Сверхтекучесть и конденсат Бозе-Эйнштейна: физика макроскопических квантовых явлений вблизи абсолютного нуля

В современной физике мир сверхнизких температур вблизи абсолютного нуля (0 К = -273,15 ℃) является сокровищницей удивительных явлений, которые сильно противоречат нашей повседневной интуиции. Среди них «сверхтекучесть» (Superfluidity) и «конденсат Бозе-Эйнштейна» (Bose-Einstein Condensation, КБЭ) продолжают очаровывать многих физиков как яркие представители «макроскопических квантовых явлений», в которых микроскопические квантовомеханические свойства наблюдаются непосредственно в макроскопическом масштабе.

Жидкий гелий, вязкость которого становится абсолютно нулевой, спонтанно ползет вверх по стенкам сосуда. Термомеханический эффект (фонтанный эффект), при котором жидкость бьет из тонкого сопла при освещении светом. И КБЭ, в котором триллионы атомов переходят в совершенно одинаковое квантовое состояние, ведя себя как единая гигантская волна материи. В этой статье мы подробно и с академической точки зрения рассмотрим, как были открыты и теоретически объяснены эти явления, начиная с их исторического контекста и заканчивая передовым теоретическим каркасом.

Глава 1: Вызов абсолютному нулю и история сжижения гелия

1.1 Заря физики низких температур и сжижение постоянных газов

Во второй половине 19 века одной из главных тем в физике был вопрос: «Можно ли сжижить все газы путем охлаждения и давления?». Благодаря усилиям Майкла Фарадея и других ученых многие газы были сжижены, но кислород, азот, водород и гелий назывались «постоянными газами», и их сжижение считалось крайне сложной задачей.

Однако с развитием термодинамики и прогрессом в технологиях охлаждения с использованием эффекта Джоуля-Томсона в 1877 году был сжижен кислород, а в 1898 году Джеймс Дьюар достиг сжижения водорода (температура кипения около 20 К). Последним непокоренным газом оставался гелий.

1.2 Сжижение гелия и триумф Камерлинг-Оннеса

Хейке Камерлинг-Оннес, основавший криогенную лабораторию в Лейденском университете в Нидерландах, провел тщательную подготовку и построил гигантскую установку для сжижения. 10 июля 1908 года, используя жидкий водород для предварительного охлаждения и многократно применяя расширение Джоуля-Томсона, он наконец преуспел в сжижении гелия. Температура кипения жидкого гелия составляет 4,2 К, и человечество открыло дверь в мир сверхнизких температур, находящийся всего в 4 градусах от абсолютного нуля. За это достижение Камерлинг-Оннес был удостоен Нобелевской премии по физике в 1913 году.

Создание жидкого гелия позже привело непосредственно к открытию сверхпроводимости в 1911 году (явлению, при котором электрическое сопротивление ртути падает до нуля при 4,2 К), но потребовалось еще несколько десятилетий, прежде чем были выявлены аномальные свойства самого жидкого гелия.

1.3 Лямбда-переход и открытие сверхтекучести

В 1920-х и 1930-х годах Виллем Хендрик Кеезом и другие обнаружили, что при дальнейшем охлаждении жидкого гелия его теплоемкость демонстрирует логарифмическую расходимость при температуре около 2,17 К. Поскольку график изменения теплоемкости от температуры напоминает греческую букву «$\lambda$» (лямбда), этот фазовый переход назвали «$\lambda$-переходом». Фазу при температуре выше 2,17 К ($T_\lambda$) называют «гелием-I», а при более низкой температуре — «гелием-II».

Гелий-II демонстрировал аномальное поведение, совершенно отличное от обычных жидкостей. Самые драматичные открытия последовали друг за другом в 1938 году. Петр Капица в Москве, а также Джон Аллен и Дон Майзнер в Кембриджском университете независимо друг от друга обнаружили, что гелий-II протекает через чрезвычайно тонкие капилляры без сопротивления (с нулевой вязкостью).

