“任何数字最后都会变成1”是真的吗？——玩转考拉兹猜想

大家好！我是kenji。

很突然，但当你听到“无论什么数字最终都会变成1的规则”时，是不是觉得有点不可思议？

例如19，或者87，甚至1000000也是如此。只要按照特定的规则去处理数字，不知为何最后都会收敛于“1”。

像做梦一样的故事，就是 考拉兹猜想（Collatz Conjecture） 。

首先，什么是考拉兹猜想？

首先介绍一下规则。

起点：选择任意一个 正整数
操作：
- 如果是偶数 → 则减半（n → n / 2）
- 如果是奇数 → 则乘以3再加1（n → 3n + 1）

一直重复这个过程， 任何数字最终都会到达1 ，这就是这个猜想的内容。

例如，从 6 开始的话：

1
6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

确实变成了“1”。欢迎回来！

用代码试试看：Python中的考拉兹

好了，这种时候用代码来测试是最快的！让我们用Python输出一下“考拉兹数列”。

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12
def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# 示例：从19开始
print(collatz(19))

运行结果：

1
[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

完美地到达了1。虽然绕了不少弯路，但最后还是稳稳地冲过了终点！

顺便说一下，即使从 27 开始，也会以同样的方式到达1。

1
print(collatz(27))

运行结果：

1
2
3
4
5
6
7
8
[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

竟然花去了111个步骤！

而且，中间还有膨胀到9000以上的阶段。真是绕了一个超级大的圈子才到达终点的情况啊。

那么，这到底有什么了不起的呢？

这个猜想之所以令人惊叹，是因为：

虽然还没有被证明，但似乎无论用什么数字，最后都会变成1

就是这一点。

诶？那1万亿、1京（兆的上一级）呢……？

能想到这点的人很敏锐。实际上，人们已经使用计算机验证到了大约“2的68次方”， 全部都到达了1 。真是难以置信……

但是， “全部都会如此”并没有在理论上被证明 。这就是数学世界中所说的“未解决问题”。

为什么会变成“1”？来自概率论的方法（数学背景）

任何数字最终都会变成1，这听起来像魔法一样，但从 概率的角度 来看，确实存在“嗯，好像是会那样”的合理理由。

对奇数 $n$ 执行 3n + 1，结果一定会是偶数。因此，在下一个步骤中，它必定会被除以2，实际上就变成了 $\frac{3n + 1}{2} \approx 1.5n$。

然后，这个数字再次成为偶数的概率是 $\frac{1}{2}$。如果是偶数，它会再次被除以2，变成 $0.75n$，比原来的数还要小。

虽然在数学上并不严谨，但从奇数跳到下一个奇数时，其“倍率”的几何平均已知 大约是 $\frac{3}{4}$ 倍 （启发式概率模型）。也就是说， 平均而言，数值呈现出缩小的趋势 ，因此最终会被吸入并落到1。

稍微改变一下规则会怎样？（与其他猜想的比较）

“那要是改成乘以5而不是乘以3呢？”大家可能会这么想。实际上，这被称为 $5n + 1$ 问题 ，在这种情况下，并不是所有的数都会收敛于1。

在 $5n + 1$ 的情况下，已经确认存在多个不同的循环（loop），并且也有人指出可能存在无限变大（发散）的数。此外，在 $3n - 1$ 问题 的情况下，除了“$1 \to 2 \to 1$”的循环之外，还存在像“$5 \to 14 \to 7 \to 20 \to 10 \to 5$”这样的其他循环。

由此可见，考拉兹猜想中“全部收敛于1（即 $4 \to 2 \to 1$ 的循环）”的性质，是建立在多么精妙的平衡之上的。

人类的到达点①：计算机穷举的极限

目前，世界各地的数学家和计算机科学爱好者们，正在利用分布式计算（汇集全球个人电脑计算能力的项目）和GPU，不断地计算考拉兹猜想。

截至2020年，计算机已经确认，对于高达 $2^{68}$（约29京5000兆） 以下的所有初始值，考拉兹猜想都是正确的（最终变为1）。

然而，在数学的世界里，不能说“因为已经确认到29京，所以全部都是正确的”。因为面对无限延伸的数字之海，$2^{68}$ 也只不过是“最初的一滴水”而已。

人类的到达点②：不可判定性与陶哲轩的突破

面对“为什么谁也无法证明？”的疑问，英国天才数学家约翰·康威（John Conway）于1972年证明了，稍微扩展一下考拉兹猜想的问题是 “不可判定的（Turing complete）” 。这是一个涉及计算机科学根本的恐怖事实：根据某些规则，“原理上不存在能够判定是否会到达1的算法”。考拉兹猜想本身，甚至有可能是现代数学框架内无法证明的命题。

然而，在2019年，终于出现了重大突破。现代最顶尖的天才数学家之一 **陶哲轩（Terence Tao） ** ，运用偏微分方程和概率论的方法，证明了“（虽然不能严格说是全部）对于几乎所有的初始值，考拉兹数列最终都会到达一个比原数小得多的值 ”。

虽然这不是“全部都会变成1”的完整证明，但作为 人类最接近考拉兹猜想真理的历史性到达点 ，在世界数学界引起了轰动。

考拉兹先生是谁？

读到这里，你可能会想“所以考拉兹到底是谁？”。让我来好好介绍一下！

姓名： 洛塔尔·考拉兹（Lothar Collatz）
国籍：德国
生卒年：1910年〜1990年
头衔：数学家（活跃于泛函分析和数论领域）

他在1937年提出了这个猜想，在那之后的80多年里， 谁也没能证明，也没能反证 。

顺便说一句，这个问题虽然极其简单但却非常深奥，据说连保罗·埃尔德什（Paul Erdős，超级著名的数学家）都曾这样说过：

“数学还没有成熟到可以解决考拉兹猜想的地步。”

也就是说，人类的数学还没能追上这个谜团的假说……

不需要“复杂的公式”

考拉兹猜想的优点在于， 任何人都可以玩 。

只要有纸和笔就能算。用Python写段代码，就能自动测试。尽管如此， 最前沿的数学家们却在认真地挑战它 。

这难道不让人感到兴奋吗？

附赠：一次性测试的代码

我也附上了一次性测试各种数字的代码哦。

1
2
3
for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps}（步骤数: {len(steps)-1}）")

这可以一口气输出“1～20”的考拉兹数列。

结论：这个世界，果然不可思议

综上所述，这就是考拉兹猜想。

明明超级简单
却谁也无法证明
在数学界是个大难题

它就像是一个不可思议的集合体。

即使是编程初学者也能尝试，所以请大家务必玩玩看哦〜！

什么是考拉兹猜想？用Python验证任何数字最终都会变成1的数学未解之谜

“偶数减半，奇数乘3加1”不断重复最终必然是1？通俗讲解著名数学未解之谜“考拉兹猜想”的奇妙规则。此外将编写Python程序，实际模拟数列是否收敛于1。