Featured image of post Почему крошечное меньшинство может держать все карты в руках: математика индексов влияния при голосовании
Математика И Общество

Почему крошечное меньшинство может держать все карты в руках: математика индексов влияния при голосовании

Почему доля мест в парламенте или пакет акций в совете директоров не равны реальной власти при принятии решений? Строгий математический разбор взвешенных игр голосования, индексов Банцафа и Шепли — Шубика, производящих функций, права вето в Совете Безопасности ООН и парадоксов голосования.

В демократических парламентах, международных советах и корпоративных советах директоров наблюдатели часто попадают в ловушку наглядной арифметической иллюзии: предполагается, что доля мандатов партии или процент голосующих акций акционера прямо пропорциональны их реальному влиянию на принятие решений (Voting Power).

Представьте парламент из 100 мест, где для принятия закона требуется простое большинство в $q = 51$ голос. У партии A — 49 мест, у партии B — 49 мест, а у крошечной третьей партии C — всего 2 места. На телевизионных диаграммах партии A и B выглядят гигантами, контролирующими по $49\%$ палаты, тогда как партия C кажется маргинальной группой с $2\%$. Однако строгий анализ с позиций кооперативной теории игр (Cooperative Game Theory) открывает поразительный факт: партии A, B и C обладают абсолютно одинаковым влиянием при голосовании — ровно по одной трети ($33{,}33\%$) каждая.

Напротив, политическая партия или суверенное государство может располагать солидным пакетом голосов, но иметь математически нулевое ($0\%$) влияние на исход голосования — такой участник называется фиктивным игроком (Dummy Player, «болваном»). С 1958 по 1973 год Совет министров Европейского экономического сообщества (ЕЭС) использовал взвешенную систему $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$. Хотя Люксембург имел 1 голос ($5{,}88\%$ от общего числа), все остальные страны имели четное число голосов ($4, 4, 4, 2, 2$) при четной квоте $q = 12$. Поскольку сумма четных чисел всегда четна, ни одна проигрывающая коалиция (максимум $10$ голосов) не могла набрать $12$ за счет единственного голоса Люксембурга: в течение 15 лет его реальное влияние составляло ровно $0\%$.

В этой статье мы построим полную математическую теорию индексов влияния при голосовании: аксиоматику простых взвешенных игр, индекс Банцафа, индекс Шепли — Шубика, вероятностную теорему Страффина, алгоритмы динамического программирования через производящие функции, архитектуру вето в Совете Безопасности ООН и парадоксы перераспределения мест.

1. Иллюзия доли мандатов: три мысленных эксперимента

Рассмотрим три парламента со $100$ мандатами и квотой большинства $q = 51$:

  1. «Делатель королей» (Kingmaker) $[51;\, 49, 49, 2]$: Ни одна партия не набирает 51 голос в одиночку. Выигрывающими коалициями являются $\{A, B\}(98)$, $\{A, C\}(51)$, $\{B, C\}(51)$ и $\{A, B, C\}(100)$. Поскольку любые две партии образуют большинство, эта игра изоморфна комитету с равными голосами $[2;\, 1, 1, 1]$. Обладая лишь $2\%$ мест, партия C имеет те же $33{,}33\%$ власти, что и партии A и B.
  2. Диктатор и бессильная оппозиция $[51;\, 52, 47, 1]$: Так как $w_A = 52 \ge 51$, партия A является диктатором ($100\%$ влияния). Хотя партия B контролирует $47\%$ кресел, даже объединившись с C ($47 + 1 = 48 < 51$), она не может ни провести, ни заблокировать ни один закон: B и C — фиктивные игроки ($0\%$ влияния).
  3. Невидимый фиктивный игрок и дело округа Нассо (1965) $[51;\, 35, 35, 25, 5]$: Ни у одной партии нет большинства. Однако возможные суммы весов подмножеств партий $\{A, B, C\}$ ($35, 35, 25$) равны только $0, 25, 35, 60, 70, 95$. Ни одно подмножество не дает сумму в критическом интервале $[q - w_D,\, q - 1] = [46, 50]$! Следовательно, $5$ мандатов партии D никогда не превращают поражение в победу, и ее влияние равно $0\%$. В 1965 году юрист Джон Банцаф (John F. Banzhaf III) применил этот расчет к Наблюдательному совету округа Нассо (штат Нью-Йорк), доказав в суде, что три муниципалитета имели $0\%$ влияния при голосовании.

