Алгоритмы on kenji.blog

Гипотеза Коллатца

Tue, 15 Jul 2025 18:03:03 +0900

“Действительно ли любое число в конце концов становится 1?” ── Играем с гипотезой Коллатца

Всем привет! Это Кенджи.

Внезапный вопрос: когда вы слышите о “правиле, по которому любое число в итоге превращается в 1”, разве это не кажется вам немного странным?

Например, 19, или 87, или даже 1000000. Если вы следуете определенному правилу и манипулируете числами, по какой-то причине они всегда сводятся к “1”.

Эта сказочная история и есть гипотеза Коллатца (Collatz Conjecture).

Для начала, что такое гипотеза Коллатца?

Сначала позвольте мне представить правила.

Старт: выберите любое положительное целое число
Операция:
- Если четное → делим пополам (n → n / 2)
- Если нечетное → умножаем на 3 и прибавляем 1 (n → 3n + 1)

Если повторять это снова и снова, гипотеза гласит, что любое число в конечном итоге достигнет 1.

Например, если мы начнем с 6:

1

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Оно действительно стало “1”. С возвращением!

Давайте попробуем это в коде: Коллатц на Python

Что ж, в таких случаях быстрее всего попробовать написать код! Давайте выведем “последовательность Коллатца” с помощью Python.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12


def collatz(n):
 steps = [n]
 while n != 1:
 if n % 2 == 0:
 n = n // 2
 else:
 n = 3 * n + 1
 steps.append(n)
 return steps

# Пример: давайте начнем с 19
print(collatz(19))

При запуске:

1

[19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

Оно успешно достигает 1. Пришлось сделать немало крюков, но в итоге мы на финише!

Кстати, даже если мы начнем с 29, оно достигнет 1 таким же образом.

1

pythonprint(collatz(29))

При запуске:

1
2
3
4
5
6
7
8


[27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242,
121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350,
175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167,
502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479,
1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911,
2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732,
866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35,
106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1]

На это уходит целых 111 шагов!

Более того, по пути оно иногда раздувается до более чем 9000. Это тот случай, когда перед финишем делается огромный крюк.

Итак, что же в итоге в этом такого удивительного?

Удивительное в этой гипотезе то, что:

Хотя это не доказано, похоже, что оно всегда сводится к 1, независимо от того, какое число вы берете

Вот в чем крутизна.

А? А как насчет триллиона или квадриллиона…?

Если вы подумали об этом, то вы очень проницательны. На самом деле, с помощью компьютеров это было проверено вплоть до “2 в 68-й степени”, и все они достигают 1. Невероятно…

Но не было теоретически доказано, что “все будет именно так”. Вот что называется “нерешенной проблемой” в мире математики.

Кто такой мистер Коллатц?

Итак, дочитав до этого места, вы, возможно, спросите: “Кто вообще такой Коллатц?” Я представлю его как следует!

Имя: Лотар Коллатц (Lothar Collatz)
Гражданство: Германия
Годы жизни: 1910 - 1990
Профессия: Математик (активно работал в области функционального анализа и теории чисел)

Он предложил эту гипотезу в 1937 году, и с тех пор, на протяжении более 80 лет, никто не смог ее ни доказать, ни опровергнуть.

Кстати, эта проблема настолько проста, но в то же время невероятно глубока, что даже Пол Эрдёш (супер-известный математик) сказал нечто подобное.

“Математика еще не созрела для решения проблемы Коллатца.”

Иными словами, существует теория, что человеческая математика еще не доросла до этой загадки…

“Сложные формулы” не нужны

Прелесть гипотезы Коллатца в том, что каждый может с ней поиграть.

Вам нужны только ручка и бумага. Если вы напишете код на Python, вы сможете проверять это автоматически. И при этом передовые математики всерьез ломают над ней голову.

Разве это не захватывающе?

Бонус: Код для массовой проверки

Я также приложу код для проверки множества чисел за один раз.

1
2
3


for n in range(1, 21):
 steps = collatz(n)
 print(f"{n}: {steps} (количество шагов: {len(steps)-1})")

Этот код сразу выведет последовательности Коллатца для чисел от “1 до 20”.

Вывод: Этот мир действительно странный

Итак, это гипотеза Коллатца.

Хотя она очень проста
Никто не может ее доказать
Это огромная проблема в математическом мире

Она оказалась чем-то вроде сгустка тайн.

