도시의 거리를 걸을 때 발아래 있는 하수도 맨홀 뚜껑(Manhole Cover)이 왜 예외 없이 둥근 원형인지 생각해 본 적이 있는가? 노벨 물리학상 수상자 리처드 파인만이 즐겨 인용하고 마이크로소프트 입사 면접 문제로 유명해진 이 퍼즐의 답은 간단한 기하학적 부등식에 있다.
만약 맨홀 뚜껑이 한 변의 길이가 \(w\)인 정사각형이라면 어떻게 될까? 정사각형 구멍의 변의 길이는 \(w\)이지만, 피타고라스 정리에 의해 대각선 길이는 \(\sqrt{2}w \approx 1.4142\,w\)가 된다. 따라서 무거운 정사각형 뚜껑을 수직으로 세워 대각선 방향으로 \(45^\circ\) 돌려 넣으면, \(w < \sqrt{2}w\)이므로 뚜껑이 구멍 사이로 빠져 하수도 바닥으로 추락하고 만다. 직사각형, 타원, 정삼각형도 마찬가지로 최소 폭 \(w_{\min}\)이 최대 직경 \(w_{\max}\)보다 작기 때문에 가장 넓은 대각선 방향으로 기울이면 구멍에 빠진다. 반면 지름이 \(w\)인 원은 어느 방향에서 재어도 폭이 항상 \(w\)로 일정하므로 절대 구멍 아래로 떨어지지 않는다.
그렇다면 여기서 수학적 질문을 던져보자. “구멍에 빠지지 않는 맨홀 뚜껑"이나 “위에 얹은 평판을 단 1밀리미터도 위아래로 흔들지 않고 수평 이동시키는 통나무 롤러"의 단면은 반드시 ‘원’이어야만 할까?
정답은 ‘아니오’다! 평면 볼록기하학(Convex Geometry)에는 원이 아니면서도 모든 방향의 평행 지지접선 사이의 거리(폭)가 일정한 값 \(w\)로 유지되는 무수히 많은 도형, 즉 정폭도형(Curve of Constant Width)이 존재한다. 그중 가장 유명하고 극단적인 대표 주자가 바로 19세기 독일의 기계공학자 프란츠 뢸로(Franz Reuleaux)의 이름을 딴 뢸로 삼각형(Reuleaux Triangle)이다.
단면이 뢸로 삼각형인 통나무들을 바닥에 나란히 깔고 그 위에 평평한 판자를 얹어 밀면, 판자는 완벽하게 일정한 높이 \(y = w\)를 유지하며 수평으로 미끄러지듯 전진한다. 더욱 놀라운 사실은 1914년 영국 기술자 해리 제임스 와츠(Harry James Watts)가 뢸로 삼각형 단면의 드릴 날을 특수 플로팅 척에 장착하여 회전시킴으로써, 금속판에 정사각형 면적의 \(98.77\%\)를 깎아내는 ‘네모난 구멍’ 드릴을 발명했다는 점이다! 본 글에서는 민코프스키 지지함수부터 바르비에 정리의 두 가지 엄밀한 증명, 블라슈케-르베그 정리, 사각 구멍 드릴의 궤적 방정식, 그리고 3차원 마이스너 입체(Meissner Bodies)까지 정폭도형의 수리적 구조를 완벽히 해부한다.
1. 구름의 역설: 왜 뢸로 삼각형 롤러는 흔들리지 않는데 바퀴로 쓰면 덜컹거릴까?
1.1 평판 아래에서 구르는 뢸로 삼각형 롤러
수평 바닥(\(y = 0\)) 위에 폭 \(w\)인 뢸로 삼각형 롤러를 놓고 그 위에 평판을 얹어보자. 정폭도형의 정의에 의해 뢸로 삼각형이 어떤 각도 \(\theta \in [0, 2\pi)\)로 회전하더라도 바닥과 평판 사이의 수직 거리는 항상 \(w\)로 불변이다. 따라서 평판의 높이는 \(y_{\text{plank}}(\theta) \equiv w\)로 고정되어 상하 진동이 완전히 0이 된다.
