Экономика on kenji.blog

Санкт-Петербургский парадокс: сколько вы заплатите за игру с «бесконечным» математическим ожиданием?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Игра мечты с «бесконечным» математическим ожиданием

Представьте, что вы идете по казино, и дилер предлагает вам сыграть в новую игру с подбрасыванием монеты.

【Правила игры】

Вы платите вступительный взнос, чтобы начать игру.
Подбрасывается монета. Если выпадает орел, призовой фонд удваивается, и вы можете подбросить монету еще раз.
Игра заканчивается, как только выпадает решка. Вы получаете призовой фонд, накопленный к этому моменту.

Начальный призовой фонд составляет 2 доллара.

Если при первом броске выпадает решка, вы получаете 2 доллара и игра заканчивается.
Если при первом броске выпадает орел, а при втором — решка, вы получаете 4 доллара и игра заканчивается.
Если при первом и втором бросках выпадает орел, а при третьем — решка, вы получаете 8 долларов и игра заканчивается.
…и так далее: пока выпадает орел, призовой фонд удваивается: 16 долларов, 32 доллара, 64 доллара…

graph TD Start["Начало игры"] --> Toss1{"1-й бросок"} Toss1 -->|Решка (1/2)| End1["Конец: выигрыш 2$"] Toss1 -->|Орел (1/2)| Toss2{"2-й бросок"} Toss2 -->|Решка (1/2)| End2["Конец: выигрыш 4$"] Toss2 -->|Орел (1/2)| Toss3{"3-й бросок"} Toss3 -->|Решка (1/2)| End3["Конец: выигрыш 8$"] Toss3 -->|Орел (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Чем длиннее серия| Infinite["Приз удваивается до бесконечности!"]

А теперь вопрос к вам. Если бы вступительный взнос за эту игру составлял «10 000 долларов», вы бы согласились участвовать?

Вероятно, большинство людей ответят: «Нет, не соглашусь». Ведь с вероятностью 50% при первом же броске выпадет решка, вы получите всего 2 доллара и понесете огромные убытки.

Однако, если строго рассчитать математическое ожидание (теория вероятностей), обнаружится удивительный факт. Математически вам следует занять все возможные деньги и участвовать в этой игре, независимо от того, стоит ли вход 10 000 долларов или 100 миллионов.

Почему же так происходит?

2. Давайте посчитаем математическое ожидание

Математическим показателем, позволяющим судить о том, «выгодна или убыточна» азартная игра, является «математическое ожидание». Математическое ожидание — это число, которое показывает, «сколько в среднем вы будете выигрывать за одну игру, если повторите ее много раз». Формула расчета — это сумма произведений «возможного выигрыша» на «вероятность этого выигрыша».

Давайте рассчитаем математическое ожидание для нашей игры.

Вероятность того, что решка выпадет при первом броске: $\frac{1}{2}$ Призовой фонд: $2$ доллара. Вклад в ожидание = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при втором броске: выпадает орел, затем решка, поэтому $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Призовой фонд: $4$ доллара. Вклад в ожидание = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при третьем броске: выпадает орел, орел, решка, поэтому $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Призовой фонд: $8$ долларов. Вклад в ожидание = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при $n$-ном броске: $(\frac{1}{2})^n$ Призовой фонд: $2^n$ долларов. Вклад в ожидание = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ доллар

Иными словами, на каком бы шаге ни закончилась игра, математическое ожидание для этого исхода всегда будет равно «1 доллару». Поскольку игра может продолжаться до бесконечности, сумма всех этих математических ожиданий будет выглядеть так:

$$ \text{Общее ожидание} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (бесконечность)} $$

Математика выдала ответ: «Математическое ожидание этой игры равно бесконечности». Раз ожидание бесконечно, то, независимо от стоимости входного билета, теоретически это абсолютно «выгодная игра».

Именно это противоречие, сформулированное Николаем Бернулли в 1713 году, называется «Санкт-Петербургским парадоксом». Правильный математический расчет (игра имеет бесконечную ценность) жестко противоречит здравому смыслу человека (он готов заплатить всего несколько долларов).

3. Открытие «полезности», устранившее разрыв между математикой и человеком

Этот парадокс разрешил двоюродный брат Николая, гениальный математик Даниил Бернулли. (Парадокс получил такое название, потому что Даниил опубликовал свою статью в Петербургской академии наук).