Даже новички в программировании могут попробовать ее, так что, пожалуйста, поиграйте!

Ханойская башня

Thu, 17 Apr 2025 22:23:14 +0900

Ханойская башня

Привет!

Сегодня я хотел бы поговорить о «Ханойской башне» и показать пример программы на Python.

Что такое Ханойская башня?

Ханойская башня — это головоломка, состоящая из трех стержней и нескольких дисков. Диски имеют разный размер, и изначально они сложены на одном стержне в порядке убывания размера сверху вниз. Правила следующие:

За один раз можно перемещать только один диск.
Больший диск нельзя класть поверх меньшего.

Считается, что эта головоломка является отличным материалом для изучения рекурсивного мышления. Рекурсия — это метод решения проблемы путем разбиения её на более мелкие проблемы того же типа. В Ханойской башне для перемещения n дисков мы повторяем операцию перемещения n-1 дисков.

Давайте решим Ханойскую башню на Python

Ниже приведен пример кода на Python для решения головоломки Ханойская башня.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10


def hanoi(n, source, target, auxiliary):
 if n == 1:
 print(f"Move disk 1 from {source} to {target}")
 return
 hanoi(n - 1, source, auxiliary, target)
 print(f"Move disk {n} from {source} to {target}")
 hanoi(n - 1, auxiliary, target, source)

# Пример: Перемещение 3 дисков с A на C
hanoi(3, 'A', 'C', 'B')

В этом коде функция hanoi вызывается рекурсивно, и отображаются шаги для перемещения дисков. Например, для 3 дисков будет получен следующий результат:

1
2
3
4
5
6
7


Move disk 1 from A to C
Move disk 2 from A to B
Move disk 1 from C to B
Move disk 3 from A to C
Move disk 1 from B to A
Move disk 2 from B to C
Move disk 1 from A to C

Таким образом, используя рекурсивный подход, даже сложные проблемы можно решать довольно просто.

Сколько времени потребуется для перемещения 64 дисков?

Минимальное количество перемещений для Ханойской башни составляет 2^n - 1. Это означает, что для перемещения 64 дисков потребуется 2^64 - 1 раз, или около 1,84×10^19 перемещений. Даже если мы могли бы делать одно перемещение в секунду, это заняло бы около 584 миллиардов лет. Это примерно в 42 раза больше возраста Вселенной (около 13,7 миллиарда лет).

Следовательно, по мере увеличения количества дисков количество необходимых перемещений растет в геометрической прогрессии. В связи с этим перемещение 64 дисков в реальности не представляется возможным.

Заключение

Ханойская башня — это превосходная головоломка для изучения рекурсивного мышления. С помощью Python можно легко реализовать её решение. Однако стоит учитывать, что с увеличением числа дисков количество необходимых перемещений резко возрастает.

Понимая рекурсивный подход и самостоятельно написав код, вы сможете улучшить свои навыки программирования. Обязательно попробуйте решить задачу о Ханойской башне.

C-код для генерации простых чисел

Sat, 24 Aug 2024 09:38:10 +0900

Ниже приведен простой код на языке C, который генерирует простые числа в заданном диапазоне. В этом примере перечисляются простые числа от 1 до n.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32


#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

bool isPrime(int num) {
 if (num <= 1) return false;
 if (num <= 3) return true;
 if (num % 2 == 0 || num % 3 == 0) return false;

 for (int i = 5; i * i <= num; i += 6) {
 if (num % i == 0 || num % (i + 2) == 0) return false;
 }
 return true;
}

void printPrimes(int n) {
 printf("2 ");
 for (int i = 3; i <= n; i += 2) {
 if (isPrime(i)) {
 printf("%d ", i);
 }
 }
 printf("\n");
}

int main() {
 int n;
 printf("Введите максимальное значение диапазона для генерации простых чисел: ");
 scanf("%d", &n);
 printf("Простые числа от 1 до %d следующие:\n", n);
 printPrimes(n);
 return 0;
}

Этот код работает следующим образом:

Функция isPrime: Определяет, является ли заданное число простым. Для эффективности сначала проверяется делимость на 2 и 3, а затем проверка продолжается с кратными 6.
Функция printPrimes: Выводит простые числа в заданном диапазоне. Сначала выводится 2, затем проверяются только нечетные числа.
Функция main: Запрашивает у пользователя максимальное значение диапазона и выводит простые числа в этом диапазоне.