1.2 고정 차축(무게중심 \(G\))의 주기적 상하 진동
하지만 뢸로 삼각형의 기하학적 중심(무게중심) \(G\)에 고정된 차축을 꽂아 자전거 바퀴로 만들면 승차감은 악몽이 된다. 한 변이 \(w\)인 정삼각형 \(\triangle ABC\)를 기반으로 한 뢸로 삼각형에서:
- 중심 \(G\)에서 세 꼭짓점 \(A, B, C\)까지의 거리(외접원 반지름)는 \(R = \frac{w}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}w \approx 0.57735\,w\)이다.
- 중심 \(G\)에서 반대편 원호의 중점까지의 거리는 \(r = w - R = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)w \approx 0.42265\,w\)이다.
따라서 뢸로 삼각형이 바닥 위를 한 바퀴 구르는 동안 중심 차축 \(G\)의 높이 \(y_G\)는 1회전당 3번씩 최대 높이 \(\frac{\sqrt{3}}{3}w\)와 최소 높이 \(\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)w\) 사이를 오르내리며, 그 상하 진폭은
\[\Delta y_G = y_{G,\max} - y_{G,\min} = \left(\frac{2\sqrt{3}}{3} - 1\right) w \approx 0.15470\,w\]즉 폭의 약 \(15.5\%\)에 달한다! 이처럼 “외곽 포락선(Envelope)의 높이 불변성"과 “중심 \(G\)의 편심 궤도 운동” 사이의 괴리가 바로 사각 구멍 드릴과 방켈 로터리 엔진을 작동시키는 핵심 원리다.
2. 볼록기하학과 민코프스키 지지함수 \(h_K(\theta)\)
2.1 지지함수, 포락선 복원 및 곡률반지름
평면 볼록체 \(K \subset \mathbb{R}^2\)에 대하여 방향각 \(\theta \in [0, 2\pi)\)의 외향 단위법선벡터를 \(\mathbf{u}(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)^\top\), 단위접선벡터를 \(\mathbf{t}(\theta) = (-\sin\theta, \cos\theta)^\top\)라 하자. \(K\)의 민코프스키 지지함수(Minkowski Support Function)는 다음과 같이 정의된다.
\[h_K(\theta) \triangleq \max_{(x, y) \in K} \left(x\cos\theta + y\sin\theta\right)\]기하학적으로 \(h_K(\theta)\)는 원점 \(O(0,0)\)에서 법선 방향이 \(\mathbf{u}(\theta)\)인 지지직선 \(L(\theta) : x\cos\theta + y\sin\theta = h_K(\theta)\)까지의 부호 있는 수직 거리다.
flowchart TD
A["평면 볼록체 K ⊂ ℝ²"] --> B["외향 단위법선 u(θ) = (cos θ, sin θ)"]
B --> C["민코프스키 지지함수 h(θ) = max_{(x,y)∈K} (x cos θ + y sin θ)"]
C --> D["반대 방향 지지함수 h(θ + π)"]
C --> E["경계 곡선의 포락선 매개화 r(θ) = h(θ)u(θ) + h'(θ)t(θ)"]
D --> F["방향 폭(캘리퍼 함수) W(θ) = h(θ) + h(θ + π)"]
E --> G["곡률반지름 ρ(θ) = ds/dθ = h(θ) + h''(θ) ≥ 0"]
F --> H["정폭 조건 W(θ) ≡ w ⇔ 모든 양의 짝수 푸리에 계수 소멸 (a_{2m} = b_{2m} = 0)"]
\(h(\theta) \in C^2(\mathbb{S}^1)\)일 때, 경계 곡선 \(\partial K\)는 지지직선족 \(L(\theta)\)의 포락선(Envelope)으로서 연립방정식 \(x\cos\theta + y\sin\theta = h(\theta)\)와 \(-x\sin\theta + y\cos\theta = h'(\theta)\)를 풀어 다음과 같이 복원된다.
