टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला: बहुपदों के साथ जटिल फलनों का सन्निकटन करने का जादू

परिचय

टेलर बहुपद किसी बिंदु पर फलन के मान और परिमित कोटि तक के अवकलजों के मान मिलाकर उस बिंदु के पास फलन का सन्निकटन करता है। इन गुणांकों से बना अनंत योग टेलर श्रृंखला कहलाता है; केंद्र 0 हो तो उसे मैकलॉरिन श्रृंखला कहते हैं। श्रृंखला का अभिसरण और उसके योग का मूल फलन के बराबर होना अलग-अलग जाँचने योग्य बातें हैं।

घातीय और त्रिकोणमितीय फलनों के उदाहरणों से हम गुणांक निर्धारित करने की विधि, बराबरी के सूत्रों की शर्तें और परिमित पदों पर काटने की त्रुटि समझेंगे। अंत में 0 के पास \(\sin x\) का सन्निकटन करने वाला एक शिक्षण-उदाहरण पायथन में दिया गया है।

बहुपदों से फलनों का सन्निकटन क्यों करें?

शुरुआत के लिए, किसी फलन को बहुपद ( \(a + bx + cx^2 + \dots\) ) के रूप में निरूपित करना क्यों उपयोगी है?

  flowchart LR
    A["केंद्र के पास विश्लेषणात्मक फलन"] -->|"अभिसरण क्षेत्र में टेलर विस्तार"| B["घात श्रृंखला"]
    B -->|"सीमित पदों पर काटना"| C["बहुपद सन्निकटन"]
    C -->|"केवल बुनियादी अंकगणित"| D["उच्च गति कंप्यूटर गणना"]

अरेखीय फलन का बहुपद से सन्निकटन उसके मान की गणना, अवकलन और समाकलन को सरल बना सकता है। गुणांक तय होने पर बहुपद का मान जोड़ और गुणा से निकाला जा सकता है। परंतु किस क्षेत्र में कितनी सटीकता मिलेगी, यह शेष पद और संख्यात्मक त्रुटियों से तय होता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला की सहज समझ

पहले \(x=0\) के पास फलन का सन्निकटन करने वाले मैकलॉरिन विस्तार पर विचार करें। मान लें कि \(f\) के 0 के पास आवश्यक कोटि तक अवकलज मौजूद हैं। परिमित घात \(n\) चुनकर निम्न बहुपद \(P_n\) के गुणांक निर्धारित करते हैं:

\[ P_n(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \dots + c_n x^n \]

गुणांक 0 पर फलन के मान और अवकलजों के मान मिलाकर तय किए जाते हैं। नीचे द्वितीय अवकलज की शर्त \(n\ge2\) के लिए है।

फलन के मान की शर्त: \(P_n(0)=f(0)\) से \(c_0=f(0)\) मिलता है। स्थिर पद 0 पर फलन का मान मिलाता है।
प्रथम अवकलज की शर्त: \(P_n'(0)=f'(0)\) से \(c_1=f'(0)\) मिलता है। \(P_1(x)=f(0)+f'(0)x\) केंद्र 0 पर स्पर्शरेखा का सन्निकटन है।
द्वितीय अवकलज की शर्त: \(P_n''(0)=f''(0)\) लेते हैं। चूँकि \(P_n''(0)=2c_2\), इसलिए \(c_2=f''(0)/2!\) है। उच्च घातों के पद होने पर सामान्य \(P_n\) का पूरा अवकलज \(P_n''(x)\) स्थिरांक \(2c_2\) नहीं होता।
सामान्य शर्त: \(k\le n\) के लिए \(P_n^{(k)}(0)=f^{(k)}(0)\) रखने पर \(c_k=f^{(k)}(0)/k!\) तय होता है। केंद्र के पास की त्रुटि का आकलन आगे दिए शेष पद से किया जाता है।

मैकलॉरिन श्रृंखला का सूत्र और व्युत्पत्ति

यदि \(f\) अनंत बार अवकलनीय है, तो इन गुणांकों से उसकी मैकलॉरिन श्रृंखला बनाई जा सकती है। लेकिन नीचे की तरह उसे \(f(x)\) के बराबर लिखने के लिए श्रृंखला को संबंधित बिंदु पर \(f(x)\) की ओर अभिसरित होना चाहिए। उदाहरण के लिए, 0 के पास विश्लेषणात्मक (analytic) फलन के लिए उपयुक्त पड़ोस में यह बराबरी मिलती है। केवल अनंत बार अवकलनीय होना पर्याप्त नहीं है।