Капица назвал эту аномальную текучесть «сверхтекучестью» (Superfluidity) по аналогии со сверхпроводимостью (Superconductivity). В экспериментах, проведенных Капицей, два стеклянных диска помещались друг напротив друга, образуя микроскопический зазор (в несколько микрон), и измерялась вязкость при протекании через него жидкого гелия. В гелии-I наблюдалось сопротивление, типичное для обычной вязкой жидкости, но в момент падения температуры ниже $T_\lambda$ скорость истечения резко возрастала, и было подтверждено, что кажущийся коэффициент вязкости падает по меньшей мере до величины, составляющей $10^{-4}$ от обычного значения.

Еще более странным было то, что измерения с помощью ротационного вискозиметра (эксперимент, в котором цилиндр вращался в жидкости) дали противоречивые результаты, показав, что гелий-II ведет себя так, как будто он все еще обладает конечной вязкостью. Это на первый взгляд непостижимое явление: «нулевая вязкость в узких трубках и вязкое сопротивление вращающемуся телу», — будет блестяще разрешено более поздней «двухжидкостной моделью».

Глава 2: Теоретический каркас конденсата Бозе-Эйнштейна (КБЭ)

Ключ к пониманию сверхтекучести жидкого гелия с микроскопической точки зрения лежит в квантовой статистической механике. Атом гелия-4 состоит из 2 протонов, 2 нейтронов и 2 электронов, и сумма их спинов является целым числом (0). То есть гелий-4 является «бозоном» (частицей Бозе). Мы выведем теоретический каркас того, что происходит, когда ансамбль бозонов охлаждается в сторону абсолютного нуля.

2.1 Статистика Бозе и статистика Ферми

В квантовой механике тождественные частицы принципиально неразличимы. Исходя из симметрии волновой функции по отношению к перестановке частиц, частицы делятся на две большие категории:

Бозоны (частицы Бозе): частицы с целым спином. Волновая функция симметрична (знак не меняется) при перестановке частиц. Они не подчиняются принципу исключения Паули, и множество частиц может одновременно занимать одно и то же квантовое состояние.
Фермионы (частицы Ферми): частицы с полуцелым спином. Волновая функция антисимметрична (знак меняется) при перестановке частиц. Подчиняясь принципу исключения Паули, только одна частица может находиться в одном и том же квантовом состоянии.

$$ \langle n_i \rangle = \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} - 1} $$

Здесь, чтобы число частиц было неотрицательным, во всех состояниях $i$ должно выполняться условие $\epsilon_i - \mu > 0$. Если мы примем энергию основного состояния $\epsilon_0 = 0$, то химический потенциал всегда должен удовлетворять условию $\mu \leq 0$.

2.2 Тепловая длина волны де Бройля и появление макроскопической волновой функции

$$ \lambda_{dB} = \sqrt{\frac{2\pi \hbar^2}{m k_B T}} $$

При высоких температурах $\lambda_{dB}$ очень мала и намного меньше среднего расстояния между частицами $d = (V/N)^{1/3}$. В это время частицы ведут себя как классические бильярдные шары и могут быть в достаточной степени аппроксимированы статистикой Максвелла-Больцмана. Однако по мере снижения температуры $T$ $\lambda_{dB}$ постепенно увеличивается. И при некоторой критической температуре $T_c$ длина волны $\lambda_{dB}$ становится сопоставимой с межчастичным расстоянием $d$ ($\lambda_{dB} \sim d$). В это время волновые функции отдельных частиц начинают пространственно перекрываться, и квантовомеханические эффекты интерференции проявляются в макроскопическом масштабе.