\[\mathbf{r}(\theta) = \begin{pmatrix} x(\theta) \\ y(\theta) \end{pmatrix} = h(\theta)\mathbf{u}(\theta) + h'(\theta)\mathbf{t}(\theta) = \begin{pmatrix} h(\theta)\cos\theta - h'(\theta)\sin\theta \\ h(\theta)\sin\theta + h'(\theta)\cos\theta \end{pmatrix}\]이를 \(\theta\)에 대해 미분하면(\(\mathbf{u}' = \mathbf{t}, \mathbf{t}' = -\mathbf{u}\)), 접선벡터와 곡률반지름 \(\rho(\theta) = \frac{ds}{d\theta}\)를 얻는다.
\[\frac{d\mathbf{r}}{d\theta} = \left(h(\theta) + h''(\theta)\right)\mathbf{t}(\theta) \implies \rho(\theta) = \frac{ds}{d\theta} = h(\theta) + h''(\theta)\]주기함수 \(h(\theta)\)가 볼록체 \(K\)의 지지함수가 될 필요충분조건은 모든 \(\theta\)에서 \(\rho(\theta) = h(\theta) + h''(\theta) \ge 0\)을 만족하는 것이다.
2.2 정폭 조건과 홀수 고조파 푸리에 급수
방향 \(\theta\)에서의 캘리퍼 폭은 \(W_K(\theta) = h_K(\theta) + h_K(\theta + \pi)\)이므로, \(K\)가 폭 \(w\)인 정폭도형일 필요충분조건은 다음과 같다.
\[h_K(\theta) + h_K(\theta + \pi) = w \qquad (\forall \theta \in [0, 2\pi))\]이를 두 번 미분하여 더하면 대향 접점에서의 곡률반지름 합 불변성 \(\rho(\theta) + \rho(\theta + \pi) = w\)를 얻는다. 또한 \(h_K(\theta)\)를 푸리에 급수로 전개하면 \(\cos(n(\theta+\pi)) = (-1)^n\cos(n\theta)\)에 의해 모든 양의 짝수 고조파 계수가 항등적으로 0(\(a_{2m} = b_{2m} = 0\))이 되며, 오직 홀수 고조파(\(n = 2k-1\))만 남는다!
\[h_K(\theta) = \frac{w}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \left(a_{2k-1}\cos((2k-1)\theta) + b_{2k-1}\sin((2k-1)\theta)\right)\]예를 들어 3차 고조파만 남긴 \(h(\theta) = \frac{w}{2} + \varepsilon\cos(3\theta)\) (\(0 < |\varepsilon| \le \frac{w}{16}\))는 \(\rho(\theta) = \frac{w}{2} - 8\varepsilon\cos(3\theta) \ge 0\)을 만족하며, 모서리가 전혀 없는 무한번 미분가능한(\(C^\infty\) 해석적) 비원형 정폭곡선(8차 다항식 대수곡선)을 생성한다.
3. 뢸로 삼각형과 정홀수 뢸로 다각형의 넓이 공식
한 변이 \(w\)인 정삼각형 \(\triangle ABC\)의 각 꼭짓점을 중심으로 반지름 \(w\)인 \(60^\circ\)(\(\frac{\pi}{3}\)) 원호 3개를 그리면 뢸로 삼각형이 완성된다. 반지름 \(w\), 중심각 \(\frac{\pi}{3}\)인 부채꼴 3개의 넓이 합에서 중앙 정삼각형 넓이의 2배를 빼면 뢸로 삼각형의 넓이가 도출된다.
\[A_{\text{Reuleaux}} = 3\left(\frac{1}{2}w^2\cdot\frac{\pi}{3}\right) - 2\left(\frac{\sqrt{3}}{4}w^2\right) = \frac{1}{2}\left(\pi - \sqrt{3}\right) w^2 \approx 0.7047709\,w^2\]이는 지름 \(w\)인 원의 넓이 \(A_{\text{circle}} = \frac{\pi}{4}w^2 \approx 0.7853982\,w^2\)보다 \(10.27\%\) 더 작다. 일반적으로 홀수 \(n = 2k+1\) (\(n = 3, 5, 7, \dots\))에 대하여 정뢸로 \(n\)각형의 넓이는 내부 정\(n\)각형과 \(n\)개의 활꼴 넓이를 합산하여 다음과 같이 닫힌 형태로 주어진다.
