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聖彼得堡悖論：期望值為「無限大」的賭局，你願意付多少錢？

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. 期望值為「無限大」的夢幻賭局

當你走在賭場裡，莊家邀請你參加以下這個全新的擲硬幣遊戲。

【遊戲規則】

支付參加費後遊戲開始。
擲硬幣。如果出現正面，獎金就會翻倍，並且可以再擲一次。
一旦出現反面，遊戲即告結束。你可以獲得直到該時間點累積的獎金。

初始獎金從 2 美元開始。

第 1 次出現反面，獲得 2 美元後結束。
第 1 次正面、第 2 次反面，獲得 4 美元後結束。
第 1 次正面、第 2 次正面、第 3 次反面，獲得 8 美元後結束。
…之後，只要持續出現正面，獎金就會以 16 美元、32 美元、64 美元… 呈倍數增加。

graph TD Start["遊戲開始"] --> Toss1{"第 1 次擲硬幣"} Toss1 -->|反面 (1/2)| End1["結束：獲得 2 美元"] Toss1 -->|正面 (1/2)| Toss2{"第 2 次擲硬幣"} Toss2 -->|反面 (1/2)| End2["結束：獲得 4 美元"] Toss2 -->|正面 (1/2)| Toss3{"第 3 次擲硬幣"} Toss3 -->|反面 (1/2)| End3["結束：獲得 8 美元"] Toss3 -->|正面 (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|連續次數越多| Infinite["獎金無限倍增！"]

那麼，現在問你一個問題。 如果這個遊戲的參加費是「1 萬美元」，你會參加嗎？

恐怕大多數人都會回答「不參加」。因為有一半的機率，在第一次擲硬幣時就會出現反面，結果只能拿到區區 2 美元，從而損失慘重。

然而，如果嚴格按照數學機率論（期望值）來計算，將會得出一個驚人的事實。在數學上，不管參加費是 1 萬美元還是 1 億美元，你甚至應該借盡全副身家來參加這個遊戲。

這到底是為什麼呢？

2. 讓我們來計算期望值

在判斷一個賭博是「賺」還是「賠」時，數學上的指標稱為**「期望值」。期望值代表的是「當這個遊戲重複進行多次時，平均每次可以賺多少錢」的數值。計算公式為將所有的「（獲得的獎金）×（其發生的機率）」相加起來**。

讓我們來計算一下這次遊戲的期望值。

第 1 次出現反面的機率： $\frac{1}{2}$ 獎金為 $2$ 美元。對期望值的貢獻＝ $2 \times \frac{1}{2} = 1$ 美元
第 2 次出現反面的機率： 出現正面、反面，所以是 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 獎金為 $4$ 美元。對期望值的貢獻＝ $4 \times \frac{1}{4} = 1$ 美元
第 3 次出現反面的機率： 出現正面、正面、反面，所以是 $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ 獎金為 $8$ 美元。對期望值的貢獻＝ $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 美元
第 $n$ 次出現反面的機率： $(\frac{1}{2})^n$ 獎金為 $2^n$ 美元。對期望值的貢獻＝ $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ 美元

也就是說，無論遊戲在第幾次結束，該模式的期望值永遠都是「1 美元」。由於遊戲有無限進行下去的可能性，將這些期望值全部相加就會變成這樣：

$$ \text{總期望值} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{（無限大）} $$

數學計算出的答案是**「這個遊戲的期望值為無限大」**。既然期望值是無限大，那麼無論參加費有多高，在理論上這絕對是一個「划算的賭局」。

這就是 1713 年由尼古拉斯·伯努利（Nicolaus Bernoulli）所提出的**「聖彼得堡悖論」**。數學上正確的計算結果（具有無限大的價值）與人類現實的直覺（只願意付幾美元）產生了強烈的矛盾。

3. 解決數學與人類之間落差的「效用」發現

解決這個悖論的，是尼古拉斯的堂弟，天才數學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）。（因為他在聖彼得堡的科學院發表了這篇論文，所以以此命名。）

丹尼爾深入探討了人類的心理。他認為，「人類在判斷事物時，依據的不是金錢的『絕對金額』，而是金錢所帶來的『滿足度（效用）』」。

這被稱為**「邊際效用遞減法則」**。

金錢的價值會隨著擁有的數量而下降

例如，當你在沙漠中口渴難耐時，第 1 杯水具有「就算付 1 萬日圓也想喝」的價值（滿足度）。但是，隨著你喝下第 2 杯、第 3 杯，1 杯水的價值會不斷下降。到了第 10 杯，可能就會變成「免費給我也不要」。

金錢也是一樣的。

對於一個存款為零的人來說，獲得「100 萬日圓」有著能拯救人生的巨大價值。
然而，對於資產高達 100 億美元的伊隆·馬斯克來說，獲得「100 萬日圓」的價值（滿足度），可能就和掉在路邊的 1 日圓硬幣差不多。