2. Математическая формулировка: индексы Банцафа и Шепли — Шубика

Простые игры и взвешенные игры голосования

$$v(S) = \begin{cases} 1, & \text{если } \sum_{i \in S} w_i \ge q \quad (\text{выигрывающая коалиция}) \\ 0, & \text{если } \sum_{i \in S} w_i < q \quad (\text{проигрывающая коалиция}) \end{cases}$$

Игрок $i \in S$ называется критическим (решающим / Swing Voter) в коалиции $S$, если $v(S) = 1$, но $v(S \setminus \{i\}) = 0$, то есть $\Delta_i v(S) = v(S) - v(S \setminus \{i\}) = 1$.

  flowchart TD
    A["Взвешенная игра голосования [q; w₁, w₂, ..., wₙ]"] --> B["Вес коалиции w(S) = Σ_{i∈S} wᵢ"]
    B --> C{"Выполнено ли w(S) ≥ q?"}
    C -- "Да: v(S) = 1" --> D["Выигрывающая коалиция S ∈ W"]
    C -- "Нет: v(S) = 0" --> E["Проигрывающая коалиция S ∉ W"]
    D --> F{"Падает ли вес ниже q без игрока i: w(S \ {i}) < q?"}
    F -- "Да: v(S \ {i}) = 0" --> G["Игрок i — критический (Swing Voter) в S"]
    F -- "Нет: v(S \ {i}) = 1" --> H["Игрок i — избыточный в S"]
    G --> I["Индекс Банцафа βᵢ: считает решающие голоса ηᵢ по всем 2ⁿ⁻¹ подмножествам"]
    G --> J["Индекс Шепли — Шубика φᵢ: считает пивоты по всем n! перестановкам"]

1. Индекс влияния Банцафа (Пенроуз 1946 / Банцаф 1965)

$$\beta'_i = \frac{\eta_i}{2^{n-1}}, \qquad \beta_i = \frac{\eta_i}{\sum_{j=1}^n \eta_j}$$

2. Индекс влияния Шепли — Шубика (Shapley & Shubik 1954)

$$\phi_i = \sum_{S \subseteq N \setminus \{i\}} \frac{|S|!\,(n - |S| - 1)!}{n!} \bigl[v(S \cup \{i\}) - v(S)\bigr]$$

3. Пошаговое сравнение на примере $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ и производящие функции

В игре $[6;\, 4, 3, 2, 1]$ ($w_A=4, w_B=3, w_C=2, w_D=1$, сумма весов $10$, квота $q=6$) полный перебор 7 выигрывающих коалиций и 24 перестановок дает:

Выигрывающая коалиция $S$Вес $w(S)$Вес после ухода $w(S \setminus \{i\})$Критические игроки (Swing)ПартияДоля голосовЧисло свингов $\eta_i$Норм. Банцаф $\beta_i$Пивоты ($/24$)Шепли — Шубик $\phi_i$
$\{A, B\}$$7$$-A:3,\ -B:4$A, BA ($w_A=4$)$40{,}0\%$$5$$5/12 \approx \mathbf{41{,}67\%}$$10$$10/24 \approx \mathbf{41{,}67\%}$
$\{A, C\}$$6$$-A:2,\ -C:4$A, CB ($w_B=3$)$30{,}0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25{,}00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25{,}00\%}$
$\{A, B, C\}$$9$$-A:5,\ -B:6,\ -C:7$AC ($w_C=2$)$20{,}0\%$$3$$3/12 = \mathbf{25{,}00\%}$$6$$6/24 = \mathbf{25{,}00\%}$
$\{A, B, D\}$$8$$-A:4,\ -B:5,\ -D:7$A, BD ($w_D=1$)$10{,}0\%$$1$$1/12 \approx \mathbf{8{,}33\%}$$2$$2/24 \approx \mathbf{8{,}33\%}$
$\{A, C, D\}$$7$$-A:3,\ -C:5,\ -D:6$A, CИтого$100\%$$12$$100{,}00\%$$24$$100{,}00\%$
$\{B, C, D\}$$6$$-B:3,\ -C:4,\ -D:5$B, C, D
$\{A,B,C,D\}$$10$Любой уход $\ge 6$Нет

Хотя у партии B ($30\%$) на полтора раза больше мест, чем у партии C ($20\%$), обе партии обладают абсолютно одинаковым влиянием ($25{,}00\%$) по обоим индексам! Напротив, в игре $[5;\, 3, 2, 1, 1]$ индексы расходятся: $\beta = (50\%, 30\%, 10\%, 10\%)$ против $\phi = (58{,}33\%, 25{,}00\%, 8{,}33\%, 8{,}33\%)$. Согласно теореме Страффина (1977), индекс Банцафа отвечает гипотезе независимости голосования игроков, а индекс Шепли — Шубика — гипотезе однородности ($p_1 = \dots = p_n = p \sim \mathrm{Uniform}(0,1)$).

$$P_{-i}(x) = \prod_{j \ne i} \left(1 + x^{w_j}\right) = \sum_{k} c_k^{(i)} x^k \implies \eta_i = \sum_{k=q-w_i}^{q-1} c_k^{(i)}$$