Даниил обратился к человеческой психологии. Он предположил: «Люди оценивают вещи не по ‘абсолютной сумме’ денег, а по ‘удовлетворению (полезности)’, которое эти деньги приносят».

Это называется «законом убывающей предельной полезности».

Ценность денег падает в зависимости от того, сколько их у вас уже есть

Например, когда вы находитесь в пустыне и умираете от жажды, первый стакан воды обладает такой ценностью (удовлетворением), что вы готовы отдать за него «даже 10 000 долларов». Однако со вторым, третьим и последующими стаканами ценность одной порции воды стремительно падает. К десятому стакану вы скажете: «Даже бесплатно не надо».

То же самое происходит и с деньгами.

«10 000 долларов» для человека без сбережений имеют колоссальную ценность, способную спасти его жизнь.
Но те же «10 000 долларов» для Илона Маска, обладающего активами в миллиарды, имеют не больше ценности (удовлетворения), чем найденная на дороге монета.

Иными словами, даже если призовой фонд бесконечно удваивается: 2 доллара $\rightarrow$ 4 доллара $\rightarrow$ 8 долларов $\rightarrow$ 16 долларов…, ощущаемая человеком «радость (полезность)» не растет до бесконечности пропорционально сумме.

4. Пересчет математического ожидания с использованием «полезности»

Даниил Бернулли выдвинул гипотезу, что «ценность денег (полезность), ощущаемая человеком, пропорциональна логарифму ($\log$) суммы».

Обозначив сумму как $x$, выразим воспринимаемую человеком ценность (полезность) $u(x)$ в виде логарифмической функции (для простоты возьмем модель с основанием 2).

Полезность выигрыша $2$ доллара: $\log_2(2) = 1$
Полезность выигрыша $4$ доллара: $\log_2(4) = 2$
Полезность выигрыша $8$ долларов: $\log_2(8) = 3$
Полезность выигрыша $2^n$ долларов: $\log_2(2^n) = n$

Сумма денег удваивается, но человеческая «радость» растет лишь понемногу: 1, 2, 3… Давайте заново рассчитаем математическое ожидание (ожидаемую полезность), используя эту «полезность».

$$ \text{Ожидаемая полезность} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Если вычислить сумму этого бесконечного ряда, результат не будет равен «бесконечности», а сойдется к «2». Обратно вычислив сумму, соответствующую полезности «2», получим $2^2 = 4$ доллара.

Таким образом, если пересчитать ожидание с учетом человеческой психологии (полезности), получается чрезвычайно разумный и реалистичный ответ: «С точки зрения человеческого восприятия ценность этой игры составляет примерно ‘4 доллара’». Именно поэтому мы не испытываем желания платить 10 000 долларов за участие в ней.

5. Заключение: парадокс, открывший двери в экономику

Санкт-Петербургский парадокс стал революционным открытием, математически доказавшим несовпадение объективных цифр («суммы денег») и субъективной ценности («человеческого удовлетворения»).

Концепция «полезности (Utility)», предложенная Даниилом Бернулли, спустя 200 лет стала важнейшей основой современной микроэкономики и финансовой инженерии (например, теории портфеля). Наши действия, такие как покупка страховки или диверсификация инвестиций, полностью объясняются этим психологическим механизмом человека, известным как «убывающая предельная полезность» (страдание от больших убытков намного перевешивает радость от большой прибыли).

Простая математическая задачка об азартной игре стала ключом к пониманию человеческого разума и рождению огромной науки — экономики.

Дилемма заключенного: почему мы делаем выбор, когда "все остаются в убытке"?

Thu, 10 Sep 2026 03:00:00 +0900

1. Главный выбор: хранить молчание или предать?

Вы и ваш друг-сообщник арестованы полицией по подозрению в совершении преступления. Вас поместили в разные комнаты для допроса, и вы никак не можете связаться друг с другом.

Поскольку у полиции недостаточно улик для вынесения приговора, прокурор предлагает каждому из вас следующую “сделку со следствием”:

Если оба “хранят молчание” (сотрудничают друг с другом): Из-за недостатка улик оба получают всего по 1 году тюрьмы.
Если вы “признаетесь” (предаете), а друг “хранит молчание”: Вы, как согласившийся сотрудничать со следствием, освобождаетесь от наказания (выходите на свободу), а ваш друг берет всю вину на себя и получает 10 лет тюрьмы. (И наоборот)
Если оба “признаются” (предают): Поскольку оба признали вину, срок немного сокращается, и оба получают по 5 лет тюрьмы.

