Математическое Ожидание on kenji.blog

Санкт-Петербургский парадокс: сколько вы заплатите за игру с «бесконечным» математическим ожиданием?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. Игра мечты с «бесконечным» математическим ожиданием

Представьте, что вы идете по казино, и дилер предлагает вам сыграть в новую игру с подбрасыванием монеты.

【Правила игры】

Вы платите вступительный взнос, чтобы начать игру.
Подбрасывается монета. Если выпадает орел, призовой фонд удваивается, и вы можете подбросить монету еще раз.
Игра заканчивается, как только выпадает решка. Вы получаете призовой фонд, накопленный к этому моменту.

Начальный призовой фонд составляет 2 доллара.

Если при первом броске выпадает решка, вы получаете 2 доллара и игра заканчивается.
Если при первом броске выпадает орел, а при втором — решка, вы получаете 4 доллара и игра заканчивается.
Если при первом и втором бросках выпадает орел, а при третьем — решка, вы получаете 8 долларов и игра заканчивается.
…и так далее: пока выпадает орел, призовой фонд удваивается: 16 долларов, 32 доллара, 64 доллара…

graph TD Start["Начало игры"] --> Toss1{"1-й бросок"} Toss1 -->|Решка (1/2)| End1["Конец: выигрыш 2$"] Toss1 -->|Орел (1/2)| Toss2{"2-й бросок"} Toss2 -->|Решка (1/2)| End2["Конец: выигрыш 4$"] Toss2 -->|Орел (1/2)| Toss3{"3-й бросок"} Toss3 -->|Решка (1/2)| End3["Конец: выигрыш 8$"] Toss3 -->|Орел (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Чем длиннее серия| Infinite["Приз удваивается до бесконечности!"]

А теперь вопрос к вам. Если бы вступительный взнос за эту игру составлял «10 000 долларов», вы бы согласились участвовать?

Вероятно, большинство людей ответят: «Нет, не соглашусь». Ведь с вероятностью 50% при первом же броске выпадет решка, вы получите всего 2 доллара и понесете огромные убытки.

Однако, если строго рассчитать математическое ожидание (теория вероятностей), обнаружится удивительный факт. Математически вам следует занять все возможные деньги и участвовать в этой игре, независимо от того, стоит ли вход 10 000 долларов или 100 миллионов.

Почему же так происходит?

2. Давайте посчитаем математическое ожидание

Математическим показателем, позволяющим судить о том, «выгодна или убыточна» азартная игра, является «математическое ожидание». Математическое ожидание — это число, которое показывает, «сколько в среднем вы будете выигрывать за одну игру, если повторите ее много раз». Формула расчета — это сумма произведений «возможного выигрыша» на «вероятность этого выигрыша».

Давайте рассчитаем математическое ожидание для нашей игры.

Вероятность того, что решка выпадет при первом броске: $\frac{1}{2}$ Призовой фонд: $2$ доллара. Вклад в ожидание = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при втором броске: выпадает орел, затем решка, поэтому $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Призовой фонд: $4$ доллара. Вклад в ожидание = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при третьем броске: выпадает орел, орел, решка, поэтому $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Призовой фонд: $8$ долларов. Вклад в ожидание = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при $n$-ном броске: $(\frac{1}{2})^n$ Призовой фонд: $2^n$ долларов. Вклад в ожидание = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ доллар

Иными словами, на каком бы шаге ни закончилась игра, математическое ожидание для этого исхода всегда будет равно «1 доллару». Поскольку игра может продолжаться до бесконечности, сумма всех этих математических ожиданий будет выглядеть так:

$$ \text{Общее ожидание} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (бесконечность)} $$

Математика выдала ответ: «Математическое ожидание этой игры равно бесконечности». Раз ожидание бесконечно, то, независимо от стоимости входного билета, теоретически это абсолютно «выгодная игра».

Именно это противоречие, сформулированное Николаем Бернулли в 1713 году, называется «Санкт-Петербургским парадоксом». Правильный математический расчет (игра имеет бесконечную ценность) жестко противоречит здравому смыслу человека (он готов заплатить всего несколько долларов).

3. Открытие «полезности», устранившее разрыв между математикой и человеком

Этот парадокс разрешил двоюродный брат Николая, гениальный математик Даниил Бернулли. (Парадокс получил такое название, потому что Даниил опубликовал свою статью в Петербургской академии наук).

