متسلسلة فورييه وتحويل فورييه: فهم الموجات بمركبات الجيب وجيب التمام

1. مقدمة: التفكير في الموجة بوصفها مجموعًا

تحيط بنا موجات الصوت والضوء والموجات الكهرومغناطيسية. هل يمكن فهم شكل موجي معقد وغير منتظم بوصفه تركيبًا من موجات بسيطة؟ تمنح متسلسلة فورييه المرتبطة بجوزيف فورييه، وتحويل فورييه الذي يستخدم ترددات متصلة، صياغة رياضية لهذه الفكرة. لكن يجب تحديد الشروط على الدوال والمعنى المقصود بالتقارب.

نعرض هنا الصيغ الأساسية وتفسيرها الحدسي ومثالًا على استخدامها في معالجة الإشارات الحديثة.

2. متسلسلة فورييه: تحليل الموجات الدورية

تمثل متسلسلة فورييه الدالة الدورية بمركبات مثلثية تردداتها مضاعفات صحيحة للتردد الأساسي. وإمكان حساب المعاملات لا يعني وحده أن المتسلسلة تتقارب إلى قيمة الدالة الأصلية عند كل نقطة. نعتبر هنا دوال دورية ملساء على أجزاء: يمكن تقسيم الدورة إلى عدد منتهٍ من الفترات، تكون الدالة داخل كل منها قابلة للاشتقاق بمشتقة متصلة، وتكون للدالة ولمشتقتها نهايات أحادية الجانب منتهية عند الأطراف. تحت هذا الشرط الكافي، تتقارب المتسلسلة إلى قيمة الدالة عند نقاط الاتصال وإلى متوسط نهايتي اليمين واليسار عند نقاط القفز.

\[ \lim_{M\to\infty} S_M(x)=\frac{f(x-)+f(x+)}{2} \]

يرمز \(S_M\) إلى المجموع الجزئي حتى التوافقية ذات الرتبة \(M\). وعند موضع وصل دورتين، نستخدم أيضًا نهايات الامتداد الدوري. بالقرب من القفزة يبقى التجاوز الناتج عن ظاهرة غيبس عند زيادة عدد الحدود. لذلك لا تؤدي إضافة الحدود إلى اقتراب الخطأ من الصفر بانتظام على الفترة كلها.

2.1 الصيغة الحقيقية لمتسلسلة فورييه

لدالة ذات قيم حقيقية ودورة \(2\pi\) تحقق الشروط السابقة، تصح المساواة التالية عند نقاط الاتصال. تُقاس الزوايا بالراديان. وعند القفزة يُستبدل الطرف الأيسر بمتوسط النهايتين الأحاديتين.

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]

تسمى الأعداد \(a_0,a_n,b_n\) معاملات فورييه. الحد الثابت، أو المركبة الثابتة (DC)، هو المتوسط خلال دورة واحدة: \(a_0/2\) وليس \(a_0\). ولـ \(n\ge1\) يعطي \(a_n,b_n\) وزني مركبتي جيب التمام والجيب. ومن تعامد الدوال المثلثية نحصل على صيغ المعاملات:

\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx \]\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx \]\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx \]

2.2 الصيغة المركّبة لمتسلسلة فورييه

باستخدام صيغة أويلر \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) يمكن كتابة المتسلسلة نفسها بدوال أسية مركّبة. نفهم المجموع الثنائي الجانب أدناه بوصفه نهاية المجاميع الجزئية المتناظرة من \(n=-M\) إلى \(M\). وتبقى المساواة عند نقاط الاتصال والتحفظ عند القفزات كما في الصيغة الحقيقية.

\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx} \]\[ c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx \]

عندما تكون \(f\) حقيقية القيم، يكون \(c_0=a_0/2\) و\(c_n=(a_n-ib_n)/2\) و\(c_{-n}=(a_n+ib_n)/2\)، حيث \(n\ge1\). إذن تظهر الترددات السالبة حتى عند تمثيل موجة حقيقية بدوال أسية مركّبة. وتساعد هذه الصيغة أيضًا على فهم الصلة بتحويل فورييه.