\[A_n = \frac{w^2}{2}\left(\pi - n\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)\right) \qquad (n = 3, 5, 7, 9, \dots)\]| 정폭도형 종류 | 꼭짓점 수 \(n\) | 둘레 \(L\) | 정확한 넓이 공식 \(A(w)\) | 수치 넓이 | 원과의 넓이 비 \(A / A_{\text{circle}}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 뢸로 삼각형 | \(3\) | \(\pi w\) | \(\frac{1}{2}\left(\pi - \sqrt{3}\right)w^2\) | \(0.704771\,w^2\) | \(89.73\%\) (최소) |
| 뢸로 오각형 | \(5\) | \(\pi w\) | \(\frac{1}{2}\left(\pi - 5\tan\frac{\pi}{10}\right)w^2\) | \(0.756827\,w^2\) | \(96.36\%\) |
| 뢸로 칠각형 (영국 20p/50p 동전) | \(7\) | \(\pi w\) | \(\frac{1}{2}\left(\pi - 7\tan\frac{\pi}{14}\right)w^2\) | \(0.770921\,w^2\) | \(98.16\%\) |
| 매끄러운 비원형 정폭곡선 (\(h = \frac{w}{2} + \frac{w}{16}\cos 3\theta\)) | \(0\) (\(C^\infty\)) | \(\pi w\) | \(\frac{63\pi}{256}w^2\) | \(0.773126\,w^2\) | \(98.44\%\) |
| 원 (Circle) | \(0\) (\(C^\infty\)) | \(\pi w\) | \(\frac{\pi}{4}w^2\) | \(0.785398\,w^2\) | \(100.00\%\) (최대) |
4. 바르비에 정리(1860)의 두 가지 완전한 증명과 블라슈케-르베그 정리(1914)
\[L(\partial K) = \pi w\]
4.1 증명 1: 미분기하학 및 민코프스키 지지함수 적분법
미소 호의 길이 \(ds = \rho(\theta)\,d\theta = \left(h(\theta) + h''(\theta)\right)d\theta\)를 \([0, 2\pi]\)에서 적분하면 \(h'(\theta)\)의 주기성에 의해 \(\big[h'(\theta)\big]_0^{2\pi} = 0\)이 되므로:
\[L(\partial K) = \int_0^{2\pi} h(\theta)\,d\theta = \int_0^{\pi} \underbrace{\left(h(\theta) + h(\theta + \pi)\right)}_{W_K(\theta) = w} d\theta = \int_0^{\pi} w\,d\theta = \pi w\]모서리가 있는 경우에도 정폭도형은 직선 구간을 포함할 수 없어 \(h_K \in C^1(\mathbb{S}^1)\)이 항상 성립하므로(또는 몰리파이어 합성곱 \(h_\varepsilon = h_K * \eta_\varepsilon\)의 하우스도르프 극한에 의해) \(L = \pi w\)가 엄밀히 성립한다. \(\blacksquare\)
4.2 증명 2: 적분기하학, 코시-크로프턴 공식과 ‘뷔퐁의 국수(Buffon’s Noodle)’
평면 위 모든 유향 직선 \(\ell(p, \theta) : x\cos\theta + y\sin\theta = p\)의 운동학적 불변 측도는 \(d\ell = dp \wedge d\theta\)이다. 길이 \(L\)인 임의의 곡선(‘국수’) \(\gamma\)와 직선 \(\ell(p, \theta)\)의 교점 개수를 \(n_\gamma(p, \theta)\)라 하면, 기댓값의 선형성에 의해 적분기하학의 기본 공식인 코시-크로프턴 공식(Cauchy–Crofton Formula)이 성립한다.