Даниил обратился к человеческой психологии. Он предположил: «Люди оценивают вещи не по ‘абсолютной сумме’ денег, а по ‘удовлетворению (полезности)’, которое эти деньги приносят».

Это называется «законом убывающей предельной полезности».

Ценность денег падает в зависимости от того, сколько их у вас уже есть

Например, когда вы находитесь в пустыне и умираете от жажды, первый стакан воды обладает такой ценностью (удовлетворением), что вы готовы отдать за него «даже 10 000 долларов». Однако со вторым, третьим и последующими стаканами ценность одной порции воды стремительно падает. К десятому стакану вы скажете: «Даже бесплатно не надо».

То же самое происходит и с деньгами.

«10 000 долларов» для человека без сбережений имеют колоссальную ценность, способную спасти его жизнь.
Но те же «10 000 долларов» для Илона Маска, обладающего активами в миллиарды, имеют не больше ценности (удовлетворения), чем найденная на дороге монета.

Иными словами, даже если призовой фонд бесконечно удваивается: 2 доллара $\rightarrow$ 4 доллара $\rightarrow$ 8 долларов $\rightarrow$ 16 долларов…, ощущаемая человеком «радость (полезность)» не растет до бесконечности пропорционально сумме.

4. Пересчет математического ожидания с использованием «полезности»

Даниил Бернулли выдвинул гипотезу, что «ценность денег (полезность), ощущаемая человеком, пропорциональна логарифму ($\log$) суммы».

Обозначив сумму как $x$, выразим воспринимаемую человеком ценность (полезность) $u(x)$ в виде логарифмической функции (для простоты возьмем модель с основанием 2).

Полезность выигрыша $2$ доллара: $\log_2(2) = 1$
Полезность выигрыша $4$ доллара: $\log_2(4) = 2$
Полезность выигрыша $8$ долларов: $\log_2(8) = 3$
Полезность выигрыша $2^n$ долларов: $\log_2(2^n) = n$

Сумма денег удваивается, но человеческая «радость» растет лишь понемногу: 1, 2, 3… Давайте заново рассчитаем математическое ожидание (ожидаемую полезность), используя эту «полезность».

$$ \text{Ожидаемая полезность} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Если вычислить сумму этого бесконечного ряда, результат не будет равен «бесконечности», а сойдется к «2». Обратно вычислив сумму, соответствующую полезности «2», получим $2^2 = 4$ доллара.

Таким образом, если пересчитать ожидание с учетом человеческой психологии (полезности), получается чрезвычайно разумный и реалистичный ответ: «С точки зрения человеческого восприятия ценность этой игры составляет примерно ‘4 доллара’». Именно поэтому мы не испытываем желания платить 10 000 долларов за участие в ней.

5. Заключение: парадокс, открывший двери в экономику

Санкт-Петербургский парадокс стал революционным открытием, математически доказавшим несовпадение объективных цифр («суммы денег») и субъективной ценности («человеческого удовлетворения»).

Концепция «полезности (Utility)», предложенная Даниилом Бернулли, спустя 200 лет стала важнейшей основой современной микроэкономики и финансовой инженерии (например, теории портфеля). Наши действия, такие как покупка страховки или диверсификация инвестиций, полностью объясняются этим психологическим механизмом человека, известным как «убывающая предельная полезность» (страдание от больших убытков намного перевешивает радость от большой прибыли).

Простая математическая задачка об азартной игре стала ключом к пониманию человеческого разума и рождению огромной науки — экономики.

Парадокс двух конвертов: как бесконечное математическое ожидание разрушает логику и создает ловушки в принятии решений

Thu, 10 Sep 2026 00:00:00 +0900

1. Главный выбор: менять или не менять?

Вы находитесь на финальном этапе телеигры. На столе перед вами лежат два конверта (А и Б), которые выглядят абсолютно одинаково. Ведущий говорит:

“В одном из конвертов находится в два раза больше денег, чем в другом. Выберите один из них.”

После некоторых колебаний вы выбрали конверт А. И как раз в тот момент, когда вы собираетесь посмотреть его содержимое, ведущий искушающе шепчет:

“Прямо сейчас вы можете поменять ваш конверт А на оставшийся конверт Б. Хотите поменяться?”