При дальнейшем снижении температуры большое число бозонов лавинообразно падает в состояние с наименьшей энергией (основное состояние). В этом состоянии бесчисленное множество частиц начинает вести себя как единая гигантская волна материи с совершенно одинаковой фазой, то есть как «макроскопическая волновая функция» (Macroscopic Wavefunction) $\Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{n_0(\mathbf{r})} e^{i\theta(\mathbf{r})}$. Это и есть конденсат Бозе-Эйнштейна (КБЭ).

2.3 Математический вывод температуры конденсации $T_c$

$$ N = \sum_i \frac{1}{e^{\beta(\epsilon_i - \mu)} - 1} $$$$ D(\epsilon) = \frac{V}{(2\pi)^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \sqrt{\epsilon} $$$$ N_{ex} = \int_0^\infty D(\epsilon) \frac{1}{e^{\beta(\epsilon - \mu)} - 1} d\epsilon $$$$ N_{max} = \frac{V}{(2\pi)^2} \left( \frac{2m}{\hbar^2} \right)^{3/2} \int_0^\infty \frac{\sqrt{\epsilon}}{e^{\beta \epsilon} - 1} d\epsilon $$$$ \int_0^\infty \frac{\sqrt{\epsilon}}{e^{\beta \epsilon} - 1} d\epsilon = (k_B T)^{3/2} \int_0^\infty \frac{x^{1/2}}{e^x - 1} dx = (k_B T)^{3/2} \Gamma(3/2) \zeta(3/2) $$$$ N_{max} = V \left( \frac{m k_B T}{2\pi \hbar^2} \right)^{3/2} \zeta(3/2) = \frac{V}{\lambda_{dB}^3} \zeta(3/2) $$

Что произойдет, если полное число частиц $N$ превысит $N_{max}$? Лишним частицам $N_0 = N - N_{max}$ не остается ничего другого, как конденсироваться в основное состояние с энергией $\epsilon = 0$, которое не включено в интеграл ($\epsilon > 0$). В этом и заключается математический механизм КБЭ.

Критическая температура $T_c$, при которой начинается конденсация, определяется как температура, при которой $N = N_{max}(T_c)$. Решая это уравнение относительно $T_c$, получаем: $$ T_c = \frac{2\pi \hbar^2}{m k_B} \left( \frac{n}{\zeta(3/2)} \right)^{2/3} $$ (где $n = N/V$ — плотность числа частиц) Эта формула дает точное значение температуры перехода КБЭ для идеального газа без взаимодействия. Подстановка плотности жидкого гелия дает $T_c \approx 3,1$ К, что близко к фактической температуре $\lambda$-перехода в 2,17 К. Это совпадение убедительно свидетельствует о том, что сверхтекучесть гелия-II — явление, по своей сути связанное с КБЭ. Однако жидкий гелий является «квантовой жидкостью с сильными корреляциями», где взаимодействие между частицами очень велико, поэтому возникает отклонение от модели идеального газа.

Глава 3: Двухжидкостная модель Тисы и Ландау

Чтобы объяснить странное свойство сверхтекучего гелия: «течет с нулевой вязкостью в узких капиллярах, но оказывает вязкое сопротивление вращающимся телам», Ласло Тиса в 1938 году предложил новаторскую феноменологию. Впоследствии, в 1941 году, Лев Ландау завершил ее как более совершенную теорию, основанную на микроскопических квантовомеханических принципах, и она стала известна как «Двухжидкостная модель» (Two-Fluid Model).

3.1 Сосуществование нормальной и сверхтекучей компонент

$$ \rho = \rho_n + \rho_s $$$$ \mathbf{j} = \rho_n \mathbf{v}_n + \rho_s \mathbf{v}_s $$

Здесь,

Нормальная компонента (Normal fluid component, $\rho_n$): Компонента, обладающая конечной вязкостью и переносящая энтропию. Соответствует группе частиц, находящихся в термически возбужденном состоянии.
Сверхтекучая компонента (Superfluid component, $\rho_s$): Компонента с абсолютно нулевой вязкостью, не обладающая энтропией (находящаяся в состоянии, эквивалентном абсолютному нулю). Соответствует группе частиц, находящихся в макроскопическом квантовом состоянии (состоянии КБЭ).