\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3 + \dots \]

सिग्मा संकेतन का उपयोग करके लिखा गया, यह इस तरह दिखता है:

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \]

यहाँ \(f^{(n)}(0)\), फलन \(f\) का \(n\) बार अवकलन करने के बाद 0 पर प्राप्त मान है। \(n!\), \(n\) का फैक्टोरियल है (\(n\times(n-1)\times\dots\times1\))।

प्रमुख फलनों की मैकलॉरिन श्रृंखला

नीचे घातीय, साइन और कोसाइन की श्रृंखलाएँ प्रत्येक वास्तविक \(x\) पर संबंधित फलन की ओर अभिसरित होती हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के कोण रेडियन में हैं।

1. घातीय फलन \(e^x\)

घातीय फलन \(f(x)=e^x\) को कितनी भी बार अवकलित करें, परिणाम \(e^x\) रहता है। इसलिए 0 पर उसके सभी कोटियों के अवकलजों के मान \(1\) हैं (\(f^{(n)}(0)=1\))।

\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

2. त्रिकोणमितीय फलन \(\sin x\) और \(\cos x\)

\(\sin x\) के क्रमिक अवकलज \(\cos x, -\sin x, -\cos x, \sin x, \dots\) का चक्र बनाते हैं। \(x=0\) पर केवल विषम कोटि के अवकलजों के मान अशून्य होते हैं; सम कोटि के अवकलजों के मान \(0\) हैं।

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \]

इसी तरह, \(\cos x\) के लिए, केवल सम कोटि के पद शेष रहते हैं।

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} \]

टेलर श्रृंखला का विस्तार

केंद्र को 0 से \(a\) पर ले जाने से टेलर श्रृंखला मिलती है। यदि \(f\), \(a\) के पास विश्लेषणात्मक है, तो जिस क्षेत्र में श्रृंखला मूल फलन को निरूपित करती है वहाँ नीचे का सूत्र सही है। केवल परिमित कोटि तक अवकलज मानने वाले सन्निकटन के लिए आगे दिया परिमित टेलर बहुपद और शेष पद उपयोग किए जाते हैं।

\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \]

यह सूत्र \(x=a\) से थोड़ी दूर स्थित बिंदु \(x=a+\Delta x\) पर फलन के मान का सन्निकटन करने में उपयोगी है।

टेलर श्रृंखला के अनुप्रयोग

भौतिकी में रैखिक सन्निकटन

भौतिकी में टेलर बहुपद से रैखिक सन्निकटन अक्सर किया जाता है। लोलक का कोण \(\theta\) रेडियन में लें और \(|\theta|\ll1\) मानें। तब साइन का प्रथम घात वाला सन्निकटन लगाया जा सकता है:

\[ \sin \theta \approx \theta \quad (\text{जब } \theta \text{ काफी छोटा हो}) \]

यह सन्निकटन लोलक के समीकरण को रैखिक बनाता है। छोटे आयाम के सन्निकटन में आवर्तकाल आयाम पर निर्भर नहीं करता; इसी अर्थ में समकालिकता (isochronism) मिलती है। वास्तविक सरल लोलक का आवर्तकाल आयाम पर निर्भर करता है, इसलिए बड़े आयाम के दोलनों पर यही सन्निकटन लागू नहीं किया जा सकता।

प्रोग्रामिंग और संख्यात्मक गणना

फलनों की संख्यात्मक गणना में बहुपद सन्निकटन सहित कई विधियाँ काम आती हैं। CPython का math मॉड्यूल मुख्यतः प्लेटफ़ॉर्म की C गणित लाइब्रेरी को बुलाता है; वास्तविक एल्गोरिदम उसके कार्यान्वयन पर निर्भर करते हैं। नीचे का शिक्षण-उदाहरण 0 के पास, जैसे \(|x|\le1\) पर, थोड़े पद जोड़ता है। यह मानक लाइब्रेरी के आंतरिक कार्यान्वयन की नकल नहीं है।

