1. प्रस्तावना: 1889 में “एकसमान यादृच्छिकता” (Uniform Randomness) के अंतर्ज्ञान का पतन
परिमित असतत (finite discrete) समुच्चयों में “यादृच्छिक रूप से चुनना” (choosing at random) अत्यंत स्पष्ट प्रतीत होता है: एक निष्पक्ष पासे को फेंकने पर प्रत्येक फलक के आने की प्रायिकता \(1/6\) होती है। किंतु जैसे ही हम परिमित समुच्चयों से सतत ज्यामितीय समष्टि (Continuous Geometric Space) में प्रवेश करते हैं, यह सहज अंतर्ज्ञान ढह जाता है। 1889 में फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड (Joseph Bertrand, 1822–1900) ने अपनी प्रसिद्ध पुस्तक Calcul des probabilités में एक सरल ज्यामितीय प्रश्न प्रस्तुत किया, जिसे आज बर्ट्रेंड का विरोधाभास (Bertrand’s Paradox) कहा जाता है।
यूक्लिडीय समतल \(\mathbb{R}^2\) में त्रिज्या \(R = 1\) वाला एक इकाई वृत्त \(S^1 = \{(x,y) : x^2 + y^2 = 1\}\) और उसके भीतर बना एक समबाहु त्रिभुज \(\triangle ABC\) लें। समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई \(L = 2R\sin(\pi/3) = \sqrt{3} \approx 1.732\) है, तथा वृत्त के केंद्र \(O(0,0)\) से त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबवत दूरी (अंतःवृत्त की त्रिज्या) \(r_{\text{in}} = R\cos(\pi/3) = 1/2\) है।
[बर्ट्रेंड का प्रश्न (1889)] इकाई वृत्त की एक जीवा (chord) \(c\) को “यादृच्छिक रूप से” खींचा जाता है। इस बात की क्या प्रायिकता \(P(c > \sqrt{3})\) है कि जीवा की लंबाई अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज की भुजा \(L = \sqrt{3}\) से अधिक हो?
बर्ट्रेंड ने जीवा चुनने की तीन पूर्णतः स्वाभाविक और सममित विधियाँ प्रस्तुत कीं और उनसे तीन परस्पर विरोधी सटीक उत्तर प्राप्त किए: \(P_1 = 1/3\), \(P_2 = 1/2\) और \(P_3 = 1/4\)।
flowchart TD
Q["बर्ट्रेंड का प्रश्न (1889)<br/>इकाई वृत्त में यादृच्छिक जीवा खींचने पर<br/>प्रायिकता P(c > √3) क्या है?"]
Q --> M1["विधि 1: परिधि S¹ पर यादृच्छिक सिरे<br/>केंद्रीय कोण θ ~ Uniform(0, π)"]
Q --> M2["विधि 2: स्थिर त्रिज्या पर यादृच्छिक दूरी<br/>केंद्र से दूरी r ~ Uniform(0, 1)"]
Q --> M3["विधि 3: चकती D² के भीतर यादृच्छिक मध्यबिंदु<br/>निर्देशांक (x, y) ~ Uniform(D²)"]
M1 --> D1["त्रिज्यीय प्रायिकता घनत्व<br/>f₁(r) = 2 / (π√(1 - r²))"]
M2 --> D2["त्रिज्यीय प्रायिकता घनत्व<br/>f₂(r) = 1"]
M3 --> D3["त्रिज्यीय प्रायिकता घनत्व<br/>f₃(r) = 2r"]
D1 --> P1["प्रायिकता P₁ = 1/3 ≈ 0.3333"]
D2 --> P2["प्रायिकता P₂ = 1/2 = 0.5000"]
D3 --> P3["प्रायिकता P₃ = 1/4 = 0.2500"]
2. तीनों शास्त्रीय समाधानों और उनके प्रायिकता घनत्व फलनों की कठोर व्युत्पत्ति
माना जीवा द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण \(\theta \in [0, \pi]\) है, केंद्र \(O\) से जीवा के मध्यबिंदु \(M(x,y) = (r\cos\phi, r\sin\phi)\) की लंबवत दूरी \(r \in [0, 1]\) है, और जीवा की लंबाई \(c\) है। पाइथागोरस प्रमेय से:
\[c = 2\sqrt{1 - r^2} = 2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad r = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{1 - \frac{c^2}{4}}\]अतः घटना \(E = \{c > \sqrt{3}\}\) तीनों निर्देशांक प्रणालियों में निम्न शर्तों के समतुल्य है:
\[c > \sqrt{3} \iff 2\sqrt{1 - r^2} > \sqrt{3} \iff 0 \le r < \frac{1}{2} \iff \theta \in \left(\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right)\]2.1 विधि 1: परिधि पर यादृच्छिक अंतिम बिंदु (\(P_1 = 1/3\))
घूर्णन सममिति \(SO(2)\) के कारण पहले सिरे \(A\) को त्रिभुज के एक शीर्ष (\(\theta = 0\)) पर स्थिर करें और दूसरे सिरे \(B\) को परिधि पर एकसमान रूप से चुनें: \(\theta \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)\)। जीवा की लंबाई \(c(\theta) > \sqrt{3}\) तभी होगी जब \(B\) सम्मुख चाप \(\theta \in (2\pi/3, 4\pi/3)\) पर पड़े, जिसकी लंबाई कुल परिधि \(2\pi\) में से \(2\pi/3\) है:
\[P_1(c > \sqrt{3}) = \frac{4\pi/3 - 2\pi/3}{2\pi} = \frac{1}{3}\]\(r = \cos(\theta/2)\) (\(\theta \in [0, \pi]\), \(f_\Theta(\theta) = 1/\pi\)) और जैकोबियन \(\left|\frac{d\theta}{dr}\right| = \frac{2}{\sqrt{1 - r^2}}\) से घनत्व फलन प्राप्त होते हैं:
\[f_{R,1}(r) = \frac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}, \qquad f_{C,1}(c) = \frac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_1[c] = \frac{4}{\pi} \approx 1.2732\]2.2 विधि 2: एक निश्चित त्रिज्या के अनुदिश यादृच्छिक दूरी (\(P_2 = 1/2\))
एक त्रिज्या की दिशा \(\phi \sim \text{Uniform}(0, 2\pi)\) चुनें और उस पर केंद्र से दूरी \(r \sim \text{Uniform}(0, 1)\) एकसमान रूप से चुनें। चूँकि समबाहु त्रिभुज की भुजा केंद्र से \(r_{\text{in}} = 1/2\) दूरी पर होती है, इसलिए \(c > \sqrt{3} \iff 0 \le r < 1/2\):
\[P_2(c > \sqrt{3}) = \int_0^{1/2} 1\,dr = \frac{1}{2}, \qquad f_{R,2}(r) = 1, \qquad f_{C,2}(c) = \frac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}, \qquad \mathbb{E}_2[c] = \frac{\pi}{2} \approx 1.5708\]2.3 विधि 3: वृत्तीय चकती के भीतर यादृच्छिक मध्यबिंदु (\(P_3 = 1/4\))
प्रत्येक जीवा (\(r > 0\)) अपने मध्यबिंदु \(M(x, y) \in D^2\) द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित होती है। यदि \(M\) को इकाई चकती \(D^2\) के क्षेत्रफल \(dx\,dy\) के सापेक्ष एकसमान रूप से चुना जाए (\(f_{X,Y}(x,y) = 1/\pi\)), तो \(c > \sqrt{3}\) तभी होगा जब \(M\) त्रिज्या \(1/2\) वाली संकेंद्रित अंतःवृत्त चकती \(D_{1/2}\) के भीतर गिरे:
\[P_3(c > \sqrt{3}) = \frac{\text{Area}(D_{1/2})}{\text{Area}(D_1)} = \frac{\pi (1/2)^2}{\pi (1)^2} = \frac{1}{4}\]विधि 2 और विधि 3 में अंतर ध्रुवीय निर्देशांक के जैकोबियन \(dx\,dy = r\,dr\,d\phi\) के कारण आता है। \(\phi \in [0, 2\pi)\) पर समाकलन करने से \(r\) का सीमांत घनत्व रैखिक हो जाता है:
\[f_{R,3}(r) = \int_0^{2\pi} \frac{1}{\pi} r\,d\phi = 2r, \qquad f_{C,3}(c) = \frac{c}{2}, \qquad \mathbb{E}_3[c] = \frac{4}{3} \approx 1.3333\]| तुलना मानदंड | विधि 1: यादृच्छिक सिरे | विधि 2: यादृच्छिक त्रिज्या दूरी | विधि 3: यादृच्छिक मध्यबिंदु |
|---|---|---|---|
| एकसमान प्राचल | कोण \(\theta \sim U(0, \pi)\) | दूरी \(r \sim U(0, 1)\) | क्षेत्रफल \((x,y) \sim U(D^2)\) (\(r^2 \sim U(0,1)\)) |
