コラッツ予想

Tue, 15 Jul 2025 18:03:03 +0900

“任何數字最後都會變成 1” 這是真的嗎？── 試玩角谷猜想

你好！我是 kenji。

突然問一下，如果你聽到 “無論什麼數字最後都會變成 1 的規則”，是不是覺得有點不可思議？

比如說 19，或者 87，甚至 1000000 也好。只要按照適當的規則改變數字，不知為何最後都會收斂到 “1”。

這種像夢一樣的故事，就是 ** 角谷猜想（Collatz Conjecture） **。

到底什麼是角谷猜想？

首先來介紹規則。

起點：選擇任意 ** 正整數 **
操作：
- 如果是偶數 → 就減半（n → n / 2）
- 如果是奇數 → 就乘以 3 再加 1（n → 3n + 1）

如果一直重複這樣做，這就是一個 ** 任何數字最終都會到達 1 ** 的猜想。

例如，從 6 開始：

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

乖乖變成 “1” 了。歡迎回來！

用程式碼試試看：用 Python 跑角谷猜想

說到這個，這時候用程式碼測試最快！讓我們用 Python 來輸出 “角谷數列” 吧。

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def collatz(n):
 steps = [n]
 while n != 1:
 if n % 2 == 0:
 n = n // 2
 else:
 n = 3 * n + 1
 steps.append(n)
 return steps

# 範例：從 19 開始
print(collatz(19))

執行結果：

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

完美地到達了 1。雖然繞了很大的遠路，但最後還是順利達陣！

順帶一提，即使從 29 開始，也會以同樣的方式到達 1。

1

print(collatz(29))

執行結果

1
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8


[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

居然花了 111 個步驟！

而且，中途還有膨脹到 9000 以上的場面。這是個瘋狂繞遠路之後才達陣的模式呢。

所以，這到底哪裡厲害？

這個猜想厲害的地方在於，

** 雖然還沒被證明，但不管用什麼數字似乎都會變成 1 **

就是這點。

咦？那 1 兆，或者 1 京呢…？

想到這裡的人，很敏銳。實際上，已經用電腦確認到大約 “2 的 68 次方”， ** 全部都到達了 1 **。難以置信…。

但是，** 還沒有在理論上被證明 “全部都會這樣” **。這就是在數學界被稱為 “未解問題” 的東西。

Collatz 先生是誰？

那麼，讀到這裡你一定會想 “說到底 Collatz 是誰？” 吧。我來好好介紹一下！

姓名： ** 洛塔爾·科拉茨 (Lothar Collatz) **
國籍：德國
生卒年：1910年〜1990年
頭銜：數學家（活躍於泛函分析和數論領域）

他在 1937 年提出了這個猜想，之後的 80 多年來， ** 誰也沒能證明，也無法反證 **。

順帶一提，這個問題雖然很簡單，但卻深奧到就連保羅·艾狄胥（超級有名的數學家）都這麼說。

“數學還沒有成熟到可以處理角谷猜想”

也就是說，人類的數學還沒追上這個謎團的說法…。

不需要 “艱澀的數學公式”

角谷猜想的優點是， ** 任何人都可以玩 **。

只要有紙和筆就能算。用 Python 寫程式碼的話，可以自動測試。即便如此， ** 最頂尖的數學家們卻在認真挑戰它 **。

總覺得，是不是很令人興奮？

附錄：一口氣測試的程式碼

我也把能一次測試各種數字的程式碼貼上來。

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2
3


for n in range(1, 21):
 steps = collatz(n)
 print(f"{n}: {steps}（步驟數: {len(steps)-1}）")

這能一口氣印出 “1～20” 的角谷數列。

結論：這個世界，果然不可思議

這就是角谷猜想。

明明超級簡單
卻誰也無法證明
在數學界是個大問題

就是這樣一個像謎團綜合體般的存在。

因為即使是程式設計初學者也能嘗試，請務必玩玩看喔～！

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