換句話說，即使獎金以 2 美元 $\rightarrow$ 4 美元 $\rightarrow$ 8 美元 $\rightarrow$ 16 美元… 無限增加，人類所感受到的「喜悅（效用）」並不會與金額成正比無限增加。

4. 使用「效用」重新計算期望值

丹尼爾·伯努利假設：「人類所感受到金錢的價值（效用），與金額的對數（$\log$）成正比」。

假設金額為 $x$，我們用對數函數來表示人類感受到的價值（效用） $u(x)$（這裡考慮以 2 為底數的簡單模型）。

獎金 $2$ 美元的效用： $\log_2(2) = 1$
獎金 $4$ 美元的效用： $\log_2(4) = 2$
獎金 $8$ 美元的效用： $\log_2(8) = 3$
獎金 $2^n$ 美元的效用： $\log_2(2^n) = n$

雖然金額呈倍數增長，但人類的「喜悅」卻只以 1, 2, 3… 緩慢增加。讓我們使用這個「效用」來重新計算期望值（期望效用）。

$$ \text{期望效用} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

計算這個無窮級數的和，結果並不會變成「無限大」，而是收斂於「2」。將效用為「2」反推回金額，得到 $2^2 = 4$ 美元。

也就是說，如果將人類的心理（效用）納入計算，就會得出一個極為符合常識且現實的答案：「在人類的感覺中，這個遊戲的價值大約是『4 美元』左右」。這正是為什麼我們不願意為這個遊戲支付 1 萬美元的原因。

5. 總結：開啟經濟學大門的悖論

聖彼得堡悖論是一個劃時代的悖論，它在數學上證明了「金額」這種客觀的數字，與「人類滿足度」這種主觀的價值並不一致。

丹尼爾·伯努利所提出的「效用（Utility）」概念，在經過 200 年後，成為了現代個體經濟學和金融工程學（如投資組合理論等）最重要的基礎。我們購買保險、進行分散投資等行為，也全都可以用這種「邊際效用遞減（損失慘重的痛苦，遠遠大於賺大錢的喜悅）」的人類心理機制來解釋。

一個單純的賭博計算題，竟成為了解讀人類心理，並催生出經濟學這門龐大學科的契機。

囚徒困境：為什麼我們會做出「讓大家雙輸」的選擇？

Thu, 10 Sep 2026 03:00:00 +0900

1. 終極抉擇：保持沉默，還是背叛？

你和共犯朋友因為涉嫌某起犯罪，一起被警察逮捕了。你們兩人被關在不同的審訊室，彼此完全無法取得聯繫。

因為警方還沒有掌握充分的證據，所以檢察官分別向你和朋友提出了以下的「認罪協商」：

如果兩人都「保持沉默（合作）」： 因證據不足，兩人都只需服刑 1年。
如果你「認罪（背叛）」，而朋友「保持沉默」： 配合調查的你將獲得 無罪（立即釋放），但朋友必須承擔所有罪行，服刑 10年。（反之亦然）
如果兩人都「認罪（背叛）」： 因為兩人都承認了罪行，稍微減刑後兩人都服刑 5年。

那麼，你會怎麼做？「保持沉默（與對方合作）」嗎？還是「認罪（背叛對方）」？

2. 透過收益表（Payoff Matrix）進行分析

讓我們把這個情況，整理成賽局理論中使用的「收益表」。格子裡的數字代表（你的服刑年數, 朋友的服刑年數）。負數代表損失（服刑年數）。

你 \ 朋友	保持沉默（合作）	認罪（背叛）
保持沉默（合作）	(-1, -1)	(-10, 0)
認罪（背叛）	(0, -10)	(-5, -5)

客觀來看，兩人應該採取的最佳行動顯而易見。 如果兩人都「保持沉默」，總服刑期就只要短短的2年（-1與-1）。 這就是讓整體利益最大化的「柏拉圖最適（Pareto optimal）」狀態。

然而，如果假設你是一個「只圖追求自身利益最大化的理性人類」，就會得出截然不同的結論。

3. 為什麼「背叛」會成為理性的選擇？

讓我們追溯一下，當你預測在另一間房間的「朋友」的行動時，決定自己行動的思考過程。

情況1：預測朋友會「保持沉默」時

如果自己也「保持沉默」，服刑1年。
如果自己「認罪」，無罪（立即釋放）。 $\rightarrow$ 無罪比較好，所以**「認罪（背叛）」**是最佳選擇。

情況2：預測朋友會「認罪」時

如果自己「保持沉默」，服刑10年。
如果自己「認罪」，服刑5年。 $\rightarrow$ 服刑5年比較不糟，所以還是**「認罪（背叛）」**是最佳選擇。

你發現了嗎？不管對方採取什麼行動，對你來說「認罪（背叛）」永遠都是更有利的。這在賽局理論中被稱為**「優勢策略（Dominant strategy）」**。

朋友也處於完全相同的狀況，並同樣理性地思考，因此對朋友來說「認罪」也是優勢策略。

結果就是，理性思考的兩人，必然都會選擇互相「認罪（背叛）」。結果，他們達到的結局是 兩人都服刑5年（-5, -5），從整體來看，這是接近最壞的結局。明明兩人合作（保持沉默）就只要服刑1年，但追求個人理性的結果，卻導致了雙輸的局面。