\[\int_0^{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} n_\gamma(p, \theta)\,dp\,d\theta = 4 L(\gamma)\]볼록체 경계 \(\gamma = \partial K\)와 만나는 직선은 거의 모든 곳에서 정확히 2개의 교점(\(n_{\partial K} = 2\))을 가지며, 각 방향 \(\theta\)에서 \(K\)와 만나는 \(p\)의 구간 길이는 방향 폭 \(W_K(\theta) = w\)이므로:
\[4 L(\partial K) = \int_0^{2\pi} \left(\int_{-h_K(\theta+\pi)}^{h_K(\theta)} 2\,dp\right) d\theta = 2 \int_0^{2\pi} w\,d\theta = 4\pi w \implies L(\partial K) = \pi w \quad \blacksquare\]4.3 블라슈케-르베그 정리(1914)와 푸리에 스펙트럼 넓이 공식
그린 정리와 부분적분으로부터 얻어지는 블라슈케 넓이 공식 \(A(K) = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \left(h(\theta)^2 - h'(\theta)^2\right)d\theta\)에 홀수 고조파 푸리에 급수를 대입하고 파르세발(Parseval) 항등식을 적용하면 다음 공식을 얻는다.
\[A(K) = \frac{\pi}{4} w^2 - \frac{\pi}{2} \sum_{k=2}^{\infty} \left((2k-1)^2 - 1\right)\left(a_{2k-1}^2 + b_{2k-1}^2\right)\]이 식으로부터 모든 \(k \ge 2\) 고조파가 넓이를 감소시켜 원이 유일하게 넓이 최댓값 \(\frac{\pi}{4}w^2\)을 달성함을 즉시 알 수 있다. 반대로 \(0 \le \rho(\theta) \le w\) 조건 아래 오목 범함수 \(A(\rho)\)를 최소화하면 폰트랴긴 최대 원리에 의해 곡률반지름이 양 끝값 \(\{0, w\}\)만 취하는 3회 전환 뱅뱅(Bang-Bang) 해, 즉 뢸로 삼각형이 유일하게 넓이 최솟값 \(\frac{1}{2}(\pi - \sqrt{3})w^2\)을 달성한다.
5. 뢸로 삼각형이 사각 구멍을 뚫는 원리: 해리 와츠의 드릴(1914)과 궤적 방정식
정사각형 가이드 \(S = \left[-\frac{w}{2}, \frac{w}{2}\right]^2\) 내부에서 폭 \(w\)인 뢸로 삼각형이 네 변에 동시에 접하며 회전할 때, 기본 구간 \(\theta \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]\)에서 꼭짓점 \(A\)는 왼쪽 벽 \(x = -\frac{w}{2}\), 꼭짓점 \(B\)는 바닥 벽 \(y = -\frac{w}{2}\)를 따라 미끄러진다:
\[A(\theta) = \begin{pmatrix} -\frac{w}{2} \\ -\frac{w}{2} + w\sin\theta \end{pmatrix}, \qquad B(\theta) = \begin{pmatrix} -\frac{w}{2} + w\cos\theta \\ -\frac{w}{2} \end{pmatrix}\]
flowchart TD
S["한 변이 w 인 고정 정사각형 가이드 S = [-w/2, w/2]²"] --> R["폭 w 인 뢸로 삼각형이 4개의 벽에 동시에 접하며 회전"]
R --> G["무게중심 궤적 G(θ): 4개의 타원호로 이루어진 미소 폐곡선 (지름 ≈ 0.07735 w, 역방향 3배속 공전)"]
R --> V["꼭짓점 포락선 C(θ): 각 변 중앙 73.2% 완전 직선 + 네 모서리 미소 타원호"]
G --> W["와츠 플로팅 올덤 커플링(Oldham Coupling)으로 회전 주축과 연결"]
V --> H["정사각형 면적의 98.77005% 를 깎아내는 사각 구멍 가공!"]
5.1 무게중심 \(G(\theta)\)의 4개 타원호 편심 궤도
정삼각형 \(\triangle ABC\)의 무게중심 \(G(x_G, y_G)\)의 좌표는 다음과 같이 유도된다.
\[\begin{cases} x_G(\theta) + \dfrac{w}{2} = \dfrac{w}{\sqrt{3}}\cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{6}\right) \\[6pt] y_G(\theta) + \dfrac{w}{2} = \dfrac{w}{\sqrt{3}}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right) \end{cases} \qquad \left(\frac{\pi}{6} \le \theta \le \frac{\pi}{3}\right)\]이는 정사각형 꼭짓점 \(\left(-\frac{w}{2}, -\frac{w}{2}\right)\)를 중심으로 하고 장반경 \(a_G = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{3}}w\), 단반경 \(b_G = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{3}}w\)를 갖는 정확한 타원호다! 4개의 타원호가 이어져 지름 \(d_G = \left(\frac{2\sqrt{3}-3}{3}\right)w \approx 0.07735\,w\)인 작은 궤도를 그리며 드릴 회전과 반대 방향으로 3배 빠르게(\(\omega_{\text{orbit}} = -3\omega_{\text{spin}}\)) 공전한다. 와츠는 이를 플로팅 올덤 커플링(Oldham Coupling)으로 흡수하여 회전력을 전달했다.
