1. Prélude historique et intuition physique : pourquoi la courbe bat-elle la ligne droite ?

Imaginons deux points \(A(0,0)\) et \(B(x_1, y_1)\) fixés à des hauteurs différentes dans un plan vertical. Quelle forme doit épouser un rail sans frottement reliant \(A\) à \(B\) pour qu’une bille lâchée sans vitesse initiale en \(A\) sous l’action de la pesanteur \(g\) atteigne \(B\) dans le temps le plus court possible ? Notre intuition géométrique répond spontanément : « Une ligne droite, puisque la droite est le plus court chemin entre deux points ! » Or l’expérience et les mathématiques démontrent tout l’inverse : sur une courbe plongeante, la bille l’emporte largement — et si \(B\) est suffisamment éloigné horizontalement, la courbe la plus rapide plonge même plus bas que l’altitude de \(B\) avant de remonter vers l’arrivée !

Ce problème célèbre est celui de la courbe brachistochrone (du grec brakhistos, « le plus court », et khronos, « temps »). Pourquoi le chemin le plus court n’est-il pas le plus rapide ? Parce que la vitesse initiale en \(A\) est nulle (\(v_0 = 0\)). Sur un plan incliné rectiligne de faible pente, l’accélération tangentielle \(a = g\sin\alpha\) est modeste et la bille perd un temps considérable au départ à très basse vitesse. En revanche, une trajectoire qui plonge verticalement dès l’origine convertit immédiatement l’énergie potentielle \(mgy\) en une grande vitesse \(v = \sqrt{2gy}\). En 1638, Galilée avait prouvé dans ses Discorsi qu’un arc de cercle est plus rapide que sa corde, croyant à tort que le cercle était l’optimum absolu. En juin 1696, Jean Bernoulli lança ce défi aux mathématiciens d’Europe ; le soir du 29 janvier 1697, rentrant de la Monnaie royale de Londres, Isaac Newton résolut le problème en quelques heures avant de se coucher et publia sa solution anonymement, arrachant à Bernoulli le célèbre : « Tanquam ex ungue leonem (On reconnaît le lion à sa griffe) ! »

2. La fonctionnelle du temps de descente et l’analogie optique de Jean Bernoulli (loi de Snell)

En plaçant l’origine en \(A(0,0)\) avec l’axe \(x\) horizontal et l’axe \(y\) dirigé verticalement vers le bas, la conservation de l’énergie mécanique \(\frac{1}{2}mv^2 = mgy\) donne la vitesse \(v(y) = \sqrt{2gy}\). Avec l’élément d’arc \(ds = \sqrt{1 + (y'(x))^2}\,dx\), le temps total de descente \(T[y]\) s’écrit comme une fonctionnelle (une fonction prenant pour argument toute une courbe \(y(x)\)) :

3. Naissance du calcul des variations : équation d’Euler-Lagrange, identité de Beltrami et cycloïde

Jean Bernoulli découvrit en 1696 un raccourci éblouissant grâce au principe de Fermat du moindre temps : une bille évoluant à la vitesse \(v(y) = \sqrt{2gy}\) suit exactement la même trajectoire qu’un rayon lumineux traversant un milieu stratifié d’indice de réfraction \(n(y) = c/v(y) \propto y^{-1/2}\) ! D’après la loi de la réfraction de Snell-Descartes, l’angle \(\alpha\) avec la verticale vérifie \(\frac{\sin\alpha}{\sqrt{2gy}} = \text{const}\). En substituant \(\sin\alpha = \frac{dx}{ds} = \frac{1}{\sqrt{1+(y')^2}}\), on obtient immédiatement l’équation différentielle \(y(1 + (y')^2) = 2R\).

Pour minimiser systématiquement une fonctionnelle générale \(J[y] = \int L(x,y,y')\,dx\), Leonhard Euler (1744) et Joseph-Louis Lagrange (1755) fondèrent le calcul des variations. En annulant la première variation \(\delta J[y;\eta] = 0\) pour toute perturbation \(\eta(x)\) nulle aux bornes, une intégration par parties conduit à l’équation d’Euler-Lagrange. Comme \(L(y,y') = \sqrt{\frac{1+(y')^2}{y}}\) ne dépend pas explicitement de \(x\), l’identité de Beltrami \(L - y'\frac{\partial L}{\partial y'} = C\) redonne directement \(y(1 + (y')^2) = 2R\). Le changement de variable paramétrique \(y = 2R\sin^2(\theta/2) = R(1 - \cos\theta)\) démontre que l’unique courbe brachistochrone est une cycloïde :

  flowchart TD
    A["1696: Brachistochrone Problem (Minimize T[y] = ∫ √(1+y'^2)/√(2gy) dx)"] --> B["Snell's Law Optical Analogy (sin α / √y = const)"]
    A --> C["First Variation δT[y] = 0 → Euler-Lagrange Equation & Beltrami Identity"]
    B --> D["ODE: y (1 + y'^2) = 2R"]
    C --> D
    D --> E["Parametric Cycloid: x = R(θ - sin θ), y = R(1 - cos θ)"]
    E --> F["Huygens Tautochrone Property (T = π√(R/g) Independent of Starting Height)"]
    C --> G["Hamilton's Principle of Least Action δS = 0 (Modern Physics & Optimal Control)"]

4. Comparaison numérique, tautochrone de Huygens et héritage du principe de moindre action

Entre \(A(0,0)\) et \(B(\pi, 2)\), bien que la cycloïde (\(S = 4{,}000\,\text{m}\)) soit \(7{,}4\%\) plus longue que la ligne droite (\(3{,}724\,\text{m}\)), la bille y arrive \(18{,}5\%\) plus vite ! De plus, Christiaan Huygens avait démontré dès 1659 que cette même cycloïde est aussi la courbe tautochrone (isochrone) : quel que soit le point de départ sur la cycloïde, le temps mis pour atteindre le point le plus bas vaut toujours exactement \(T = \pi\sqrt{R/g}\), indépendamment de l’amplitude initiale ! Du calcul des variations né avec la brachistochrone découlent le principe de moindre action de Hamilton (\(\delta S = 0\)), le théorème de Noether, les géodésiques de la relativité générale d’Einstein, l’intégrale de chemin de Feynman et la théorie moderne du contrôle optimal.