« Répartissez équitablement les sièges entiers d’une assemblée législative entre les États (ou les partis politiques) proportionnellement à leur population. »
Face à cette consigne, presque tout le monde applique la règle de trois et l’arrondi appris à l’école primaire : on divise la population totale du pays par le nombre total de sièges pour obtenir le « diviseur standard » (la population par siège), puis on divise la population de chaque État par ce diviseur. Comme on obtient des nombres décimaux tels que \(7,73\) ou \(1,36\) sièges, on attribue d’abord à chaque État sa partie entière (\(7\) et \(1\)), puis on distribue les sièges restants un par un aux États ayant les plus forts restes décimaux (\(,73\), \(,36\), etc.). Quoi de plus naturel et de plus incontestablement juste ?
Pourtant, en 1880, Charles W. Seaton, greffier en chef du Bureau du recensement des États-Unis, découvrit un cauchemar mathématique en appliquant cette méthode (la méthode de Hamilton ou méthode au plus fort reste / Hare-Niemeyer) à la Chambre des représentants : lorsque la taille totale de la Chambre fut augmentée d’un seul siège, passant de \(299\) à \(300\) sièges — sans qu’un seul habitant ait déménagé —, l’État de l’Alabama vit son nombre de sièges chuter de \(8\) à \(7\) sièges !
Agrandir le gâteau global tout en réduisant la part d’un convive : ce paradoxe de l’Alabama fut suivi par la découverte du paradoxe de la population (un État en forte croissance démographique perd un siège au profit d’un État à croissance lente) et du paradoxe des nouveaux États (l’admission d’un nouvel État avec le nombre exact de sièges correspondant à sa population fait basculer un siège entre deux États existants). En 1982, Michel Balinski et H. Peyton Young démontrèrent le célèbre théorème d’impossibilité de Balinski-Young : il est mathématiquement impossible qu’une méthode de répartition respecte simultanément la règle des quotas et la monotonie (l’absence de paradoxes).
1. La crise constitutionnelle de 1792 : Hamilton contre Jefferson et le premier veto présidentiel
L’article I, section 2 de la Constitution américaine de 1787 exigeait que les représentants soient répartis entre les États « selon leurs populations respectives », sans dépasser un représentant pour \(30\,000\) habitants. Après le premier recensement de 1790 (\(P = 3\,615\,920\) habitants dans \(15\) États), le Congrès vota une loi fixant la Chambre à \(H = 120\) sièges (diviseur standard \(D = P/H = 30\,132,67\)).
Le secrétaire au Trésor Alexander Hamilton proposa la méthode au plus fort reste (méthode de Hamilton) : attribuer d’abord \(\lfloor p_i / D \rfloor\) sièges (\(112\) au total), puis donner les \(R = 8\) sièges restants aux \(8\) États ayant les plus grandes parties fractionnaires. Le secrétaire d’État Thomas Jefferson et le président George Washington (tous deux de Virginie) s’y opposèrent farouchement : non seulement la Virginie perdait au jeu des restes, mais les petits États arrondis à l’unité supérieure — comme le Delaware (\(55\,540\) habitants, \(2\) sièges) — obtenaient un député pour \(27\,770\) habitants, violant le plafond constitutionnel de \(30\,000\) !
Jefferson proposa la méthode de Jefferson (connue en Europe sous le nom de méthode D’Hondt) : choisir un diviseur commun \(x\) (par exemple \(x = 33\,000\)) et tronquer systématiquement à l’entier inférieur (\(a_i = \lfloor p_i / x \rfloor\)) de sorte que la somme vaille \(H\). Le 5 avril 1792, George Washington opposa le tout premier veto présidentiel de l’histoire des États-Unis à la loi de Hamilton — un veto historique déclenché par un conflit d’algorithmes d’arrondi mathématique !