При абсолютном нуле ($T = 0$) все является сверхтекучей компонентой ($\rho_s = \rho, \rho_n = 0$), но по мере повышения температуры доля нормальной компоненты увеличивается, и при $T_\lambda$ сверхтекучая компонента исчезает ($\rho_s = 0, \rho_n = \rho$).

При использовании этой модели противоречие с вязкостью блестяще разрешается. В эксперименте с прохождением через ультратонкие капилляры вязкая нормальная компонента блокируется трением о стенки трубки, а сверхтекучая компонента без вязкости беспрепятственно проходит насквозь, поэтому кажущаяся вязкость равна нулю. С другой стороны, в эксперименте с вращением цилиндра в объеме жидкости цилиндр испытывает трение с нормальной компонентой, поэтому наблюдается конечная вязкость.

3.2 Термомеханический эффект (фонтанный эффект) и механокалорический эффект

Свойство сверхтекучей компоненты «не иметь энтропии» приводит к удивительным явлениям, при которых тепло и поток вещества оказываются напрямую связаны. Наиболее ярким примером является «термомеханический эффект» (Thermomechanical effect) или «фонтанный эффект» (Fountain effect).

$$ \Delta P = \rho S \Delta T $$

(где $S$ — энтропия на единицу массы).

И наоборот, если гелий-II продавливать через суперфильтр, вытекает только сверхтекучая компонента, не обладающая энтропией, в результате чего температура оставшейся жидкости повышается. Это называется механокалорическим эффектом.

3.3 Физика второго звука (Second Sound)

В обычных жидкостях «звуковая волна» — это волна сжатия и разрежения плотности (волна давления). Однако в гелии-II существуют два независимых поля скоростей $\mathbf{v}_n$ и $\mathbf{v}_s$, поэтому могут распространяться два типа волн:

Первый звук (First Sound): волна, в которой нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в одинаковой фазе. Соответствует обычной волне плотности (волне давления).
Второй звук (Second Sound): волна, в которой нормальная и сверхтекучая компоненты колеблются в противофазе (в противоположных направлениях). Поскольку плотность остается постоянной, а соотношение нормальной (сгусток энтропии) и сверхтекучей компонент пространственно колеблется, это фактически распространяется как «температурная волна (тепловая волна)».

В обычных материалах тепло передается как диффузионное явление, но в гелии-II тепло распространяется как «волна» без затухания со скоростью звука (скоростью второго звука). Это явление также было предсказано Ландау, и его последующее экспериментальное подтверждение стало решающим доказательством правильности двухжидкостной модели.

Глава 4: Критическая скорость сверхтекучести Ландау и спектр элементарных возбуждений

Теория конденсата Бозе-Эйнштейна исходила из идеального газа и поэтому не могла объяснить сильное взаимодействие между атомами гелия. На самом деле в идеальном бозе-газе без взаимодействий сверхтекучесть не возникает (он легко возбуждается за счет рассеяния на примесях). Лев Ландау сформулировал жидкий гелий как «фоновую жидкость в основном состоянии при абсолютном нуле» с газом «элементарных возбуждений» (Elementary Excitations) поверх нее.

4.1 Фононы и ротоны: дисперсионная кривая энергия-импульс

Чтобы объяснить тепловые свойства гелия-II, Ландау постулировал следующее соотношение между энергией $\epsilon$ и импульсом $p$ (дисперсионное соотношение $\epsilon(p)$) для элементарных возбуждений.

$$ \epsilon(p) = c p $$
($c$ — скорость первого звука)
$$ \epsilon(p) = \Delta + \frac{(p - p_0)^2}{2\mu} $$
Здесь $\Delta$ — энергетическая щель ротона, $p_0$ — импульс в точке минимума, $\mu$ — эффективная масса ротона.