graph TD Start["選擇的開始"] --> Logic_You["你的理性思考"] Start --> Logic_Friend["朋友的理性思考"] Logic_You -->|對方沉默則認罪有利
對方認罪也認罪有利| Betray_You["你選擇認罪(背叛)"] Logic_Friend -->|對方沉默則認罪有利
對方認罪也認罪有利| Betray_Friend["朋友選擇認罪(背叛)"] Betray_You --> Result["結果：雙方認罪 (-5, -5)"] Betray_Friend --> Result Ideal["理想：雙方沉默 (-1, -1)"] -.->|因個人理性的阻礙而
無法達成| Result style Result fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Ideal fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px

這種「互相預測對方行動後，雙方都沒有動機改變策略（無法再做任何改變）的狀態」，以賽局理論大師約翰·納許（John Nash）的名字命名，稱為**「納許均衡（Nash equilibrium）」**。

囚徒困境最可怕的一點在於，「柏拉圖最適（對全體最好的結果）」與「納許均衡（個人理性的最終歸宿）」並不一致。

4. 潛伏在日常社會中的「囚徒困境」

囚徒困境不僅僅是一個謎題。我們社會中發生的許多問題，都可以用這個數學模型來解釋。

1. 價格競爭（削價戰）

兩家競爭企業以1000元的價格銷售類似商品。如果雙方都維持1000元（合作），雙方都能獲得高利潤。然而，敵不過「只要比對方賣得稍微便宜一點（背叛），就能獨佔客源」的誘惑，雙方開始了削價戰。結果商品價格跌至500元，雙方都無利可圖而陷入困境（雙方背叛）。

2. 環境問題與溫室氣體

世界各國承諾「要減少二氧化碳排放（合作）」。這是對地球整體的最佳解答。但是，只要自己的國家「無視排放限制讓工廠運作（背叛）」，就能讓自己的經濟單獨快速成長。反之，如果其他國家背叛，而只有自己國家遵守規則，就會在經濟上蒙受巨大損失。結果，每個國家都因為害怕被別人搶佔先機而選擇背叛，地球環境因此遭到破壞。

3. 體育界的禁藥問題

理想情況是所有選手都不使用禁藥（合作）。但是，出於「對手可能在使用禁藥」的疑神疑鬼，或是「只要自己用藥就能贏」的誘惑，選手就會選擇使用禁藥（背叛）。結果，所有人都陷入了犧牲健康、依賴藥物競賽的最壞狀況。

5. 有解決方案嗎？「以牙還牙策略」

在單次交易中，「背叛」永遠是理性的選擇。但是，如果這變成「和同一個對手反覆進行的遊戲（重複的囚徒困境）」，情況就會有戲劇性的改變。

1980年代，政治學家羅伯特·阿克塞爾羅德（Robert Axelrod）舉辦了一場讓程式化各種策略的電腦互相對戰的錦標賽。在來自世界各地學者的複雜策略中，例如「永遠背叛」、「隨機背叛」、「原諒對方」等，以壓倒性成績獲勝的，是最簡單的**「以牙還牙策略（Tit for Tat）」**。

以牙還牙策略的規則只有這些：

第一回合必定「合作」。
從第二回合開始，完全模仿「對方上一回合的行動」。
- 如果對方上一回合合作，這次就合作。
- 如果對方上一回合背叛，這次就背叛來報復。

這個策略之所以強大，是因為它具備了四個特徵：「絕對不主動背叛（善良）」、「一旦被背叛就立刻懲罰（嚴厲）」、「如果對方改變態度就立刻原諒（寬容）」、「結構簡單容易傳達給對方（明瞭）」。

在人際關係或國際社會中也是如此，只要以長期的關係為前提，透過共享如「以牙還牙策略」般**「基本合作，但對背叛給予懲罰」**的規則，就能克服囚徒困境，建立合作關係。

6. 總結：數學教導我們的「信任」價值

囚徒困境在數學上證明了，「人類自私的理性」有時候會將整個社會推入不幸的深淵。「只希望自己獲利」或是「不想被別人佔便宜」的個人理性，最終會招致掐住自己脖子的結果（納許均衡）。

但同時，賽局理論也教導我們，只要具備「關係會長期持續」這個條件，「互相信任並合作」才是最終能將自身利益最大化的最理性策略。

下次當你在猶豫「要不要為了自己稍微作點弊」的時候，請回想一下這個囚徒困境的收益表。因為追求眼前利益的「理性背叛」，從長期來看或許正是最不理性的選擇。