3. تحويل فورييه: إلى ما وراء الدوال الدورية

يمكن استخدام المتسلسلة أيضًا للدوال الممددة دوريًا. لكن لوصف نبضة منفردة أو إشارة أخرى على المحور الحقيقي كله، يفيد تحويل فورييه الذي يتغير فيه التردد بصورة متصلة. إن إطالة الدورة لتقليل المسافة بين الترددات تمنح رابطًا حدسيًا. إلا أن تبديل النهاية والتكامل يتطلب شروطًا، فلا يكفي هذا التصور وحده ليكون برهانًا عامًا.

3.1 التعريف والتحويل العكسي

نستخدم إشارة سالبة في أس التحويل المباشر والعامل \(1/(2\pi)\) في التحويل العكسي. إذا كان \(\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|\,dt<\infty\)، فإن تكامل التحويل المباشر التالي يتقارب تقاربًا مطلقًا لكل \(\omega\) حقيقي.

\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} dt \]

مثلًا، إذا كانت \(f\) متصلة وكانت \(f\) و\(F\) كلتاهما قابلتين للتكامل المطلق، فإن التحويل العكسي يستعيد \(f\) بالصيغة التالية. لا يجوز تطبيق هذه الصيغة بلا شروط على دالة اعتباطية.

\[ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i\omega t} d\omega \]

نقيس \(t\) بالثواني، ونرمز بـ \(\omega\) إلى التردد الزاوي بوحدة rad/s. ويرتبط التردد \(\nu\) بوحدة الهرتز بالعلاقة \(\omega=2\pi\nu\). تصف الدالة المركّبة القيم \(F(\omega)\) أوزان الطيف المتصل؛ وحيث \(F\ne0\)، تعطي القيمة المطلقة وزاوية العدد المركّب المقدار والطور. لا يساوي وزن الطيف المتصل مباشرةً سعة مركبة منفردة من إشارة دورية.

للدوال ذات القفزات، قد يستعيد تكامل غير صحيح متناظر متوسط النهايتين الأحاديتين عند توافر شروط انتظام إضافية. وقد تحتاج الدوال التي يكون مربع قيمتها المطلقة قابلًا للتكامل والإشارات الدورية إلى توسيع بالمعنى \(L^2\) وبمعنى التوزيعات الرياضية، على الترتيب. لا نتناول تلك النظريات هنا. تختلف الإشارات وعوامل التطبيع بين المراجع، لذا يجب التحقق من التحويل المباشر والعكسي بوصفهما زوجًا.

3.2 معالجة الإشارات

يوضح المخطط معالجة إشارة في مجال التردد.

  flowchart LR
    A["إشارة الدخل في الزمن"] -->|"تحويل فورييه"| B["الطيف الترددي"]
    B -->|"الترشيح"| C["الطيف المعدّل"]
    C -->|"تحويل فورييه العكسي"| D["إشارة الخرج في الزمن"]

    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style D fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

4. تحويل فورييه المتقطع (DFT) وتحويل فورييه السريع (FFT)

يحوّل تحويل فورييه المتقطع (DFT) متتالية منتهية \(x_0,\ldots,x_{N-1}\) إلى العدد نفسه من المركبات الترددية. يجب تمييز هذا التحويل المنتهي عن مجرد استبدال تكامل التحويل المتصل بمجموع. عند التعامل مع إشارة زمنية، نأخذ العينات أولًا ونختار فترة رصد منتهية. يشكل التحويل المباشر والعكسي الزوج التالي:

\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \frac{2\pi}{N} k n} \quad \text{for } k = 0, 1, \dots, N-1 \]\[ x_n=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_k e^{i\frac{2\pi}{N}kn} \quad \text{for } n=0,1,\dots,N-1 \]

إذا كان تردد أخذ العينات \(f_s\)، فالمسافة بين خانات التردد، أو bins، هي \(f_s/N\) Hz. يقابل DFT النظر إلى المتتالية المنتهية كأنها تتكرر دوريًا. تؤدي مركبات الإشارة قبل أخذ العينات ذات التردد الذي يساوي \(f_s/2\) أو يزيد عليه إلى تراكب طيفي أو غموض. لذلك تتطلب استعادة إشارة متصلة افتراضات مثل محدودية عرض النطاق. وإذا لم تكمل الموجة الجيبية عددًا صحيحًا من الدورات خلال فترة الرصد، يحدث أيضًا تسرب طيفي، فتتوزع طاقتها على عدة خانات.

