1. «Абсолютное заявление» учителя
Однажды в пятницу, по пути домой, учитель математики сделал своим ученикам пугающее заявление.
«На следующей неделе, в один из дней с понедельника по пятницу, я проведу “неожиданный тест” ровно один раз. Однако, если утром того же дня вы сможете с уверенностью предсказать, что “сегодня день теста”, это уже не будет неожиданностью, и в этот день тест проводиться не будет».
Услышав это заявление, ученики задрожали от страха. Ведь им придется каждый день жить в напряжении, не зная, когда именно будет тест. Однако ученик А, самый блестящий в классе, вдруг усмехнулся и встал.
«Ребята, можете расслабиться. Абсолютно невозможно, чтобы на следующей неделе был неожиданный тест. Это логически невозможно!»
Ученик А с полной уверенностью начал писать на доске следующую «безупречную логику».
2. Доказательство с помощью «безупречной логики» ученика А
Доказательство ученика А использует математический метод, называемый обратным рассуждением (рассуждение в обратном направлении), начиная с «пятницы».
Шаг 1: Исключение вероятности пятницы
Предположим, что в течение четырех дней — понедельника, вторника, среды и четверга — тест так и не был проведен. Тогда единственным оставшимся днем будет «пятница». Утром в пятницу ученики смогут с уверенностью предсказать: «Остался только сегодняшний день, поэтому тест, без сомнения, будет сегодня!» Согласно заявлению учителя, «если день можно предсказать, тест проводиться не будет», поэтому логически невозможно провести неожиданный тест в пятницу. Следовательно, теста в пятницу абсолютно точно не будет.
Шаг 2: Исключение вероятности четверга
Было установлено, что в пятницу теста не будет. Это означает, что последним возможным днем для проведения теста является «четверг». Предположим, что в течение трех дней — понедельника, вторника и среды — тест так и не был проведен. Тогда единственным оставшимся возможным днем будет четверг (пятница уже исключена). Утром в четверг ученики смогут с уверенностью предсказать: «Тест будет сегодня!» Следовательно, теста в четверг тоже абсолютно точно не будет.
Шаг 3: Исключение всех дней недели
Достаточно просто повторить ту же логику. Если не четверг, то последним днем будет среда. Следовательно, если до вторника теста не было, его можно будет предсказать утром в среду, поэтому среда также исключается. Если исключается среда, то исключается и вторник, и понедельник. Вывод: пока соблюдаются правила учителя, провести неожиданный тест в любой день с понедельника по пятницу абсолютно невозможно!
(пн-чт нет теста)"] -->|Можно предсказать: «осталась только пятница»| NoFri["В пятницу тест невозможен"] Thu["Утро четверга
(пн-ср нет теста)"] -->|Можно предсказать: «в пятницу нет, значит только сегодня»| NoThu["В четверг тест невозможен"] Wed["Утро среды"] -->|Можно предсказать: «в чт и пт нет, значит только сегодня»| NoWed["В среду тест невозможен"] Tue["Утро вторника"] -->|Аналогично можно предсказать| NoTue["Во вторник тест невозможен"] Mon["Утро понедельника"] -->|Аналогично можно предсказать| NoMon["В понедельник тест невозможен"] NoFri -.-> Thu NoThu -.-> Wed NoWed -.-> Tue NoTue -.-> Mon style NoFri fill:#ff9999,stroke:#333 style NoThu fill:#ff9999,stroke:#333 style NoWed fill:#ff9999,stroke:#333 style NoTue fill:#ff9999,stroke:#333 style NoMon fill:#ff9999,stroke:#333
Ученики в классе обрадовались. Логика ученика А казалась безупречной и не имела никаких изъянов. Они весело провели выходные и, совершенно не готовясь к тесту, встретили понедельник.
Понедельник… теста не было. «Ну вот!» Вторник… теста не было. «А ведь прав был!»
И вот утро среды. Дверь класса с грохотом открывается, входит учитель и говорит:
«Итак, уберите всё со столов. Мы начинаем неожиданный тест прямо сейчас!»
Ученики впали в панику. «Н-но как!? Мы абсолютно не ожидали, что тест будет в среду!»
Учитель усмехнулся. «Вот видите, вы же не смогли его предсказать? Мое “заявление” было абсолютно верным, и неожиданный тест состоялся точно по правилам».
3. Где именно была ошибка в логике?
Хотя доказательство ученика А казалось безупречным, почему же в реальности «совершенно неожиданный тест» все-таки состоялся? Эта проблема изначально называлась «Парадоксом неожиданной казни», и она была придумана шведским математиком Леннартом Экбомом в 1940-х годах и с тех пор продолжает мучить философов и логиков.
На самом деле, для этого парадокса до сих пор нет единого мнения о том, каков «единственно правильный ответ». Однако существует несколько основных подходов к его разрешению.
Подход 1: «Парадокс знания (эпистемология)»
Самая большая ловушка в рассуждениях ученика А заключалась в том, что он включил в свои предсказания предпосылку о том, что «заявление учителя на 100% истинно».
Заявление учителя состоит из двух условий: «на следующей неделе будет проведен тест» (P) и «он не будет проведен в день, который можно предсказать» (Q). Если тест не был проведен до пятницы, ученик подумает: «Если заявление верно, остается только сегодняшний день», но в то же время появится сомнение: «Если я могу предсказать, что это будет сегодня, это противоречит условию Q заявления. Значит, само по себе заявление P (о проведении теста) с самого начала было ложью?»
В результате конфликта между убеждением, что «слова учителя абсолютно верны», и «логическим выводом», ученики пришли к ошибочному выводу (убеждению), что «учитель не будет проводить тест», и в результате, когда бы ни был проведен тест, они всегда оказывались в ситуации «неожиданности».
Подход 2: «Парадокс самореференции»
Давайте переведем слова учителя в логическое выражение. Пусть утверждение учителя будет $S$. $S = $ «Я проведу тест в некоторый день $T$. И вы не сможете предсказать этот день $T$.»
Это утверждение имеет «самореферентную структуру», при которой его истинность или ложность меняется в зависимости от того, как сами ученики воспринимают само утверждение (заявление). Подобно «Парадоксу лжеца» («Это утверждение ложно»), оно обладает свойством зацикливать логические рассуждения в бесконечный цикл.
4. «Неожиданные тесты», скрывающиеся в повседневной жизни
Этот парадокс применим не только в математике, но и в нашей повседневной жизни.
[Дилемма вечеринки-сюрприза]
Предположим, ваш друг заявляет: «В этом месяце я устрою тебе вечеринку-сюрприз на день рождения!» Услышав это, вы каждый день гадаете: «Сегодня? Завтра?» Если даже в последний день месяца вечеринки не было, вы приходите к выводу, что для выполнения условия «сюрприз (непредсказуемость)», она абсолютно не может состояться в последний день… Однако на деле, если где-то в середине месяца внезапно выносят торт, вы получаете идеальный сюрприз с мыслью: «Я действительно был удивлен!»
5. Заключение
«Парадокс неожиданной казни» (неожиданного теста) блестяще демонстрирует сложность включения самого состояния «знания (предсказания)» человека в логические вычисления.
То, что мы считаем «безупречным рассуждением», на самом деле может оказаться лишь замком на песке, построенным на необоснованном убеждении, что «оппонент будет абсолютно соблюдать правила». Если в следующий раз учитель скажет: «Я устрою неожиданный тест», кажется, самым рациональным решением будет перестать мудрить с логикой и просто покорно учиться каждый день.