| प्रायिकता अवयव \(d\mathbb{P}(r,\phi)\) | \(\dfrac{1}{\pi^2\sqrt{1 - r^2}}\,dr\,d\phi\) | \(\dfrac{1}{2\pi}\,dr\,d\phi\) | \(\dfrac{r}{\pi}\,dr\,d\phi = \dfrac{1}{\pi}\,dx\,dy\) |
| त्रिज्यीय घनत्व \(f_R(r)\) | \(\dfrac{2}{\pi\sqrt{1 - r^2}}\) | \(1\) | \(2r\) |
| जीवा लंबाई घनत्व \(f_C(c)\) | \(\dfrac{2}{\pi\sqrt{4 - c^2}}\) | \(\dfrac{c}{2\sqrt{4 - c^2}}\) | \(\dfrac{c}{2}\) |
| प्रायिकता \(P(c > \sqrt{3})\) | \(1/3 \approx 0.3333\) | \(1/2 = 0.5000\) | \(1/4 = 0.2500\) |
| प्रत्याशित मान \(\mathbb{E}[c]\) | \(4/\pi \approx 1.2732\) | \(\pi/2 \approx 1.5708\) | \(4/3 \approx 1.3333\) |
3. लाप्लास के ‘अपर्याप्त कारण के सिद्धांत’ का संकट और कीन्स का ‘शराब-पानी विरोधाभास’ (1921)
पियरे-साइमन लाप्लास (Pierre-Simon Laplace) का शास्त्रीय प्रायिकता सिद्धांत अपर्याप्त कारण के सिद्धांत पर आधारित था, जिसे जॉन मेनार्ड कीन्स (John Maynard Keynes, 1921) ने A Treatise on Probability में उदासीनता का सिद्धांत (Principle of Indifference) नाम दिया। सतत समष्टि में यदि \(x \in [a, b]\) पर अचर घनत्व \(f_X(x) = \frac{1}{b-a}\) माना जाए, तो किसी अरैखिक रूपांतरण \(y = g(x)\) के अंतर्गत जैकोबियन \(\left|\frac{dx}{dy}\right|\) से गुणा हो जाता है:
\[f_Y(y) = f_X\bigl(g^{-1}(y)\bigr)\left|\frac{dx}{dy}\right|\]कीन्स के शराब-पानी विरोधाभास (Wine-Water Paradox, 1921) में:
- एक गिलास में शराब और पानी का मिश्रण है जहाँ अनुपात \(x = W_{\text{wine}}/W_{\text{water}}\) अंतराल \([1/3, 3]\) में है। यदि \(x \sim \text{Uniform}(1/3, 3)\) मानें, तो माध्यिका \(x_{\text{med}} = 5/3\) है और \(P_X(x \le 2) = \frac{2 - 1/3}{3 - 1/3} = \frac{5}{8} = 0.625\)।
- किंतु यही शर्त कहती है कि व्युत्क्रम अनुपात \(y = 1/x = W_{\text{water}}/W_{\text{wine}}\) भी \([1/3, 3]\) में है! यदि \(y \sim \text{Uniform}(1/3, 3)\) मानें, तो माध्यिका \(y_{\text{med}} = 5/3\) आती है (जो \(x \cdot y = 1\) का खंडन करती है!) और उसी घटना \(x \le 2 \iff y \ge 1/2\) की प्रायिकता \(P_Y(y \ge 1/2) = \frac{3 - 1/2}{3 - 1/3} = \frac{15}{16} = 0.9375 \neq \frac{5}{8}\) हो जाती है।
4. आधुनिक गणित और भौतिकी के तीन महान समाधान
flowchart TD
Crisis["लाप्लास के उदासीनता सिद्धांत का संकट<br/>अरैखिक रूपांतरण y = g(x) में जैकोबियन |dx/dy| उत्पन्न होता है"]
Crisis --> R1["समाधान 1: कोलमोगोरोव (1933)<br/>माप-सिद्धांत स्वयंसिद्ध (Ω, F, P)"]
Crisis --> R2["समाधान 2: जेन्स (1973) और समाकल ज्यामिति<br/>E(2)-निश्चर गतिज माप"]
Crisis --> R3["समाधान 3: जेफ्रीस (1946) और सूचना ज्यामिति<br/>फिशर सूचना मीट्रिक आयतन अवयव"]
R1 --> R1D["प्रायिकता माप P को स्पष्ट किए बिना प्रश्न अपरिभाषित है;<br/>प्रत्येक भौतिक प्रक्रिया एक अलग प्रायिकता समष्टि बनाती है।"]
R2 --> R2D["यूक्लिडीय गति समूह E(2) के अंतर्गत निश्चरता अद्वितीय रूप से<br/>गतिज माप dμ = dp dφ (विधि 2, P = 1/2, कॉशी-क्रॉफ्टन सूत्र) को चुनती है।"]
R3 --> R3D["जेफ्रीस प्रायर p(θ) ∝ √det I(θ) या हार माप dx/x<br/>पुनः-प्राचलीकरण निश्चरता (Reparameterization Invariance) सुनिश्चित करता है।"]
