1. 期望值为“无限大”的梦幻赌博
当你在赌场里漫步时，发牌员邀请你参加一个全新的抛硬币游戏。
【游戏规则】
- 支付参与费开始游戏。
- 抛掷硬币。如果出现正面，奖金翻倍，并且可以再抛一次。
- 一旦出现反面，游戏结束。你可以获得截至那时累积的奖金。
初始奖金从2美元开始。
- 如果第1次抛出反面，获得2美元并结束。
- 如果第1次正面、第2次反面，获得4美元并结束。
- 如果第1次正面、第2次正面、第3次反面，获得8美元并结束。
- …以此类推，只要持续出现正面，奖金就会以16美元、32美元、64美元…成倍增加。
那么，现在问你一个问题。 如果这个游戏的参与费是“1万美元（约150万日元）”，你愿意参加吗？
可能大多数人都会回答“不参加”。因为有一半的概率在第一次抛掷时就会出现反面，只能拿到区区2美元，从而亏损惨重。
然而，如果严格按照数学中的概率论（期望值）进行计算，会得出一个惊人的事实。在数学上，无论参与费是1万美元还是1亿美元，哪怕借遍倾家荡产，你也应该参与这个游戏。
这到底是怎么回事呢？
2. 让我们来计算一下期望值
在数学中，用来判断一场赌博“划算与否”的指标叫做**“期望值”。 期望值表示“如果你把这个游戏重复无数次，平均每次能赚多少钱”的数值。计算公式是将所有可能情况下的“（获得的奖金）×（该情况发生的概率）”相加**。
让我们来计算一下这次游戏的期望值。
第1次出现反面的概率： $\frac{1}{2}$ 奖金是 $2$ 美元。 对期望值的贡献 ＝ $2 \times \frac{1}{2} = 1$ 美元
第2次出现反面的概率： 因为抛出了正面、反面，所以是 $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ 奖金是 $4$ 美元。 对期望值的贡献 ＝ $4 \times \frac{1}{4} = 1$ 美元
第3次出现反面的概率： 因为抛出了正面、正面、反面，所以是 $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ 奖金是 $8$ 美元。 对期望值的贡献 ＝ $8 \times \frac{1}{8} = 1$ 美元
第$n$次出现反面的概率： $(\frac{1}{2})^n$ 奖金是 $2^n$ 美元。 对期望值的贡献 ＝ $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ 美元
也就是说，无论游戏在第几次结束，每种情况对期望值的贡献始终是“1美元”。 由于游戏有可能无限地进行下去，将这些期望值全部相加，结果如下：
$$ \text{总期望值} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{（无限大）} $$数学计算给出的答案是**“这个游戏的期望值是无限大”**。 既然期望值是无限大，那么从理论上讲，无论参与费多高，它都绝对是一场“划算的赌博”。
这就是1713年由尼古拉斯·伯努利提出的**“圣彼得堡悖论”**。 正确的数学计算结果（价值无限大）与人类的现实感觉（只愿意付几美元）之间，产生了剧烈的矛盾。
3. 解决数学与人类之间偏差的“效用”发现
解决这个悖论的人，是尼古拉斯的堂弟——天才数学家丹尼尔·伯努利。（因为他在圣彼得堡的科学院发表了这篇论文，所以得名。）
丹尼尔深入探讨了人类的心理。 他认为，“人类并不是根据金钱的‘绝对金额’，而是根据金钱带来的‘满足感（效用）’来判断事物的”。
这被称为**“边际效用递减法则”**。
金钱的价值会随着持有量的增加而降低
例如，当你在沙漠中口渴难耐时，第1杯水对你来说有“即使花1万日元也想喝”的巨大价值（满足感）。然而，随着你喝下第2杯、第3杯，每杯水的价值会不断下降。到了第10杯，你甚至会觉得“白给都不要”。
金钱也是如此。
- 对于一个存款为零的人来说，得到“100万日元”拥有拯救生命的巨大价值。
- 但对于拥有百亿资产的埃隆·马斯克来说，得到“100万日元”带来的价值（满足感）大概就和掉在路边的1日元硬币差不多。
也就是说，即使奖金以 2美元 $\rightarrow$ 4美元 $\rightarrow$ 8美元 $\rightarrow$ 16美元… 无限增加，人类感受到的“喜悦（效用）”并不会与金额成正比地无限增加。
4. 使用“效用”重新计算期望值
丹尼尔·伯努利假设，“人类对金钱感受到的价值（效用），与金额的对数（$\log$）成正比”。
如果金额为 $x$，我们可以用对数函数来表示人类感受到的价值（效用） $u(x)$（这里我们考虑一个以2为底数的简单模型）。
- $2$ 美元奖金的效用： $\log_2(2) = 1$
- $4$ 美元奖金的效用： $\log_2(4) = 2$
- $8$ 美元奖金的效用： $\log_2(8) = 3$
- $2^n$ 美元奖金的效用： $\log_2(2^n) = n$
虽然金额是成倍增加的，但人类的“喜悦”却只能以 1, 2, 3… 的速度缓慢增加。 利用这种“效用”，让我们再次计算一下期望值（期望效用）：
$$ \text{期望效用} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$计算这个无穷级数的和，结果并不是“无限大”，而是收敛于“2”。 通过逆向计算效用为“2”所对应的金额，得出 $2^2 = 4$ 美元。
也就是说，如果将人类的心理（效用）纳入计算，就能得出一个极其符合常识与现实的答案：“在人类的感觉中，这个游戏的价值大约只有‘4美元’左右”。 正因如此，我们才不愿意花1万美元去参加这个游戏。
5. 总结：开启经济学大门的悖论
圣彼得堡悖论从数学上证明了“金额”这一客观数字与“人类满足感”这一主观价值并不一致，是一个具有划时代意义的悖论。
丹尼尔·伯努利提出的“效用（Utility）”概念，在经历了200年的时间后，成为了现代微观经济学和金融工程（如投资组合理论等）最重要的一项基础。 我们购买保险、进行分散投资等行为，都可以用“边际效用递减（遭受巨额损失的痛苦，远大于获得巨额利润的喜悦）”这种人类心理机制来解释。
这原本只是一道关于赌博的计算题，却最终解读了人类的内心，成为了催生“经济学”这门庞大科学的契机。