が弾き出した答えは**「このゲームの期待値は無限大である」**でした。期待値が無限大である以上、参加費がいくら高くても、理屈の上では絶対に「得なギャンブル」だということになります。

これが、1713年にニコラウス・ベルヌーイによって提起された**「サンクトペテルブルクのパラドックス」**です。数学の正しい計算結果（無限大の価値がある）と、人間の現実的な感覚（数ドルしか払いたくない）が、激しく矛盾しているのです。

3. 数学と人間のズレを解決する「効用」の発見

このパラドックスを解決したのは、ニコラウスのいとこである天才数学者ダニエル・ベルヌーイでした。（彼がサンクトペテルブルクの科学アカデミーでこの論文を発表したため、この名がついています。）

ダニエルは、人間の心理に踏み込みました。彼は、**「人間は、お金の『絶対的な金額』ではなく、お金がもたらす『満足度（効用）』で物事を判断している」**と考えたのです。

これを**「限界効用逓減（ていげん）の法則」**と呼びます。

お金の価値は、持っている量によって下がる

例えば、あなたが砂漠で喉がカラカラのとき、1杯目の水は「1万円払ってでも飲みたい」ほどの価値（満足度）があります。しかし、2杯目、3杯目と飲むにつれて、1杯の水の価値はどんどん下がっていきます。10杯目にもなれば「もうタダでもいらない」となるでしょう。

お金もこれと同じです。

貯金ゼロの人がもらう「100万円」は、人生を救うほどの莫大な価値があります。
しかし、資産100億円のイーロン・マスクがもらう「100万円」は、道端に落ちている1円玉程度の価値（満足度）しかありません。

つまり、賞金が 2ドル $\rightarrow$ 4ドル $\rightarrow$ 8ドル $\rightarrow$ 16ドル… と無限に増えていっても、人間が感じる「嬉しさ（効用）」は、金額に比例して無限には増えないのです。

4. 「効用」を使って期待値を計算し直す

ダニエル・ベルヌーイは、「人間が感じるお金の価値（効用）は、金額の対数（$\log$）に比例する」と仮定しました。

金額を $x$ としたとき、人間が感じる価値（効用） $u(x)$ を対数関数で表してみます（ここでは底を2とする単純なモデルを考えます）。

賞金 $2$ ドルの効用： $\log_2(2) = 1$
賞金 $4$ ドルの効用： $\log_2(4) = 2$
賞金 $8$ ドルの効用： $\log_2(8) = 3$
賞金 $2^n$ ドルの効用： $\log_2(2^n) = n$

金額は倍々に増えていきますが、人間の「嬉しさ」は 1, 2, 3… と少しずつしか増えていきません。この「効用」を使って、再び期待値（期待効用）を計算してみましょう。

$$ \text{期待効用} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

この無限級数の和を計算すると、結果は「無限大」にはならず、「2」に収束します。 効用が「2」である金額を逆算すると、$2^2 = 4$ ドルとなります。

つまり、人間の心理（効用）を組み込んで計算し直すと、**「このゲームの価値は、人間の感覚ではだいたい『4ドル』くらいである」**という、極めて常識的で現実的な答えが導き出されるのです。だからこそ、私たちはこのゲームに1万ドルを払う気にはならないのです。

5. まとめ：経済学の扉を開いたパラドックス

サンクトペテルブルクのパラドックスは、「金額」という客観的な数字と、「人間の満足度」という主観的な価値が一致しないことを数学的に証明した画期的なパラドックスでした。

ダニエル・ベルヌーイが提唱した「効用（Utility）」という概念は、その後200年の時を経て、現代ミクロ経済学や金融工学（ポートフォリオ理論など）の最も重要な基礎となりました。私たちが保険に入ったり、分散投資をしたりする行動も、すべてこの「限界効用逓減（大損する苦しみは、大儲けする喜びよりもはるかに大きい）」という人間の心理メカニズムによって説明することができます。

ただのギャンブルの計算問題が、人間の心を読み解き、経済学という巨大な学問を生み出すきっかけとなったのです。