シンプソンのパラドックス：部分で勝っているのに、全体で負ける謎の現象

1. どちらの病院で手術を受けるべきか？

あなたは重い病気にかかり、手術を受けなければならなくなりました。目の前には、A病院とB病院という2つの選択肢があります。あなたはそれぞれの病院の手術の「成功率」のデータを取り寄せました。

【全体の成功率】

A病院： 1000人のうち、900人が成功（成功率 90%）
B病院： 1000人のうち、800人が成功（成功率 80%）

これを見れば、誰でも「A病院の方が優秀だ！」と思うはずです。しかし、あなたは慎重な性格なので、病気の状態（軽症か、重症か）によってデータがどう変わるのか、さらに細かく調べてみることにしました。

【軽症患者の成功率】

A病院： 100人のうち、99人が成功（成功率 99%）
B病院： 900人のうち、870人が成功（成功率 96%） $\rightarrow$ 軽症の場合は、A病院の勝ち（99% > 96%）

【重症患者の成功率】

A病院： 900人のうち、801人が成功（成功率 89%）
B病院： 100人のうち、70人が成功（成功率 70%） $\rightarrow$ 重症の場合でも、A病院の勝ち（89% > 70%）

あれ？おかしいと思いませんか？

「軽症」の患者にとっても、A病院の方が成功率が高い。「重症」の患者にとっても、A病院の方が成功率が高い。それなのに、患者全員を合わせた「全体」の成功率を計算すると……？

A病院全体： $(99 + 801) / 1000 =$ 90%
B病院全体： $(870 + 70) / 1000 =$ 94%……ではなく、さっきの計算だと 80%？

待ってください、もう一度最初のデータを見てみましょう。最初のデータはこうでした。

A病院全体の成功率： 90%
B病院全体の成功率： 80%

しかし、細かく分けたデータで計算し直してみると、 B病院の全体成功率は $(870 + 70) / 1000 = 940 / 1000 = $ 94% になるはずです。

…いや、騙されましたね！ 実は、この数字のトリックこそが、今回解説する統計学の恐ろしい罠なのです。正しいデータをもう一度お見せしましょう。

2. 騙されたあなたへ：本当のデータ

【軽症患者の成功率】

A病院： 900人のうち、870人が成功（成功率 96%）
B病院： 100人のうち、99人が成功（成功率 99%） $\rightarrow$ 軽症の場合は、B病院の勝ち（99% > 96%）

【重症患者の成功率】

A病院： 100人のうち、30人が成功（成功率 30%）
B病院： 900人のうち、315人が成功（成功率 35%） $\rightarrow$ 重症の場合でも、B病院の勝ち（35% > 30%）

つまり、軽症でも重症でも、B病院の方が圧倒的に優秀なのです。

では、これを「全体」で合算してみましょう。

A病院全体： $(870 + 30) / (900 + 100) = 900 / 1000 =$ 成功率 90%
B病院全体： $(99 + 315) / (100 + 900) = 414 / 1000 =$ 成功率 41%

なんと、「部分」で見るとすべてB病院が勝っているのに、「全体」で合わせるとA病院の圧勝になってしまいました！これが**「シンプソンのパラドックス」**と呼ばれる現象です。

graph TD subgraph "部分的なデータ（Bの勝ち）" Light["軽症： B病院の勝ち (99% > 96%)"] Heavy["重症： B病院の勝ち (35% > 30%)"] end subgraph "全体のデータ（Aの勝ち）" Total["全体合算： A病院の圧勝 (90% > 41%)"] end Light -->|合算するとなぜか逆転| Total Heavy -->|合算するとなぜか逆転| Total style Total fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px

3. なぜこんな奇妙な逆転が起こるのか？

このパラドックスの正体は、**「母数（分母）の偏り」と「隠れた変数（交絡因子）」**にあります。

データをよく見てください。

A病院は、**「治りやすい軽症患者」を大量に（900人）**受け入れています。
B病院は、**「治りにくい重症患者」を大量に（900人）**受け入れています。

B病院は腕が良いので、他で断られるような難しい重症患者をたくさん引き受けている「最後の砦」のような病院だったのです。当然、重症患者の成功率は低くなります（35%）。B病院の「全体の成功率」は、この大量の重症患者の低い成功率に足を引っ張られて、全体として低く（41%）見えてしまったのです。

逆にA病院は、簡単な軽症患者ばかりをこなしているため、全体の成功率が高く（90%）見えていただけで、同じ条件（重症同士、軽症同士）で比べるとB病院より腕が劣っていたのです。

数式で表すと、分数の足し算の性質が原因です。一般に、$\frac{a}{b} < \frac{A}{B}$ かつ $\frac{c}{d} < \frac{C}{D}$ であっても、

$$ \frac{a+c}{b+d} < \frac{A+C}{B+D} $$

が常に成り立つとは限りません。分母の大きさが極端に違う場合、不等号の向きが逆転することがあるのです。

4. 現実世界で起きた「シンプソンのパラドックス」

このパラドックスは単なる算数パズルではなく、現実の社会でも頻繁に発生し、大論争を巻き起こしてきました。

1973年カリフォルニア大学バークレー校の性差別疑惑

バークレー校の大学院の合格率を調査したところ、「男性の合格率（44%）」が「女性の合格率（35%）」よりも有意に高く、女性への明らかな差別があるとして問題になりました。しかし、データを「学部ごと」に分けて細かく分析したところ、驚くべき事実が判明しました。ほぼすべての学部で、女性の合格率の方が男性よりも高かったのです。

なぜ全体の数字が逆転したのか？実は、女性は「合格率の低い（狭き門の）学部」に多く応募しており、男性は「合格率の高い（入りやすい）学部」に多く応募していただけでした。

コロナワクチンの有効性データ

「ワクチンを接種した人の方が、未接種の人よりも死亡率が高い」というデータが出回り、騒ぎになったことがあります。これも年代別のデータ（隠れた変数）を無視した結果です。ワクチンは「高齢者（もともと死亡率が高い）」から優先的に接種されていたため、全体の死亡率をただ合算すると、ワクチン接種グループの方に高齢者が極端に偏ってしまい、見かけ上死亡率が高くなってしまったのです。

年代ごとに分けて比較すると、すべての年代において「接種した人の方が死亡率が低い」ことが確認されました。