يتطلب حساب مركبات DFT البالغ عددها \(N\) مباشرةً من التعريف \(O(N^2)\) عملية. أما تحويل فورييه السريع (FFT) فهو عائلة خوارزميات لحساب DFT نفسه بكفاءة. مثلًا، عندما يكون الطول قوة للعدد اثنين، يسمح التقسيم التكراري بالحساب في \(O(N\log N)\) عملية. FFT اسم لطريقة حساب، وليس لتحويل مختلف أو لتقريب في حد ذاته. وهو مستخدم على نطاق واسع في المعالجة الرقمية للإشارات، ومنها الصوت. من جهة أخرى، تستخدم الطريقة الأساسية في JPEG المعتاد ذي الفقد تحويل جيب التمام المتقطع (DCT). هذه التحويلات مترابطة، لكن لا ينبغي تقديم JPEG ببساطة كاستخدام مباشر لـ FFT.

4.1 فحص ترددين وسعتيهما باستخدام Python

يستخدم المثال NumPy وMatplotlib. نأخذ عينات لمدة ثانية واحدة بتردد 1,000 Hz، ونجمع موجة جيبية بتردد 50 Hz وسعة 1 مع أخرى بتردد 120 Hz وسعة 0.5. ولأن المدخلات حقيقية، نستخدم rfft وrfftfreq. يقع الترددان تمامًا على خانات تفصل بينها 1 Hz، وكلاهما أقل من 500 Hz.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# أخذ عينات لثانية واحدة بتردد 1000 Hz مع استبعاد نقطة النهاية عند ثانية
fs = 1000.0
N = 1000
t = np.arange(N) / fs
signal = np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + 0.5 * np.sin(2 * np.pi * 120 * t)

# تحويل DFT للترددات غير السالبة لإشارة حقيقية
fft_result = np.fft.rfft(signal)
frequencies = np.fft.rfftfreq(N, d=1 / fs)

# السعة أحادية الجانب: لا نضاعف DC أو نايكويست عندما يكون N زوجيا
amplitude = np.abs(fft_result) / N
if N % 2 == 0:
    amplitude[1:-1] *= 2
else:
    amplitude[1:] *= 2

peak_indices = np.argsort(amplitude)[-2:]
for k in sorted(peak_indices, key=lambda k: frequencies[k]):
    print(f"{frequencies[k]:.0f} Hz: {amplitude[k]:.3f}")

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(frequencies, amplitude)
ax.set(xlim=(0, 200), xlabel="Frequency (Hz)", ylabel="Amplitude",
       title="One-sided amplitude spectrum")
ax.grid(True)
fig.tight_layout()
plt.show()

الناتج بعد التقريب هو 50 Hz: 1.000 و120 Hz: 0.500. لا تُقسَم نتيجة التحويل المباشر الافتراضي لـ rfft على \(N\)، لذلك نطبّع كما في المثال لعرض السعات. عند جمع زوج الترددين الموجب والسالب لإشارة حقيقية، نضاعف الخانات الداخلية فقط، باستثناء DC ومركبة نايكويست عندما يكون الطول زوجيًا. تقرأ هذه الطريقة سعات الموجات الجيبية في المثال، وهي متوافقة مع الخانات ومن دون تطبيق نافذة. ولا تضمن الصيغة وحدها سعات دقيقة لإشارات اعتباطية أو بيانات طُبقت عليها نافذة.

5. خلاصة

تساعد متسلسلة فورييه وتحويل فورييه على تحليل الظواهر المعقدة إلى مركبات أبسط. وقد تكشف رؤية الإشارة في مجال التردد أنماطًا خفية وتساعد على معالجة المعلومات.

حدّد الدورية وشروط التقارب ووحدات التردد والتطبيع. ويساعد التمييز بين DFT وخوارزميات FFT التي تحسبه على توضيح الصلة بين الصيغ الرياضية والبرامج العملية.