Итак, что вы сделаете? “Сохраните молчание” (будете сотрудничать с напарником)? Или “признаетесь” (предадите напарника)?

2. Анализ с помощью платежной матрицы (матрицы выигрышей)

Давайте представим эту ситуацию с помощью “платежной матрицы”, которая используется в теории игр. Числа в клетках представляют (ваши годы тюрьмы, годы тюрьмы друга). Минус означает потери (годы тюремного заключения).

Вы \ Друг	Хранить молчание (сотрудничество)	Признаться (предательство)
Хранить молчание (сотрудничество)	(-1, -1)	(-10, 0)
Признаться (предательство)	(0, -10)	(-5, -5)

Объективно говоря, оптимальные действия для обоих очевидны. Если оба будут “хранить молчание”, общий тюремный срок составит всего 2 года (-1 и -1). Это “Парето-оптимальное” состояние, которое максимизирует общую выгоду.

Однако если вы являетесь “рациональным человеком, стремящимся максимизировать только собственную выгоду”, напрашивается совершенно иной вывод.

3. Почему “предательство” становится рациональным выбором?

Давайте проследим процесс мышления, в котором вы предсказываете поведение “друга”, находящегося в другой комнате, и решаете, как действовать самому.

Сценарий 1: Вы предполагаете, что друг “хранит молчание”

Если вы тоже “храните молчание”, то получаете 1 год тюрьмы.
Если вы “признаетесь”, вас оправдают (немедленно освободят). $\rightarrow$ Оправдание лучше, поэтому оптимальный выбор — “признаться (предательство)”.

Сценарий 2: Вы предполагаете, что друг “признается”

Если вы “храните молчание”, то получаете 10 лет тюрьмы.
Если вы тоже “признаетесь”, то получаете 5 лет тюрьмы. $\rightarrow$ 5 лет тюрьмы лучше, поэтому оптимальный выбор по-прежнему — “признаться (предательство)”.

Заметили? Независимо от того, как поступит другой человек, вам всегда выгоднее “признаться (предать)”. В теории игр это называется “доминирующей стратегией”.

Друг находится в точно такой же ситуации и думает так же рационально, поэтому “признание” является доминирующей стратегией и для него.

В результате оба рационально мыслящих человека обязательно выберут “признаться (предательство)”. В итоге они придут к 5 годам тюрьмы для обоих (-5, -5), что является почти худшим исходом для них вместе. Если бы они сотрудничали (хранили молчание), то получили бы по 1 году, но, преследуя индивидуальную рациональность, оба остаются в проигрыше.

graph TD Start["Начало выбора"] --> Logic_You["Ваше рациональное мышление"] Start --> Logic_Friend["Рациональное мышление друга"] Logic_You -->|Если партнер молчит, выгоднее признаться
Если партнер признается, выгоднее признаться| Betray_You["Вы выбираете признаться (предать)"] Logic_Friend -->|Если партнер молчит, выгоднее признаться
Если партнер признается, выгоднее признаться| Betray_Friend["Друг выбирает признаться (предать)"] Betray_You --> Result["Результат: оба признаются (-5, -5)"] Betray_Friend --> Result Ideal["Идеал: оба хранят молчание (-1, -1)"] -.->|Индивидуальная рациональность мешает
и не дает к этому прийти| Result style Result fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Ideal fill:#99ff99,stroke:#333,stroke-width:2px

Это “состояние, в котором в результате предсказания действий друг друга ни у кого нет мотива менять свою стратегию (потому что лучше сделать невозможно)”, называется “равновесием Нэша” в честь мастера теории игр Джона Нэша.

Самый пугающий момент в дилемме заключенного заключается в том, что “Парето-оптимальность (лучший результат для всех)” и “равновесие Нэша (конечный пункт индивидуальной рациональности)” не совпадают.

4. “Дилемма заключенного”, скрытая в повседневном обществе

Дилемма заключенного — это не просто головоломка. Многие проблемы, возникающие в нашем обществе, можно объяснить с помощью этой математической модели.