2. Formulation mathématique et la règle des quotas (Quota Rule)
Soient \(s \ge 2\) États de populations \(\mathbf{p} = (p_1, \dots, p_s)\), de population totale \(P = \sum_{i=1}^s p_i\), et une assemblée de \(H \in \mathbb{Z}_{>0}\) sièges. Le diviseur standard \(D\) et le quota exact \(q_i\) de l’État \(i\) sont définis par :
\[D = \frac{P}{H}, \qquad q_i = \frac{p_i}{D} = H \cdot \frac{p_i}{P}, \qquad \sum_{i=1}^s q_i = H\]Lorsqu’on arrondit le réel \(q_i\) en un entier \(a_i \in \mathbb{Z}_{\ge 0}\) (\(\sum_{i=1}^s a_i = H\)), l’axiome minimal d’équité stipule que chaque État doit recevoir soit son quota inférieur \(\lfloor q_i \rfloor\), soit son quota supérieur \(\lceil q_i \rceil\). C’est la règle des quotas (Quota Rule) :
\[\lfloor q_i \rfloor \le a_i \le \lceil q_i \rceil \quad (\forall i \in \{1, 2, \dots, s\})\]La méthode de Hamilton (plus fort reste / Hare-Niemeyer) décompose \(q_i = \lfloor q_i \rfloor + r_i\) avec \(r_i \in [0, 1)\), attribue \(\lfloor q_i \rfloor\) sièges, puis distribue les \(R = H - \sum \lfloor q_i \rfloor = \sum r_i\) sièges restants aux \(R\) États ayant les plus grands restes \(r_i\) :
\[q_i = \lfloor q_i \rfloor + r_i \quad (0 \le r_i < 1), \qquad R = H - \sum_{i=1}^s \lfloor q_i \rfloor = \sum_{i=1}^s r_i \in \{0, 1, \dots, s-1\}\]\[a_i = \begin{cases} \lfloor q_i \rfloor + 1 & (\text{if } r_i \text{ is among the } R \text{ largest remainders}) \\ \lfloor q_i \rfloor & (\text{otherwise}) \end{cases}\]Par construction, la méthode de Hamilton satisfait la règle des quotas dans \(100\%\) des cas.
3. Anatomie complète des trois grands paradoxes de répartition
Entre 1880 et 1907, les calculs officiels du recensement américain mirent au jour trois paradoxes dévastateurs :
flowchart TD
H["Méthode de Hamilton (Plus fort reste / Hare-Niemeyer)<br/>Garantit à 100% la règle des quotas ⌊q_i⌋ ≤ a_i ≤ ⌈q_i⌉"]
P1["1. Paradoxe de l'Alabama (1880)<br/>La taille totale H augmente, mais un État perd un siège<br/>(Violation de la monotonie de la Chambre)"]
P2["2. Paradoxe de la population (1900)<br/>Un État à forte croissance perd un siège au profit d'un État à faible croissance<br/>(Violation de la monotonie démographique)"]
P3["3. Paradoxe des nouveaux États (1907)<br/>L'ajout d'un nouvel État avec ses sièges légitimes inverse les sièges d'États existants<br/>(Violation de la cohérence / indépendance des alternatives non pertinentes)"]
CAUSE["Cause mathématique : Le quota q_i = H·(p_i/P) croît à une vitesse proportionnelle<br/>au poids p_i/P de l'État, permettant aux restes r_i des grands États de dépasser ceux des petits"]
H --> P1
H --> P2
H --> P3
P1 --> CAUSE
P2 --> CAUSE
P3 --> CAUSE
3.1 Le paradoxe de l’Alabama (1880) et sa preuve numérique à 3 États (\(H = 10 \to 11\))
En 1880, en passant de \(H = 299\) à \(H = 300\), le quota de l’Alabama n’augmenta que de \(+0,025\) (\(7,646 \to 7,671\)), tandis que ceux du Texas (\(9,640 \to 9,672\), \(+0,032\)) et de l’Illinois (\(18,640 \to 18,702\), \(+0,062\)) progressèrent plus vite et dépassèrent simultanément le reste de l’Alabama. Vérifions-le sur un modèle exact à \(3\) États (\(P = 1000\)) :
| État | Population \(p_i\) | Quota \(q_i\) (\(H=10\)) | Partie entière & reste \(r_i\) (\(H=10\)) | Sièges \(a_i\) (\(H=10\)) | Quota \(q_i'\) (\(H=11\)) | Partie entière & reste \(r_i'\) (\(H=11\)) | Sièges \(a_i'\) (\(H=11\)) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| État A | \(433\) | \(4,330\) | \(4\) (\(r_A = 0,330\) : 2e) | \(4\) sièges | \(4,763\) | \(4\) (\(r_A' = \mathbf{0,763}\) : 1er) | \(5\) sièges (\(+1\)) |
| État B | \(431\) | \(4,310\) | \(4\) (\(r_B = 0,310\) : 3e) | \(4\) sièges | \(4,741\) | \(4\) (\(r_B' = \mathbf{0,741}\) : 2e) | \(5\) sièges (\(+1\)) |
| État C | \(136\) | \(1,360\) | \(1\) (\(r_C = \mathbf{0,360}\) : 1er) | \(2\) sièges | \(1,496\) | \(1\) (\(r_C' = 0,496\) : 3e) | \(1\) siège (\(-1\)) |
| Total | \(1000\) | \(10,000\) | Somme entiers \(= 9\) (\(R=1\)) | \(10\) sièges | \(11,000\) | Somme entiers \(= 9\) (\(R'=2\)) | \(11\) sièges |
Lorsque \(H\) passe de \(10\) à \(11\), les grands États A et B gagnent \(+0,433\) et \(+0,431\) de quota contre seulement \(+0,136\) pour le petit État C : leurs restes (\(0,763\) et \(0,741\)) doublent celui de C (\(0,496\)), qui rétrograde de \(2\) sièges à \(1\) siège (violation de la monotonie de la Chambre).
