1. 如同魔法般的定理：1 = 1 + 1 ?
假設在你眼前有一顆純金的球。 我們用刀子將這顆球切分成幾個部分。接著，把這些部分像拼圖一樣重新組合起來。在這過程中，完全不會將零件拉長、彎曲，也不會加入新的黃金。就只是單純地移動並拼合起來。
然而，當你看到完成的拼圖時，竟然發現**「變成了兩顆與原本大小完全相同的純金球」**。
你一定會想：「怎麼可能！這違反了質量守恆定律，根本是鍊金術士的妄想！」 在現實的物理世界中這絕對不可能發生。但是，在純數學（幾何學、集合論）的世界裡，這卻是被證明在邏輯上 100% 正確的定理。
這就是 1924 年由斯蒂芬·巴拿赫（Stefan Banach）和阿爾弗雷德·塔斯基（Alfred Tarski）兩位數學家所證明的**「巴拿赫-塔斯基悖論」（Banach-Tarski paradox）**。
2. 準確理解悖論的主張
如果用數學上精確的語言來表達巴拿赫與塔斯基所證明的定理，會是如下的樣子：
巴拿赫-塔斯基定理 在三維空間中的任意實心球體 $S$，都可以被分割成有限個碎片。然後，藉由（僅限於旋轉和平移）重新排列這些碎片，可以構造出兩個與原本球體 $S$ 半徑完全相同的實心球體。
更令人驚訝的是，應用這個定理還可以得出以下的結論：
- 將一顆豌豆分割成有限個部分，然後重新組合，就可以造出一顆與太陽完全一樣大的球體。（別名：豌豆與太陽的悖論）
為什麼這種宛如魔法般的事情在數學上是被允許的呢？ 這個秘密隱藏在**「無限」與「選擇公理」**這兩個關鍵字之中。
3. 「無限」的奇妙性質
理解這個悖論的第一步，是認識「無限集合」的奇妙性質。
在我們平時處理的「有限」世界裡，整體一定大於部分。 例如，從 1 到 10 的數字（10 個）中，把偶數（5 個）取出來，數量就會減少一半。
然而，在「無限」的世界裡，這個常識是不適用的。 所有的「自然數」（1, 2, 3, 4, …）和所有的「偶數」（2, 4, 6, 8, …），哪一個比較多呢？ 直覺上，因為偶數只有自然數的一半，感覺自然數應該比較多。 但是，請嘗試如下地建立配對：
- 1 $\rightarrow$ 2
- 2 $\rightarrow$ 4
- 3 $\rightarrow$ 6
- $n \rightarrow 2n$
像這樣，對於每一個自然數，我們都一定能將其剛好乘以 2 並對應到一個偶數（一一對應）。沒有任何一個數字會多出來。 也就是說，在數學上，「自然數的數量（無限）」和「偶數的數量（無限）」的大小是完全相同的！
明明是從整體（自然數）中取出一半（偶數），但其大小卻和原本一樣沒有改變。在無限集合中，**「部分可以等於整體」**的事情是有可能發生的。 巴拿赫-塔斯基定理可以說就是將這種「無限的魔法」，應用到三維空間中的「點」集合上的終極形式。
4. 空間中的點被切割成「不可測」的狀態
當我們用菜刀切開現實中的物體（黃金或蘋果）時，切出來的碎片必定具有「體積」。 但是，數學中的球體，是一個不具備實體體積的**「無限個點的集合」**。
巴拿赫與塔斯基用了一種非常特殊且複雜的方法，將這無限個點進行了分組（分割）。 這種分法實在太過複雜且極度分散，導致它們變成了一種「無法測量體積的狀態（不可測集合）」。
一旦每個碎片都變成了「沒有體積（無法測量）」、模糊不清的點的集合，就可以擺脫「所有碎片加起來必須等於原本體積」這種物理法則（測度的可加性）的束縛。
然後，只要將這些模糊不清的點碎片旋轉並巧妙地組合起來，透過「無限的魔法」，就能完成兩顆充滿了與原本球體完全一樣的點的球。 實際上，已經被證明只要將原本的球分割成短短的 5個碎片，就可以實現這種「從一顆球變出兩顆球」的操作。
5. 萬惡之源：什麼是「選擇公理」？
那麼，為什麼「複雜到無法測量體積的分割」在數學上是可能的呢？ 這是因為我們承認了作為現代數學基礎的**「選擇公理」（Axiom of Choice）**這條規則。
簡單來說，選擇公理是這樣的一條規則：
選擇公理的概念 當有許多的箱子，每個箱子裡都裝有物品時，**「可以從每個箱子中各挑選出一樣物品，來組成一個新的集合」**的規則。
如果箱子的數量是有限個，任何人都能輕易做到。 但是，如果箱子的數量是「無限個」時，人類是無法完成無限次的「一個一個挑選」操作的。即使如此，依然承認「挑選出來組成的集合是存在的」，這就是選擇公理。
這條公理在建構現代數學時非常方便且不可或缺。大多數數學家也都以「這理所當然嘛」的態度接受了這條規則。
但是，一旦承認了這個選擇公理，就等同於承認了前面提到的「分散到無法測量體積、模糊不清的點的集合（不可測集合）」的存在。結果就是，「一顆球變成兩顆球」的巴拿赫-塔斯基定理，便作為邏輯上的必然結果被推導了出來。
6. 總結：數學描繪出的「超越直覺的世界」
巴拿赫-塔斯基悖論並不是那種「邏輯上存在矛盾」的悖論。它是邏輯 100% 正確，但推導出來的結論卻與人類的直覺和物理法則產生劇烈衝突意義上的悖論。
當這個定理被發表時，一些數學家主張：「如果會得出如此反常識的結論，選擇公理肯定是錯的！」 但到了現在，大多數數學家已經接受了選擇公理，也將巴拿赫-塔斯基定理視為「三維空間和無限集合所擁有的一種奇異但美麗的性質」而接受了它。
因為我們居住的物理世界是由被稱為原子的「具有大小的粒子（有限）」所構成的，所以不可能把豌豆變成太陽那麼大。 然而，在人類頭腦創造出來的「數學」畫布上，點的尺寸是零，因此允許無限的操作。
巴拿赫-塔斯基悖論告訴了我們，「無限」這個概念能夠多麼輕易地跨越人類樸素的直覺，可以說它是現代數學最偉大的傑作之一。