4.1 कोलमोगोरोव का माप-सिद्धांत स्वयंसिद्धीकरण \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) (1933)
1933 में आंद्रेई कोलमोगोरोव (Andrei Kolmogorov) ने स्थापित किया कि कोई भी प्रायिकता समस्या तभी सुपरिभाषित होती है जब प्रायिकता समष्टि \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) स्पष्ट रूप से दी गई हो। प्रायिकता माप \(\mathbb{P}\) का उल्लेख किए बिना “यादृच्छिक जीवा चुनना” गणितीय रूप से अधूरा प्रश्न है।
4.2 ई. टी. जेन्स की रूपांतरण समूह निश्चरता (1973) और समाकल ज्यामिति
अपने प्रसिद्ध शोधपत्र “The Well-Posed Problem” (1973) में भौतिक विज्ञानी एडविन टी. जेन्स (Edwin T. Jaynes) ने सिद्ध किया कि जब हम फर्श पर बने वृत्त पर दूर से लंबे तिनके फेंकते हैं, तो सरल रेखाओं \(x\cos\phi + y\sin\phi = p\) का माप \(h(p, \phi)\,dp\,d\phi\) निम्न तीन सममितियों के अंतर्गत निश्चर (invariant) होना चाहिए:
- घूर्णन निश्चरता \(SO(2)\): \(h(p, \phi) = g(p)/(2\pi)\);
- मापक्रम (Scale) निश्चरता (त्रिज्या \(a < 1\) के संकेंद्रित उप-वृत्त पर प्रतिबंध);
- स्थानांतरण निश्चरता \(\mathbb{R}^2\) (यूक्लिडीय दृढ़ गति समूह \(E(2) = \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)\)): मूलबिंदु को \((x_0, y_0)\) से विस्थापित करने पर \(p' = p - x_0\cos\phi - y_0\sin\phi\) तथा \(\phi' = \phi\) प्राप्त होता है, जिसका जैकोबियन सारणिक सर्वसम रूप से \(1\) है: \(J = \det\frac{\partial(p', \phi')}{\partial(p, \phi)} = \det\begin{pmatrix} 1 & x_0\sin\phi - y_0\cos\phi \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1\) स्थानांतरण निश्चरता \(g(p') = g(p)\) अद्वितीय रूप से \(g(p) = \text{const.}\) निर्धारित करती है!
यही समाकल ज्यामिति (Integral Geometry) का प्रसिद्ध पॉइनकेयर–सैंटालो गतिज माप (Poincaré–Santaló Kinematic Measure) है:
\[d\mu(L) = dp\,d\phi\]कॉशी–क्रॉफ्टन सूत्र (Cauchy–Crofton Formula) (जो बफन की सुई समस्या Buffon’s Needle को भी नियंत्रित करता है) के अनुसार किसी उत्तल आकृति \(K \subset \mathbb{R}^2\) को काटने वाली रेखाओं का माप उसके परिमाप \(\text{Perimeter}(\partial K)\) के बराबर होता है। अतः अंतःवृत्त के परिमाप (\(\pi\)) और इकाई वृत्त के परिमाप (\(2\pi\)) के अनुपात से तुरंत विधि 2 (\(P = 1/2\)) प्राप्त होती है।
4.3 हैरोल्ड जेफ्रीस का प्रायर (Jeffreys Prior, 1946)
बेयसियन सांख्यिकी में सर हैरोल्ड जेफ्रीस (1946) ने फिशर सूचना आव्यूह (Fisher Information Matrix) \(I_{ij}(\theta) = -\mathbb{E}\left[\frac{\partial^2 \ln p(X\mid\theta)}{\partial\theta_i\partial\theta_j}\right]\) के सारणिक के वर्गमूल का उपयोग किया:
\[p_J(\theta) \propto \sqrt{\det I(\theta)}\]शराब-पानी विरोधाभास के लिए गुणन समूह \((\mathbb{R}_{>0}, \times)\) का हार माप \(d\mu(x) = \frac{dx}{x}\) (अर्थात् \([1/3, 3]\) पर घनत्व \(f(x) = \frac{1}{2\ln 3 \cdot x}\)) व्युत्क्रम रूपांतरण \(y = 1/x\) के अंतर्गत पूर्णतः निश्चर रहता है और संगत माध्यिका \(x_{\text{med}} = y_{\text{med}} = 1\) प्रदान करता है।
5. Python मोंटे कार्लो सिमुलेशन
| |