3.2 Le paradoxe de la population (1900) et le paradoxe des nouveaux États (1907)
- Paradoxe de la population : Entre 1890 et 1900, la Virginie crût de \(+12,0\%\) contre \(+5,0\%\) pour le Maine, mais perdit un siège au profit du Maine. Dans notre modèle à \(3\) États (\(H = 10, P = 1000\)) : à l’instant 1, \(p_A = 427, p_B = 435, p_C = 138 \implies\) sièges \((4, 4, 2)\) car \(r_C = 0,380\) est en tête. À l’instant 2, l’État C croît de \(+8,70\%\) (\(138 \to 150\)), l’État B de \(+6,90\%\) (\(435 \to 465\)), et l’État A décline (\(427 \to 385\)). Bien que C ait un taux de croissance supérieur à B, le gain absolu de quota du grand État B (\(+0,300 \implies r_B' = 0,650\)) surpasse celui du petit État C (\(+0,120 \implies r_C' = 0,500\)), tandis que le quota de A franchit l’entier \(4\) vers le bas (\(q_A' = 3,850 \implies r_A' = 0,850\)). Résultat : l’État C, pourtant le plus dynamique, perd un siège (\(2 \to 1\)) au profit de B (\(4 \to 5\)) !
- Paradoxe des nouveaux États : En 1907, l’admission de l’Oklahoma avec ses \(5\) sièges (\(H: 386 \to 391\)) fit perdre un siège à New York au profit du Maine. Dans un modèle à \(2\) États (\(H = 10, P = 1000\) avec \(p_A = 842, p_B = 158 \implies a_A = 8, a_B = 2\)), l’entrée d’un nouvel État C (\(p_C = 165\)) avec ses \(2\) sièges légitimes (\(H' = 12, P' = 1165\)) abaisse légèrement le diviseur standard de \(100\) à \(97,083\). Tous les quotas sont multipliés par \(1,03004\) : le quota du grand État A grimpe de \(+0,253\) (\(8,673\), reste \(0,673\)) et dépasse le reste du petit État B (\(1,627\), reste \(0,627\)), donnant \((9, 1, 2)\) !
4. Théorie unifiée des méthodes de diviseurs (plus fortes moyennes) et fonctions jalons \(d(n)\)
Les méthodes de diviseurs divisent chaque population \(p_i\) par un diviseur modifiable \(x > 0\) et arrondissent le quotient \(q = p_i / x\) à l’aide d’une fonction jalon (Signpost Function) \(d(n) \in [n, n+1]\) :
\[[q]_d = n \iff d(n-1) \le q \le d(n), \qquad a_i = \left[\frac{p_i}{x}\right]_d, \qquad \sum_{i=1}^s a_i = H\]L’encadrement \(d(a_i - 1) \le p_i / x \le d(a_i)\) démontre l’équivalence totale avec les méthodes de la plus forte moyenne (valeurs de priorité) :
\[\frac{p_i}{d(a_i)} \le x \le \frac{p_i}{d(a_i - 1)} \quad \Longleftrightarrow \quad \text{Priority}(i, n) = \frac{p_i}{d(n)}\]Attribuer les \(H\) sièges revient exactement à sélectionner les \(H\) plus grandes valeurs de priorité \(\text{Priority}(i, n) = \frac{p_i}{d(n)}\). Puisque le classement global ne change pas quand \(H\) augmente et que le rapport de priorité entre deux États vérifie :
\[\frac{p_i'}{p_j'} \ge \frac{p_i}{p_j} \implies \frac{p_i' / d(n)}{p_j' / d(m)} = \frac{p_i'}{p_j'} \cdot \frac{d(m)}{d(n)} \ge \frac{p_i}{p_j} \cdot \frac{d(m)}{d(n)} = \frac{p_i / d(n)}{p_j / d(m)}\]toutes les méthodes de diviseurs sont totalement immunisées contre les trois paradoxes !