При компиляции и выполнении этого кода будут отображены простые числа в заданном диапазоне.

Введение в Mathematica

Thu, 25 Jul 2024 01:36:19 +0900

Введение в Mathematica

Решение уравнений

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0, x]

Вывод

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Поиск решений уравнений в целых числах

1

Solve[x^2 - 3 x + 2 == 0 && 0 <= x <= 2, x, Integers]

Вывод

1

{{x -> 1}, {x -> 2}}

Решение систем уравнений

1

Solve[{x + y == 3, x - y == 1}, {x, y}]

Вывод

1

{{x -> 2, y -> 1}}

Решение неравенств

1

Reduce[x^2 - 3 x + 2 > 0, x]

Вывод

1

x < 1 || x > 2

Дифференцирование

1

D[x^2, x]

Вывод

1

2 x

Интегрирование

1

Integrate[x^2, x]

Вывод

1

x^3/3

Вычисление пределов

1

Limit[1/x, x -> 0]

Вывод

1

Infinity

Вычисление рядов

1

Sum[1/n^2, {n, 1, Infinity}]

Вывод

1

π^2/6

Создание матриц

1

m = {{1, 2}, {3, 4}}

Умножение матриц

1

m . m

Вывод

1

{{7, 10}, {15, 22}}

Вычисление обратной матрицы

1

Inverse[m]

Вывод

1

{{-2, 1}, {1.5, -0.5}}

Поиск собственных значений и векторов

1

Eigensystem[m]

Вывод

1

{{5, 0}, {{1, 1}, {1, -1}}}

Скалярное произведение векторов

1

{1, 2} . {3, 4}

Вывод

1

11

Векторное произведение векторов

1

Cross[{1, 2, 3}, {4, 5, 6}]

Вывод

1

{-3, 6, -3}

Вычисление длины вектора

1

Norm[{1, 2, 3}]

Вывод

1

√14

Вычисление угла между векторами

1

ArcCos[{1, 2} . {3, 4}/(Norm[{1, 2}] Norm[{3, 4}])]

Вывод

1

ArcCos[11/(√5 √25)]

Проекция вектора

1

{1, 2} . {3, 4}/Norm[{3, 4}] {3, 4}/Norm[{3, 4}]

Вывод

1

{11/5, 22/5}

Вращение вектора

1

RotationMatrix[π/2].{1, 0}

Вывод

1

{0, 1}

Параллельный перенос вектора

1

TranslationTransform[{1, 2}][{3, 4}]

Вывод

1

{4, 6}

Масштабирование вектора

1

ScalingTransform[{2, 3}][{1, 1}]

Вывод

1

{2, 3}

Отражение вектора

1

ReflectionTransform[{1, 1}][{1, 1}]

Вывод

1

{0, 0}

Генерация случайных чисел

1

RandomReal[]

Вывод

1

0.123456

Генерация случайных чисел (целые числа)

1

RandomInteger[]

Вывод

1

123456

Генерация случайных чисел (с указанием диапазона)

1

RandomReal[{1, 10}]

Вывод

1

5.6789

Генерация случайных чисел (целые числа, с указанием диапазона)

1

RandomInteger[{1, 10}]

Вывод

1

5

Генерация случайных чисел (с указанием распределения)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1]]

Вывод

1

0.123456

Генерация случайных чисел (с распределением и количеством)

1

RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Вывод

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Генерация случайных чисел (распределение, количество, seed)

1
2


SeedRandom[12345]
RandomVariate[NormalDistribution[0, 1], 10]

Вывод

1

{0.123456, 0.234567, ..., 0.987654}

Применение функции к элементам массива

1
2
3


Map[Sqrt, {1, 4, 9}]
Sqrt /@ {1, 4, 9}
Map[#^(1/2)&, {1, 4, 9}]

Вывод

1

{1, 2, 3}

Определение функции с помощью лямбда-выражения

1
2


f = Function[x, x^2]
f[3]

Вывод

1

9

Композиция функций

1
2
3
4


f = Function[x, x^2]
g = Function[x, x + 1]
h = Function[x, f[g[x]]]
h[3]

Вывод

1

16

Ссылка на результат предыдущего вычисления

1

% + 1

Вывод

1

17

Чистые функции

1

(#+3)&[5]