4. Реальные институты и парадоксы влияния при голосовании

1. Совет министров ЕЭС (1958–1973) $[12;\, 4, 4, 4, 2, 2, 1]$

Для Люксембурга ($w_{\text{Lux}} = 1$, квота $q = 12$) производящий многочлен $P_{-\text{Lux}}(x) = (1 + x^4)^3(1 + x^2)^2$ содержит только четные степени $x$, поэтому коэффициент при $x^{11}$ равен $0$ ($\beta_{\text{Lux}} = \phi_{\text{Lux}} = 0\%$). Однако при расширении ЕЭС в 1973 году до 9 стран ($[41;\, 10, 10, 10, 10, 5, 5, 3, 3, 2]$), несмотря на падение доли голосов Люксембурга с $5{,}88\%$ до $3{,}45\%$, его индекс Банцафа вырос с $0\%$ до $1{,}62\%$ (парадокс новых участников, Brams & Affuso 1976).

2. Совет Безопасности ООН (право вето постоянных членов P5)

Совет Безопасности ООН (5 постоянных членов P5 с правом вето и 10 непостоянных членов NP10, квота 9 голосов при согласии всех 5 P5) эквивалентен взвешенной игре $[39;\, 7, 7, 7, 7, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]$.

  • Индекс Банцафа: $\eta_{\text{P5}} = \sum_{k=4}^{10} \binom{10}{k} = 848$, $\eta_{\text{NP}} = \binom{9}{3} = 84 \implies \beta_{\text{P5}} = \frac{848}{5080} \approx \mathbf{16{,}69\%}$ и $\beta_{\text{NP}} = \frac{84}{5080} \approx \mathbf{1{,}65\%}$.
  • Индекс Шепли — Шубика: Непостоянный член является пивотом только на 9-й позиции после всех 5 P5 и ровно 3 из остальных 9 NP: $$\phi_{\text{NP}} = \binom{9}{3}\frac{8!\,6!}{15!} = \frac{84}{45045} = \frac{4}{2145} \approx \mathbf{0{,}1865\%}, \qquad \phi_{\text{P5}} = \frac{421}{2145} \approx \mathbf{19{,}627\%}$$ Пять постоянных членов сосредоточивают в своих руках $98{,}135\%$ влияния Шепли — Шубика (влияние одного члена P5 в 105,25 раза превышает влияние непостоянного члена)!
  flowchart TD
    P["Нелинейные парадоксы взвешенных игр голосования"] --> P1["1. Парадокс новых участников (Brams & Affuso 1976)"]
    P --> P2["2. Парадокс дробления партии (Large Size)"]
    P --> P3["3. Парадокс перераспределения (Fischer & Schotter 1978)"]
    P1 --> D1["Вступление новых членов может УВЕЛИЧИТЬ влияние старого члена вопреки снижению его доли голосов (Люксембург в 1973 г.: 0% → 1,6%)"]
    P2 --> D2["Крупная партия, расколовшаяся на две фракции, может получить больше суммарного влияния, чем единый блок"]
    P3 --> D3["Партия, потерявшая на выборах половину мест, может УДВОИТЬ свое реальное влияние"]

3. Парадокс перераспределения (Fischer & Schotter 1978)

Сравним парламент из 14 мест (квота $q = 9$) до и после выборов:

  • До выборов $[9;\, 6, 4, 2, 2]$: Минимальные выигрывающие коалиции — $\{A, B\}(10)$ и $\{A, C, D\}(10)$; партия A обладает правом вето. У партии D ($2$ места) $\beta_D = 10{,}00\%$ и $\phi_D = 8{,}33\%$.
  • После выборов $[9;\, 5, 5, 3, 1]$: A теряет 1 место в пользу B, а партия D теряет половину своих мест ($2 \to 1$) в пользу C. Однако теперь коалиция $\{B, C, D\}$ набирает $5+3+1=9$ голосов и становится выигрывающей! Монополия вето партии A разрушена, и партия D с единственным мандатом становится незаменимым «делателем королей» сразу для двух коалиций ($\{A, C, D\}$ и $\{B, C, D\}$): ее влияние подскакивает до $\beta_D = \mathbf{16{,}67\%}$ и $\phi_D = \mathbf{16{,}67\%}$ — потеряв половину мест, партия удвоила свою власть.

Наконец, для двухуровневых федеративных систем закон квадратного корня Пенроуза (1946) доказывает: чтобы косвенное влияние каждого гражданина было одинаковым независимо от численности населения $P_k$ его государства, индекс Банцафа $\beta'_k$ каждого государства должен быть пропорционален $\sqrt{P_k}$.

comments powered by Disqus