Comparaison des cinq méthodes de diviseurs historiques
| Nom de la méthode (Alias électoral) | Auteurs & Année | Jalon \(d(n)\) | Suite des diviseurs \(d(0), d(1), d(2), \dots\) | Sièges min. | Biais de taille & Critère d’optimisation | Risque de violation des quotas |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. Méthode de Jefferson (D’Hondt) | Jefferson (1792) D’Hondt (1878) | \(n + 1\) (Partie entière) | \(1, 2, 3, 4, \dots\) | \(0\) siège | Favorise fortement les grands États / partis | Viole le quota supérieur (\(a_i > \lceil q_i \rceil\)) |
| 2. Méthode de Webster (Sainte-Laguë) | Webster (1832) Sainte-Laguë (1910) | \(n + 0,5\) (Moy. arithmétique) | \(0,5, \; 1,5, \; 2,5, \dots\) (ou \(1, 3, 5, \dots\)) | \(0\) siège | Totalement neutre (sans biais de taille) | Peut violer (rarement) les quotas supérieur et inférieur |
| 3. Huntington-Hill (Proportions égales) | Hill (1911) Huntington (1921) | \(\sqrt{n(n+1)}\) (Moy. géométrique) | \(0, \sqrt{2}, \sqrt{6}, \sqrt{12}, \dots\) | \(1\) siège | Minimise l’inégalité relative \(T_{ij}\) ; Chambre des représentants US depuis 1941 | Peut violer les quotas supérieur et inférieur |
| 4. Méthode de Dean (Moy. harmonique) | J. Dean (1832) | \(\frac{2n(n+1)}{2n+1}\) (Moy. harmonique) | \(0, \frac{4}{3}, \frac{12}{5}, \frac{24}{7}, \dots\) | \(1\) siège | Minimise l’écart absolu de taille des circonscriptions \(p_i/a_i\) | Peut violer les quotas supérieur et inférieur |
| 5. Méthode d’Adams (Plus petits diviseurs) | J. Q. Adams (1832) | \(n\) (Plafond \(\lceil q \rceil\)) | \(0, 1, 2, 3, \dots\) | \(1\) siège | Favorise fortement les petits États | Viole le quota inférieur (\(a_i < \lfloor q_i \rfloor\)) |
D’après l’inégalité classique des moyennes arithmétique, géométrique et harmonique (AM-GM-HM) :
\[T_{ij} = \frac{a_i / p_i}{a_j / p_j} - 1, \qquad d(n) = \sqrt{n(n+1)}\]\[n < \underbrace{\frac{2n(n+1)}{2n+1}}_{\text{Dean (HM)}} < \underbrace{\sqrt{n(n+1)}}_{\text{Huntington-Hill (GM)}} < \underbrace{n + 0.5}_{\text{Webster (AM)}} < n + 1\]5. Le théorème d’impossibilité de Balinski-Young (1982)
Même la méthode de Webster / Sainte-Laguë (\(d(n) = n + 0,5\), arrondi à l’entier le plus proche) viole à la fois le quota inférieur et le quota supérieur :
- Violation du quota inférieur (\(H = 10, P = 1000\)) : Soit un grand État A (\(p_A = 832 \implies q_A = 8,320\), quota inférieur \(8\) sièges) et trois petits États B, C, D (\(p_i = 56 \implies q_i = 0,560\)). Avec le diviseur \(x = 111\), les trois petits États ont \(56/111 \approx 0,5045 > 0,5\) et sont tous arrondis à \(1\) siège (\(3\) au total), tandis que le grand État A obtient \(832/111 \approx 7,4955 < 7,5\), arrondi à \(7\) sièges — violant son quota inférieur de \(8\) sièges !
- Violation du quota supérieur (\(H = 10, P = 1000\)) : Soit un grand État A (\(p_A = 795 \implies q_A = 7,950\), quota supérieur \(8\) sièges) et cinq petits États B–F (\(p_i = 41 \implies q_i = 0,410\)). Avec \(x = 83\), les cinq petits États ont \(41/83 \approx 0,4940 < 0,5\) (\(0\) siège chacun), tandis que l’État A obtient \(795/83 \approx 9,5783 > 9,5\), raflant les \(10\) sièges — soit \(2\) sièges au-dessus de son quota supérieur !
En 1982, Balinski et Young ont établi leur théorème définitif :
- Théorème 1 (Caractérisation des méthodes de diviseurs) : Une méthode de répartition anonyme et homogène vérifie la monotonie démographique si et seulement si c’est une méthode de diviseurs.
- Théorème 2 (Théorème d’impossibilité de Balinski-Young, 1982) : Pour \(s \ge 4\) États et \(H \ge 7\) sièges, il n’existe aucune méthode de répartition qui satisfasse simultanément la monotonie démographique et la règle des quotas (\(\lfloor q_i \rfloor \le a_i \le \lceil q_i \rceil\)).
En effet, modifier le diviseur commun \(x\) multiplie tous les quotas exacts par le même facteur \(\lambda = D/x\) (\(p_i/x = \lambda q_i\)). Le décalage absolu \(\Delta q_A = |1 - \lambda| q_A\) d’un grand État étant proportionnel à sa taille \(q_A\), il franchit inévitablement des frontières entières lorsque plusieurs petits États basculent simultanément autour d’un jalon \(d(k)\).