Вывод

1

8

Извлечение из массива

1
2


Select[{1, 2, 3, 4, 5}, EvenQ]
Select[{1, 2, 3, 4, 5}, Mod[#,2]==0&]

Вывод

1

{2, 4}

Решение задачи коммивояжера с помощью Mathematica

Wed, 12 Oct 2022 19:05:58 +0900

Решение задачи коммивояжера с помощью Mathematica

Проблема

電車でこんな広告を見かけました😁📸 pic.twitter.com/iXEgvtXrpL
— 早稲田大学早水桃子研究室 (@hayamizu_lab) October 11, 2022

Решение

1

d=SparseArray[{{1,2}->10,{2,1}->10,{1,5}->15,{5,1}->15,{1,4}->12,{4,1}->12,{1,3}->20,{3,1}->20,{2,5}->10,{5,2}->10,{3,4}->10,{4,3}->10,{3,8}->30,{8,3}->30,{3,7}->20,{7,3}->20,{3,6}->25,{6,3}->25,{4,5}->15,{5,4}->15,{4,8}->20,{8,4}->20,{5,9}->18,{9,5}->18,{5,8}->15,{8,5}->15,{6,7}->5,{7,6}->5,{7,8}->35,{8,7}->35,{8,9}->12,{9,8}->12},{9,9},Infinity];

Создайте матрицу с помощью функции SparseArray. Каждый элемент представляет расстояние между городами в строке и столбце этого элемента. Например, первый элемент {1,2}->10 означает, что расстояние между 1 и 2 равно 10. Предпоследний элемент {9,9} указывает на размер матрицы, а последний элемент Infinity означает, что длина пути между неуказанными городами бесконечна. Другими словами, это означает, что пути нет.

1

{len,tour}=FindShortestTour[{1,2,3,4,5,6,7,8,9},DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&)]

Вы можете легко решить задачу коммивояжера с помощью функции FindShortestTour. {1,2,3,4,5,6,7,8,9} представляют номера городов. DistanceFunction->(d[[#1,#2]]&) передает матрицу d, представляющую расстояния между городами.

Вывод

1

{137, {1, 2, 5, 9, 8, 7, 6, 3, 4}}

Выводом являются кратчайшее расстояние и маршрут в это время. Кратчайшее расстояние равно 137, а маршрут — 1→2→5→9→8→7→6→3→4→1. Если изменить порядок на ABC, он станет A, B, E, I, H, G, F, C, D.

Алгоритмы on kenji.blog

Гипотеза Коллатца

“Действительно ли любое число в конце концов становится 1?” ── Играем с гипотезой Коллатца

Для начала, что такое гипотеза Коллатца?

Давайте попробуем это в коде: Коллатц на Python

Итак, что же в итоге в этом такого удивительного?

Кто такой мистер Коллатц?

“Сложные формулы” не нужны

Бонус: Код для массовой проверки

Вывод: Этот мир действительно странный

Рекомендуемые ссылки (для тех, кому интересно)

Ханойская башня

Ханойская башня

Что такое Ханойская башня?

Давайте решим Ханойскую башню на Python

Сколько времени потребуется для перемещения 64 дисков?

Заключение

C-код для генерации простых чисел

Введение в Mathematica

Введение в Mathematica

Решение уравнений

Поиск решений уравнений в целых числах

Решение систем уравнений

Решение неравенств

Дифференцирование

Интегрирование

Вычисление пределов

Вычисление рядов

Создание матриц

Умножение матриц

Вычисление обратной матрицы

Поиск собственных значений и векторов

Скалярное произведение векторов

Векторное произведение векторов

Вычисление длины вектора

Вычисление угла между векторами

Проекция вектора

Вращение вектора

Параллельный перенос вектора

Масштабирование вектора

Отражение вектора

Генерация случайных чисел

Генерация случайных чисел (целые числа)

Генерация случайных чисел (с указанием диапазона)

Генерация случайных чисел (целые числа, с указанием диапазона)

Генерация случайных чисел (с указанием распределения)

Генерация случайных чисел (с распределением и количеством)

Генерация случайных чисел (распределение, количество, seed)

Применение функции к элементам массива

Определение функции с помощью лямбда-выражения

Композиция функций

Ссылка на результат предыдущего вычисления

Чистые функции

Извлечение из массива

Решение задачи коммивояжера с помощью Mathematica

Решение задачи коммивояжера с помощью Mathematica

Проблема

Решение

Вывод