「任何數字最後都會變成 1」是真的嗎？──來玩玩考拉茲猜想

大家好！我是 kenji。

突然這麼問，但當你聽到「任何數字最終都會變成 1 的規則」時， 不覺得有點不可思議嗎？

比如說，19、87，甚至是 1000000。 只要按照特定的規則去計算數字，不知為何最後都會收斂為「1」。

這樣如夢似幻的故事，就是 考拉茲猜想（Collatz Conjecture） 。

話說回來，考拉茲猜想是什麼？

首先介紹一下規則。

• 起點：選擇任意一個 正整數

• 操作：

  • 如果是偶數 → 除以 2（n → n / 2）
  • 如果是奇數 → 乘以 3 再加 1（n → 3n + 1）

只要一直重複這些步驟， 任何數字最終都會抵達 1 ，這就是這個猜想的內容。

舉例來說，從 6 開始的話：

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

確實變成「1」了。歡迎回來！

用程式碼試試看：用 Python 實作考拉茲猜想

那麼，這種時候用程式碼來測試是最快的！ 我們用 Python 來輸出「考拉茲數列」看看吧。

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def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# 例：從 19 開始
print(collatz(19))

執行結果：

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

完美地抵達了 1。 雖然繞了不少遠路，但最後還是順利到達終點！

順帶一提，從 27 開始，也同樣會抵達 1。

1

print(collatz(27))

執行結果：

1
2
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6
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8

[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

竟然要花費 111 個步驟！

而且，途中甚至有膨脹到 9000 以上的情況。 這是一個繞了超級大遠路才抵達終點的模式呢。

所以，這到底哪裡厲害了？

要說這個猜想哪裡厲害的話，

明明還沒有被證明，但不管用什麼數字似乎都會變成 1

就是這一點。

咦？那麼，1兆、或者是1京呢……？

有這個想法的人，很敏銳。 實際上，使用電腦已經驗證到大約「2的68次方」左右的數字， 全部都抵達了 1 。真是難以置信……。

但是， 「全部都會變成 1」這件事，在理論上並沒有被證明出來 。 這就是數學世界中所謂的「未解決問題」。

為什麼會變成「1」？ 從機率論的方法來看（數學背景）

任何數字最終都會變成 1 聽起來就像魔法一樣，但從 機率的觀點 來看，存在著「嗯，好像確實會變成那樣呢」的合理原因。

對奇數 $n$ 進行 3n + 1，答案必定會是 偶數 。 因此，在下一個步驟一定會被 2 除，實際上就相當於 $\frac{3n + 1}{2} \approx 1.5n$。

然後，這個數字再次成為偶數的機率是 $\frac{1}{2}$。 如果它是偶數，就會再被 2 除，變成 $0.75n$，比原來的數字還要小。

雖然在數學上並不嚴謹，但如果取從一個奇數跳到下一個奇數時的「倍率」幾何平均值，已知大約會是 ** $\frac{3}{4}$ 倍** （啟發式機率模型）。 換句話說， 因為數值平均來看有縮小的趨勢 ，所以最終就會像被吸入一樣掉到 1。

如果稍微改變規則會怎樣？（與其他猜想的比較）

你會想說「那如果不乘 3 而是乘 5 呢？」，對吧。 實際上，這被稱為 $5n + 1$ 問題 ，而在這種情況下，並不是所有的數字都會收斂為 1。

在 $5n + 1$ 的情況下，已經確認存在多個不同的循環（loop），並且也有人指出可能存在無限變大的數字（發散）。 另外，在 $3n - 1$ 問題 中，除了「$1 \to 2 \to 1$」的循環之外，還存在如「$5 \to 14 \to 7 \to 20 \to 10 \to 5$」等其他的循環。

由此可知，考拉茲猜想中「全部都會收斂為 1（$4 \to 2 \to 1$ 的循環）」的這個性質，是建立在多麼絕妙的平衡之上。

人類的到達點①：電腦暴力破解的極限

現在，世界各地的數學家和電腦科學愛好者們，正利用分散式運算（集結全世界個人電腦運算能力的專案）和 GPU，不斷地計算著考拉茲猜想。

截至 2020 年，電腦已經確認在 $2^{68}$（約 29 京 5000 兆） 以下的所有初始值中，考拉茲猜想都是正確的（最終都會變成 1）。

然而，在數學的世界裡，我們不能因為「已經確認到了 29 京，所以全部都應該是正確的」。因為相對於無限延伸的數字汪洋來說，即便是 $2^{68}$ 也只不過是「最初的一滴水」而已。

人類的到達點②：不可判定性與陶哲軒的突破

對於「為什麼沒有人能證明出來呢？」的疑問，英國天才數學家約翰·康威（John Conway）在 1972 年證明了，將考拉茲猜想稍微擴展的問題是 「不可判定的（Turing complete）」 。 這是一個關乎電腦科學根基的驚人事實：根據規則，可能「從原理上就不存在能判定是否會抵達 1 的演算法」。考拉茲猜想本身，甚至有可能是現代數學框架下無法證明的命題。

然而在 2019 年，終於出現了重大的突破。 當代最頂尖的天才數學家之一 **陶哲軒（Terence Tao） ** ，運用偏微分方程和機率論的方法證明了：「（雖然無法嚴謹地說涵蓋全部）在幾乎所有的初始值中，考拉茲數列最終都會抵達比原數小得多的數值 」。

雖然這不是「全部都會變成 1」的完整證明，但作為 人類最接近考拉茲猜想真理的歷史性到達點 ，它轟動了全世界的數學界。

考拉茲先生是誰？

讀到這裡，你一定會想「話說回來，考拉茲是誰啊？」。 我來好好介紹一下！

• 姓名： 洛塔爾·考拉茲（Lothar Collatz）
• 國籍：德國
• 生卒年：1910 年～1990 年
• 頭銜：數學家（活躍於泛函分析與數論領域）

他在 1937 年提出了這個猜想， 之後的 80 多年來， 沒有任何人能夠證明或反證它 。

順帶一提，這個問題雖然非常簡單卻深奧無比， 聽說連保羅·艾狄胥（Paul Erdős，超知名數學家）都曾這麼說過。

「對於解決考拉茲猜想，數學還未發展成熟。」

也就是說，有一種說法是人類的數學還無法追上這個謎團……。

不需要「艱澀的數學公式」

考拉茲猜想的優點在於， 誰都可以玩 。

只要有紙和筆就能進行。 如果用 Python 寫程式，還能自動測試。 儘管如此， 最頂尖的數學家們卻正認真地挑戰它 。

不覺得有點令人興奮嗎？

附錄：一口氣測試的程式碼

我也附上可以一口氣測試多個數字的程式碼。

1
2
3

for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps}（步驟數: {len(steps)-1}）")

這會一口氣輸出「1～20」的考拉茲數列。

結論：這個世界，果然很不可思議

所以說，這就是考拉茲猜想。

• 雖然非常簡單
• 卻沒有人能證明
• 在數學界是個大難題

就是這樣一個宛如不可思議集合體般的存在。

即使是程式設計初學者也能嘗試，請務必玩玩看喔～！

推薦連結（給有興趣的人）

• Wikipedia：考拉茲猜想
• 陶哲軒 論文（英文）
• 試著製作 Python 的視覺化版本也很有趣喔！（如果有需求的話我會製作的）

如果想知道更多這種「不可思議系數學×程式設計」主題的人， 請輕鬆地提出「我想看更多」的要求。 之後我也會介紹黎曼猜想、質數的故事等等各種內容喔！

📮結束！