5.2 꼭짓점 \(C(\theta)\)의 모서리 궤적과 \(98.77\%\) 면적 피복률 증명
\(\alpha = \frac{\pi}{3} - \theta \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right]\)라 두면 우측 상단 모서리를 깎는 꼭짓점 \(C\)의 궤적은 다음과 같다.
\[\begin{cases} x_C(\alpha) = -\dfrac{w}{2} + w\cos\alpha \\[6pt] y_C(\alpha) = -\dfrac{w}{2} + w\cos\left(\dfrac{\pi}{6} - \alpha\right) \end{cases} \qquad \left(0 \le \alpha \le \frac{\pi}{6}\right)\]- 정사각형 각 변의 중앙 구간 \((\sqrt{3}-1)w \approx 0.73205\,w\)(변 길이의 \(73.2\%\))는 꼭짓점이 벽면을 따라 직접 미끄러지므로 수학적으로 완벽한 직선이다!
- 한 모서리에서 깎이지 않고 남는 영역의 넓이 \(A_{\text{corner}}\)를 적분하면: \(A_{\text{corner}} = w^2 \int_0^{\pi/6} \left(1 - \cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right)\sin\alpha\,d\alpha = \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{24}\right) w^2 \approx 0.0030749\,w^2\)
- 따라서 네 모서리를 제외한 뢸로 삼각형 드릴의 전체 절삭 면적 \(A_{\text{swept}}\)는 다음과 같다. \(A_{\text{swept}} = w^2 - 4 A_{\text{corner}} = \left(2\sqrt{3} + \frac{\pi}{6} - 3\right) w^2 \approx 0.9877005\,w^2 \quad (98.77\%!)\)
6. 현대 공학 응용과 3차원 마이스너 입체(1911) 및 마이스너 추측(1934)
- 방켈 로터리 엔진과 영국 20p/50p 동전: 마쓰다 RX-7/787B로 유명한 로터리 엔진은 2엽 에피트로코이드 하우징 내부에서 변형 뢸로 삼각형 로터가 회전하며, 영국 20펜스·50펜스 주화는 정뢸로 칠각형(\(n = 7\))으로 설계되어 시각장애인의 촉각 식별과 자동판매기 캘리퍼 폭 인식을 동시에 해결했다.
- 3차원 ‘뢸로 사면체’의 실패와 마이스너 입체(Meissner Bodies): 한 변이 \(w\)인 정사면체의 네 꼭짓점을 중심으로 반지름 \(w\)인 구 4개를 교차시킨 뢸로 사면체(Reuleaux Tetrahedron)는 마주보는 두 곡선 모서리의 중점 간 거리가 \(w_{\text{edge}} = \left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) w \approx 1.024944\,w > w\) 가 되어 정폭도형이 아니다! 1911년 에른스트 마이스너(Ernst Meissner)는 3쌍의 대향 모서리 중 한쪽씩 총 3개의 모서리를 스핀들 토러스(Spindle Torus) 곡면으로 둥글게 깎아내어 두 종류의 3차원 정폭 볼록체 \(M_1, M_2\)(부피 \(V \approx 0.419860\,w^3\))를 완성했다. 이 두 마이스너 입체가 모든 3차원 정폭체 중 최소 부피(및 블라슈케 관계식 \(V = \frac{1}{2}wS - \frac{\pi}{3}w^3\)에 의해 최소 겉넓이)를 갖는다는 마이스너 추측(Bonnesen–Fenchel, 1934)은 90년이 넘도록 미해결 난제로 남아 있다.