1. Ценовая конкуренция (ценовые войны)

Две конкурирующие компании продают похожие товары за 1000 иен. Если обе компании будут удерживать цену 1000 иен (сотрудничество), обе получат высокую прибыль. Однако, поддавшись искушению “сделать цену чуть ниже конкурента (предательство) и монополизировать клиентов”, обе компании начинают ценовую войну. В результате товар стоит 500 иен, и обе компании страдают от отсутствия прибыли (обе предают).

2. Экологические проблемы и парниковые газы

Страны мира договариваются “сократить выбросы CO2 (сотрудничество)”. Это оптимальное решение для всей планеты. Однако, если только одна страна “проигнорирует ограничения на выбросы и запустит фабрики (предательство)”, она сможет обеспечить стремительный рост только своей экономики. И наоборот, если другие страны предадут, а ваша страна будет соблюдать правила, она понесет огромные экономические убытки. В результате каждая страна, боясь быть обманутой, выбирает предательство, и глобальная окружающая среда разрушается.

3. Проблема допинга в спорте

В идеале все спортсмены не используют допинг (сотрудничество). Однако из-за паранойи “возможно, другие используют допинг” или соблазна “если только я приму допинг, я выиграю”, спортсмены выбирают допинг (предательство). В результате все попадают в наихудшую ситуацию, соревнуясь накачанными препаратами в ущерб своему здоровью.

5. Есть ли решение? Стратегия “око за око”

В одноразовой сделке “предательство” всегда является рациональным выбором. Но если это становится “игрой, которая повторяется много раз с одним и тем же партнером (повторяющаяся дилемма заключенного)”, ситуация кардинально меняется.

В 1980-х годах политолог Роберт Аксельрод провел турнир, в котором компьютеры, запрограммированные на разные стратегии, играли друг против друга. Среди сложных стратегий, собранных от ученых со всего мира, таких как “всегда предавать”, “предавать случайным образом”, “прощать партнера”, с подавляющим преимуществом победила самая простая стратегия “око за око” (Tit for Tat).

Правила стратегии “око за око” очень просты:

В первый раз всегда выбирай “сотрудничество”.
В следующий раз просто копируй то, что партнер “сделал в предыдущий раз”.
- Если в прошлый раз партнер сотрудничал, то в этот раз сотрудничайте.
- Если в прошлый раз партнер предал, то в этот раз предайте в качестве мести.

Причина, по которой эта стратегия сильна, заключается в том, что она имеет четыре характеристики: “я никогда не предам первым (доброта)”, “если меня предадут, я немедленно накажу (строгость)”, “если партнер изменит свое отношение, я быстро прощу (снисходительность)” и “структура проста и легко понимается партнером (ясность)”.

graph LR Start["1-й раз: безоговорочное сотрудничество"] --> Round2 Round2["Посмотреть на действия партнера"] -->|Партнер сотрудничал| Act_Coop["Я тоже сотрудничаю"] Round2 -->|Партнер предал| Act_Betray["Я тоже предаю (месть)"] Act_Coop --> Round2 Act_Betray -->|Если партнер раскается
и вернется к сотрудничеству| Act_Coop

В человеческих отношениях и в международном сообществе, если предполагаются долгосрочные отношения, совместное использование правила, подобного стратегии “око за око”: “в основном мы сотрудничаем, но за предательство будет штраф”, — позволяет преодолеть дилемму заключенного и построить отношения сотрудничества.

6. Заключение: Ценность “доверия”, которой учит математика

Дилемма заключенного математически доказала, что “эгоистичная рациональность человека” иногда ввергает все общество в пучину несчастья. Индивидуальная рациональность “я хочу получить выгоду только для себя” или “я не хочу, чтобы меня обманули” в конечном итоге приводит к результату, который душит вас самих (равновесие Нэша).

В то же время теория игр учит нас, что до тех пор, пока выполняется условие “отношения будут продолжаться в долгосрочной перспективе”, “доверять друг другу и сотрудничать” — это самая рациональная стратегия, которая в конечном итоге максимизирует вашу собственную выгоду.

В следующий раз, когда вы будете колебаться, думая “а не схитрить ли мне немного ради себя”, вспомните платежную матрицу этой дилеммы заключенного. Потому что “рациональное предательство” в погоне за краткосрочной выгодой может оказаться самым иррациональным выбором в долгосрочной перспективе.