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import math

def approx_sin(x, terms=10):
    """
    0 के पास sin(x) का परिमित मैकलॉरिन योग निकालने का शिक्षण-उदाहरण
    x: रेडियन में कोण
    terms: जोड़े जाने वाले पदों की संख्या (धनात्मक पूर्णांक; इस उदाहरण में 10)
    """
    result = 0.0
    for n in range(terms):
        # प्रत्येक पद की गणना करें: (-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!
        sign = (-1) ** n
        numerator = x ** (2 * n + 1)
        denominator = math.factorial(2 * n + 1)
        result += sign * (numerator / denominator)
    return result

# परीक्षण: x = 1.0 रेडियन (लगभग 57.3 डिग्री)
x_val = 1.0
print(f"सन्निकट मान: {approx_sin(x_val)}")
print(f"math.sin का मान (तुलना के लिए): {math.sin(x_val)}")

अभिसरण की त्रिज्या और टेलर का प्रमेय

अभिसरण की त्रिज्या \(R\) एक संख्या है जो केंद्र \(a\) से वह दूरी बताती है जिसके भीतर घात श्रृंखला अभिसरित होती है, अर्थात \(|x-a|<R\)। यह अंतराल का नाम नहीं है। \(R=0\) और \(R=\infty\) भी संभव हैं। सीमा के बिंदु \(|x-a|=R\) अलग से जाँचने होते हैं। उदाहरण के लिए, \(\ln(1+x)\) की मैकलॉरिन श्रृंखला की त्रिज्या 1 है और वास्तविक \(-1<x\le1\) पर उसका योग फलन के बराबर है। \(x=1\) पर सशर्त अभिसरण और \(x=-1\) पर अपसरण होता है।

परिमित सन्निकटन के लिए मान लें कि \(a\) और \(x\) को जोड़ने वाले अंतराल पर \(f\), \(C^{n+1}\) वर्ग का है। तब टेलर का प्रमेय देता है:

\[ f(x)=P_{n,a}(x)+R_n(x),\qquad P_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k \]\[ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

यहाँ \(\xi\), \(a\) और \(x\) के बीच है। अंतराल पर \(|f^{(n+1)}|\le M\) हो तो \(|R_n(x)|\le M|x-a|^{n+1}/(n+1)!\)। फलन को उसकी अनंत टेलर श्रृंखला के बराबर सिद्ध करने के लिए, उदाहरणार्थ, यह दिखाया जा सकता है कि \(n\to\infty\) पर शेष पद 0 की ओर जाता है।

ऊपर का कोड 10 पद, अर्थात \(x^{19}\) तक, जोड़ता है। साइन की श्रृंखला में 20वीं घात का गुणांक 0 है, इसलिए टेलर के प्रमेय से \(x=1\) पर काटने की त्रुटि \(1/21!\) से अधिक नहीं है, लगभग \(1.96\times10^{-20}\)। यह वास्तविक संख्याओं में ठीक-ठीक निकाले गए परिमित योग की त्रुटि है; पायथन की फ्लोटिंग-पॉइंट गणना की राउंडिंग त्रुटि अलग है। math.sin का परिणाम भी तुलना के लिए एक फ्लोटिंग-पॉइंट मान है, गणित का सटीक मान स्वयं नहीं।

अनंत बार अवकलनीय फलन, जिसे उसकी टेलर श्रृंखला निरूपित नहीं करती

\[ g(x)=\begin{cases}e^{-1/x},&x>0,\\0,&x\le0.\end{cases} \]

यह फलन अनंत बार अवकलनीय है और 0 पर उसके सभी कोटियों के अवकलजों के मान 0 हैं। इसलिए 0 पर उसकी टेलर श्रृंखला सर्वत्र 0 है और प्रत्येक \(x\) पर अभिसरित होती है। लेकिन \(x>0\) पर \(g(x)>0\) होने से श्रृंखला का योग मूल फलन के बराबर नहीं है। यह उदाहरण श्रृंखला के अभिसरण और मूल फलन से उसके योग की बराबरी का अंतर दिखाता है।

निष्कर्ष

टेलर बहुपद स्थानीय सन्निकटन देता है और शेष पद उसकी त्रुटि का आकलन करता है। टेलर श्रृंखला को बराबरी के सूत्र के रूप में उपयोग करते समय अभिसरण क्षेत्र और मूल फलन से योग की बराबरी जाँचनी चाहिए। इससे भौतिकी और संख्यात्मक गणना में आवश्यक सटीकता और सन्निकटन के उपयोग का क्षेत्र तय करना आसान होता है।