關於樹狀結構與圖結構的搜尋
前言
本文將針對在電腦科學中扮演非常重要角色的資料結構 樹狀結構 （Tree）以及 圖結構 （Graph），從其基本概念到搜尋演算法進行詳細的解說。
在資料結構與演算法的領域中，這些是無法避開的主題。特別是 深度優先搜尋 （DFS）、 廣度優先搜尋 （BFS），以及用於解決最短路徑問題的 Dijkstra 演算法 （Dijkstra’s Algorithm），在程式設計競賽或實務中也經常出現。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
1. 樹狀結構（Tree）的基礎
樹狀結構是適合用來表達具有階層關係的資料的資料結構。在檔案系統、組織圖、HTML 的 DOM 樹等各種場景中被廣泛使用。
樹狀結構由以下元素構成。
- 節點 （Node）: 保存資料的元素
- 邊 （Edge）: 連結節點之間的線
- 根節點 （Root Node）: 位於樹最上方的節點。是不具有父節點的節點。
- 葉節點 （Leaf Node）: 不具有子節點的節點。
graph TD
"Root" --> "NodeA"
"Root" --> "NodeB"
"NodeA" --> "Leaf1"
"NodeA" --> "Leaf2"
"NodeB" --> "Leaf3"
作為樹狀結構中搜尋的基礎，有深度優先搜尋（DFS）與廣度優先搜尋（BFS）。
2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
樹狀結構中 DFS 的 Python 實作範例
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
|
2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
|
2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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2. 深度優先搜尋（DFS: Depth-First Search）
深度優先搜尋是從某個節點出發，盡可能深地前進，當到達死胡同時，則返回前一個節點繼續進行搜尋的演算法。藉由使用遞迴函式，可以非常簡單地進行實作。有時也會利用稱為堆疊（Stack）的資料結構。
樹狀結構中 DFS 的 Python 實作範例
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| class TreeNode:
def __init__(self, value):
self.value = value
self.children = []
def dfs_tree(node):
if node is None:
return
print(f"Visiting {node.value}")
for child in node.children:
dfs_tree(child)
# 構建樹狀結構
root = TreeNode("Root")
node_a = TreeNode("A")
node_b = TreeNode("B")
root.children.extend([node_a, node_b])
node_a.children.extend([TreeNode("C"), TreeNode("D")])
print("DFS Traversal:")
dfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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| from collections import deque
def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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| from collections import deque
def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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| from collections import deque
def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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def bfs_tree(root):
if root is None:
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queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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def bfs_tree(root):
if root is None:
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queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
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| from collections import deque
def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
|
3. 廣度優先搜尋（BFS: Breadth-First Search）
廣度優先搜尋是從根節點出發，將相同深度的節點全部搜尋完畢後，再前進至下一個深度的節點的演算法。它利用稱為佇列（Queue）的資料結構。在求取最短路徑時等情況下經常被使用。
樹狀結構中 BFS 的 Python 實作範例
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| from collections import deque
def bfs_tree(root):
if root is None:
return
queue = deque([root])
while queue:
current = queue.popleft()
print(f"Visiting {current.value}")
for child in current.children:
queue.append(child)
print("BFS Traversal:")
bfs_tree(root)
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4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
4. 圖結構（Graph）的基礎
圖結構是由節點（頂點: Vertex）與邊（邊: Edge）的集合所構成。樹狀結構也是圖的一種（不具有環的無向圖，或有向圖），但一般的圖可能會具有環（Cycle），也有可能具有多個父節點。
圖有以下種類。
- 無向圖 （Undirected Graph）: 邊沒有方向的圖
- 有向圖 （Directed Graph）: 邊具有方向的圖
- 權重圖 （Weighted Graph）: 邊設定有權重（成本）的圖
graph LR
"A" -- "5" --> "B"
"A" -- "2" --> "C"
"B" -- "1" --> "D"
"C" -- "8" --> "D"
"C" -- "4" --> "E"
"D" -- "3" --> "E"
5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
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shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
Dijkstra 演算法的 Python 實作範例
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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5. Dijkstra 演算法（Dijkstra’s Algorithm）
Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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| import heapq
def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
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continue
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distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
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heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
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shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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def dijkstra(graph, start):
# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
}
start_node = 'A'
shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
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for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
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shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
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Dijkstra 演算法是在權重圖中，求取從某個起點到其他所有頂點之最短路徑的演算法。不過，邊的權重必須為非負數（0 以上）。
藉由使用優先佇列（Priority Queue），可以有效率地進行搜尋。以數學公式來表示的話，若 $ d(v) $ 為從起點到頂點 $ v $ 的最短距離，則對於邊 $ (u, v) $ 的權重 $ w(u, v) $ ，會更新為 $ d(v) = \min(d(v), d(u) + w(u, v)) $ 。作為數學公式會滿足 $ d(v) \le d(u) + w(u, v) $ 的性質。在這裡，我們選擇 $ \text{成本} $ 為最小的路徑。
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# 將最短距離初始化為無限大
distances = {node: float('inf') for node in graph}
distances[start] = 0
priority_queue = [(0, start)]
while priority_queue:
current_distance, current_node = heapq.heappop(priority_queue)
if current_distance > distances[current_node]:
continue
for neighbor, weight in graph[current_node].items():
distance = current_distance + weight
if distance < distances[neighbor]:
distances[neighbor] = distance
heapq.heappush(priority_queue, (distance, neighbor))
return distances
# 定義圖（相鄰串列形式）
graph = {
'A': {'B': 5, 'C': 2},
'B': {'D': 1},
'C': {'D': 8, 'E': 4},
'D': {'E': 3},
'E': {}
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shortest_paths = dijkstra(graph, start_node)
print(f"Shortest paths from {start_node}: {shortest_paths}")
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