Итак, стоит ли вам менять конверты?

2. «Бесконечный цикл», порожденный вычислением математического ожидания

Давайте теперь задействуем немного математического мышления. Пусть сумма денег в вашем конверте А равна $X$ иен. Согласно правилам, сумма в конверте Б — это либо “половина от $X$ иен ($\frac{X}{2}$)”, либо “в 2 раза больше $X$ иен ($2X$)”. Вероятность каждого варианта составляет $\frac{1}{2}$ (50%).

Теперь давайте посчитаем математическое ожидание (ожидаемую среднюю сумму) в случае обмена конвертами.

$$ E = \frac{1}{2} \times \left(\frac{X}{2}\right) + \frac{1}{2} \times (2X) $$ $$ E = \frac{X}{4} + X = \frac{5}{4}X = 1.25X $$

Получился удивительный результат. Просто поменяв конверты, математическое ожидание подскакивает с изначальных $X$ иен до в $1.25$ раза (увеличение на 25%). Напрашивается вывод: “Если мыслить математически, менять конверт — безусловно выгодно!”.

Однако здесь происходит разрушение логики. Предположим, вы поменяли его на конверт Б. Что будет, если сразу после этого ведущий снова спросит: “Не хотите ли вернуться обратно к А?” Сработает та же самая формула, и на этот раз окажется, что “при обмене Б на А ожидаемая сумма увеличится в 1,25 раза”.

Другими словами, просто продолжая обменивать “А на Б” и “Б на А”, теоретическое математическое ожидание будет расти до бесконечности. Это очевидным образом противоречит реальности (содержимое конвертов зафиксировано с самого начала, и оно не увеличивается от факта обмена).

graph TD Start["Вы выбираете конверт А (содержит X иен)"] --> Think["Считаем, выгоден ли обмен"] Think --> Case1["В конверте Б половина (X/2 иен) : вероятность 50%"] Think --> Case2["В конверте Б в 2 раза больше (2X иен) : вероятность 50%"] Case1 --> Calc["Математическое ожидание = (X/4) + X = 1.25X"] Case2 --> Calc Calc --> SwitchToB["Меняем на конверт Б! (содержит Y иен)"] SwitchToB --> ThinkAgain["Снова считаем"] ThinkAgain --> Case3["В конверте А половина (Y/2 иен) : вероятность 50%"] ThinkAgain --> Case4["В конверте А в 2 раза больше (2Y иен) : вероятность 50%"] Case3 --> Calc2["Математическое ожидание = 1.25Y"] Case4 --> Calc2 Calc2 --> SwitchToA["Снова меняем на конверт А!"] SwitchToA --> Start style Calc fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style Calc2 fill:#ff9999,stroke:#333,stroke-width:2px style SwitchToA fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:4px

Почему, казалось бы, идеальный расчет математического ожидания породил такой странный парадокс?

3. Разоблачение математического трюка: подмена переменных

Ловушка этого парадокса кроется в «использовании случайной величины $X$».

В предыдущей формуле сумма $X$ в конверте А рассматривалась как фиксированная константа, и предполагалось, что в конверте Б находится либо «$\frac{X}{2}$», либо «$2X$». Однако на самом деле фиксированными являются «общая сумма денег в обоих конвертах», или же «меньшая из двух сумм».

Пусть сумма в конверте с меньшим количеством денег равна $S$. Тогда в конверте с большим количеством денег находится сумма $2S$. Существует только 2 возможных сценария игры (вероятность каждого $\frac{1}{2}$):

Сценарий 1: Выбранный вами конверт А содержит меньшую сумму ($S$), а конверт Б — большую ($2S$).
Сценарий 2: Выбранный вами конверт А содержит большую сумму ($2S$), а конверт Б — меньшую ($S$).

Теперь давайте правильно посчитаем математическое ожидание для случаев «без обмена» и «с обменом» конвертами.

Математическое ожидание без обмена $E_{stay}$:

$$ E_{stay} = \frac{1}{2} \times S + \frac{1}{2} \times 2S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$

Математическое ожидание с обменом $E_{switch}$: При сценарии 1 вы получите $2S$, а при сценарии 2 вы получите $S$.

