“任何数字最终都会变成1”是真的吗？——玩转考拉兹猜想

大家好！我是kenji。

突然问一下，如果你听说“任何数字最终都会变成1的规则”，会不会觉得有些不可思议？

比如19，或者87，甚至1000000也是如此。按照特定的规则去处理数字，不知为何最后都会收敛到“1”。

像梦一样的故事，这就是 考拉兹猜想（Collatz Conjecture）。

考拉兹猜想究竟是什么？

首先介绍一下规则。

起点：选择任意一个 正整数
操作：
- 如果是偶数 → 减半（n → n / 2）
- 如果是奇数 → 乘以3再加1（n → 3n + 1）

一直重复这个过程，猜想认为 任何数字最终都会到达1。

比如，从 6 开始：

1
6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

确实变成了“1”。欢迎回来！

用代码试试看：用Python写考拉兹猜想

好了，这种时候写代码测试最快！让我们用Python输出一下“考拉兹数列”。

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12
def collatz(n):
    steps = [n]
    while n != 1:
        if n % 2 == 0:
            n = n // 2
        else:
            n = 3 * n + 1
        steps.append(n)
    return steps

# 例子：从19开始
print(collatz(19))

运行结果：

1
[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

完美到达了1。虽然绕了不少远路，但最后还是顺利冲过终点！

顺便说一下，即使从 27 开始，也同样会到达1。

1
print(collatz(27))

运行结果：

1
2
3
4
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6
7
8
[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

竟然花了111步！

而且，中途还有膨胀到9000以上的阶段。这真是绕了天大的远路才到达终点的模式啊。

那么，到底哪里厉害呢？

这个猜想的厉害之处在于，

虽然还没有被证明，但似乎不管用什么数字来算都会变成1

这一点。

诶？那1兆呢，1京呢……？

能想到这点的你很敏锐。实际上，用计算机已经验证到了“2的68次方”左右， 全部都到达了1。难以置信……。

但是，“全部都会这样”并没有在理论上被证明。这就是数学世界里的“未解决问题”。

考拉兹是谁？

读到这里，你肯定会想“考拉兹到底是谁？”吧。下面就好好介绍一下！

姓名：洛塔尔·考拉兹（Lothar Collatz）
国籍：德国
生卒年：1910年〜1990年
头衔：数学家（活跃于泛函分析和数论领域）

他在1937年提出了这个猜想，此后，在长达80多年的时间里，谁也没能证明，也没能推翻。

顺便一提，这个问题虽然如此简单，却又无比深奥，以至于连保罗·埃尔德什（超著名的数学家）都这样说过：

“数学还没有成熟到足以解决考拉兹猜想。”

也就是说，人类的数学水平可能还没赶上这个谜团……。

不需要“复杂的公式”

考拉兹猜想的美妙之处在于，任何人都能玩。

只要有纸和笔就能算。用Python写几行代码，就能自动测试。不仅如此，最顶尖的数学家们也在认真挑战它。

怎么样，是不是让人热血沸腾？

彩蛋：一次性测试的代码

这里也附上可以一次性测试多个数字的代码。

1
2
3
for n in range(1, 21):
    steps = collatz(n)
    print(f"{n}: {steps}（步数: {len(steps)-1}）")

这能一口气输出“1～20”的考拉兹数列。

结论：这个世界，果然很不可思议

这就是考拉兹猜想。

明明极其简单
却没人能证明
在数学界是个大难题

它就像是一个不可思议的集合体。

即使是编程初学者也能尝试，请务必玩玩看哦〜！