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 2S + \frac{1}{2} \times S = \frac{3}{2}S = 1.5S $$ $$ E_{stay} = E_{switch} $$

Математические ожидания чудесным образом совпали! В первом ошибочном расчете мы рассматривали разные значения под одной и той же переменной $X$: $X$ в сценарии 1 (на самом деле это $S$) и $X$ в сценарии 2 (на самом деле это $2S$). Из-за этого и возникла иллюзия того, что “обмен повышает математическое ожидание”.

pie title "Истинное математическое ожидание (если меньшая сумма равна S)" "Ожидание без обмена (1.5S)" : 50 "Ожидание с обменом (1.5S)" : 50

4. Что будет, если вы всё-таки откроете конверт?

Кажется, что парадокс разрешен. Но нас ждет еще более глубокая проблема.

Что, если перед обменом вы посмотрели бы содержимое вашего конверта А? Вы открываете конверт А и видите в нем «10 000 иен».

В этот момент $X = 10000$ становится зафиксированным значением. В конверте Б находится либо «5 000 иен», либо «20 000 иен». Что будет, если мы применим сюда нашу первоначальную формулу?

$$ E_{switch} = \frac{1}{2} \times 5000 + \frac{1}{2} \times 20000 = 2500 + 10000 = 12500 $$

Ожидаемая сумма — 12 500 иен. Это определенно больше ваших текущих 10 000 иен. Более того, на этот раз $X$ является “конкретной константой” в 10 000 иен, поэтому предыдущий аргумент о “подмене переменных” больше не работает. Означает ли это, что теперь совершенно точно выгодно поменяться?

Опровержение с помощью байесовского вывода: отсутствие «априорного распределения»

В ответ на это математики предложили концепцию «априорного распределения сумм (априорной вероятности)». Вопрос в том: можем ли мы действительно утверждать, что 5 000 иен и 20 000 иен находятся там с вероятностью $\frac{1}{2}$ каждое?

Например, предположим, что бюджет телеигры составляет максимум 100 миллионов иен. Если вы откроете конверт А и обнаружите там «60 миллионов иен», вероятность того, что в конверте Б находится «120 миллионов иен», равна нулю (поскольку это превысит бюджет). Это означает, что чем больше сумма в конверте А, тем ниже вероятность того, что в конверте Б сумма “в два раза больше”, и тем выше вероятность, что там “половина”.

Если предположить произвольное априорное распределение $P(x)$ и посчитать математическое ожидание по теореме Байеса, то математически доказано, что при любом реалистичном распределении вероятностей (сумма которых равна 1) не существует такого “магического” распределения, при котором “поменяться было бы выгодно” для любой суммы $X$.

5. Ловушка бесконечности: связь с Санкт-Петербургским парадоксом

Существует лишь один единственный случай, когда “обмен выгоден при любых $X$”. Он возможен только при допущении, что бюджет телеигры бесконечен, и мы имеем дело с “несобственным распределением вероятностей” (распределением, сумма которого равна бесконечности), где любая сумма (1 иена, 2 иены, 4 иены, 8 иен… до бесконечности) может выпасть с одинаковой вероятностью.

Однако в реальном мире не существует телеканалов с бесконечными активами. Этот сбой, вызванный “бесконечным математическим ожиданием”, имеет глубокие общие корни с Санкт-Петербургским парадоксом (задачей о том, сколько человек готов заплатить за участие в игре с бесконечным математическим ожиданием выигрыша).

6. Заключение: коварство вероятности и математического ожидания

Несмотря на то, что “Парадокс двух конвертов” состоит из простейших умножений и сложений, он преподносит нам следующие уроки:

Ошибки из-за неоднозначности определений: если четко не определить, на что указывает переменная (указывает ли $X$ всегда на одну и ту же сумму), логика легко разрушится.
Иллюзия «нет информации = вероятность 50%»: предположение “если я не знаю, значит шансы 50 на 50” (принцип недостаточного основания) порой может привести к фатальным ошибкам в расчетах.
Сложность работы с бесконечностью: введение в расчеты концепции “бесконечности”, неприменимой в реальном мире, приводит к результатам, противоречащим здравому смыслу.

В следующий раз, когда вам в жизни покажется, что “трава у соседа зеленее, и было бы выгоднее поменяться”, вспомните этот парадокс. Возможно, в ваших расчетах просто произошла подмена переменных.