Эта необычная дисперсионная кривая впоследствии была исключительно точно измерена в экспериментах по неупругому рассеянию нейтронов, блестяще подтвердив гениальную интуицию Ландау.

4.2 Доказательство невозможности рассеяния с нулевым трением через критическую скорость $v_c$

Величайшим достижением Ландау стало использование этого дисперсионного соотношения для механического доказательства того, «почему гелий-II может течь без трения о стенки», что является фундаментальным механизмом сверхтекучести (теорема Ландау о критической скорости).

$$ \Delta E = \mathbf{v} \cdot \mathbf{p} = \epsilon(p) $$$$ v \geq \frac{\epsilon(p)}{p} $$$$ v_c = \min \left[ \frac{\epsilon(p)}{p} \right] $$

Если бы жидкий гелий был идеальным бозе-газом, он имел бы дисперсионное соотношение свободной частицы $\epsilon(p) = p^2 / 2m$, следовательно, $v_c = \min [p/2m] = 0$, и как бы медленно он ни двигался, возникало бы возбуждение, и сверхтекучести не было бы. Однако в реальном жидком гелии из-за взаимодействий дисперсионная кривая начинается линейно ($\epsilon = c p$), поэтому наклон около начала координат равен $c$ (скорость звука, около 240 м/с). Если найти минимум по всей форме дисперсионной кривой, наклон касательной к ротонному минимуму дает $v_c$, значение которого составляет около 60 м/с. (※Критическая скорость, наблюдаемая в реальных экспериментах, намного меньше, порядка нескольких см/с, но Ричард Фейнман и другие позже объяснят это механизмом генерации «квантовых вихрей».)

Таким образом, наличие «щели» или «конечного наклона» в дисперсионном соотношении энергии системы является абсолютным условием, гарантирующим сверхтекучесть (течение без трения).

Глава 5: Квантованный вихрь (Quantized Vortex) и топологические дефекты

Хотя теория критической скорости Ландау объясняла микроскопическое происхождение сверхтекучести, причина, по которой экспериментально наблюдаемая критическая скорость была намного ниже теоретического значения, оставалась загадкой. Эту загадку разгадали и связали с фазой (топологией) макроскопической волновой функции сверхтекучей жидкости Ларс Онзагер и Ричард Фейнман с помощью теории «квантованных вихрей».

5.1 Фаза макроскопической волновой функции и квантование циркуляции

$$ \mathbf{v}_s = \frac{\hbar}{m} \nabla \theta $$$$ \kappa = \oint_C \mathbf{v}_s \cdot d\mathbf{r} = \frac{\hbar}{m} \oint_C \nabla \theta \cdot d\mathbf{r} $$$$ \Delta\theta = 2\pi n \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) $$$$ \kappa = \frac{\hbar}{m} (2\pi n) = n \frac{h}{m} $$

То есть циркуляция в сверхтекучей жидкости не может принимать непрерывные значения и является полностью «квантованной» с шагом, кратным $h/m$ (постоянная Планка $h$, деленная на массу атома гелия $m$). Это и есть «квантование циркуляции».

5.2 Вихревая решетка во вращающемся жидком гелии и топологические дефекты

Если вращать сосуд с обычной вязкой жидкостью, жидкость вращается вся целиком как твердое тело, образуя параболоид. Однако сверхтекучий гелий (его сверхтекучая компонента) обладает свойством $\nabla \times \mathbf{v}_s = (\hbar/m) \nabla \times \nabla \theta = 0$, то есть является безвихревым (без вращения), поэтому при медленном вращении сосуда его содержимое не вращается вместе с ним. Однако при постепенном увеличении скорости вращения в тот момент, когда она превышает некоторую критическую угловую скорость, в сверхтекучую жидкость проникает бесчисленное множество линий «квантованных вихрей» (Quantized Vortex).

В центре (ядре) квантованного вихря фаза становится сингулярной и не может быть определена, поэтому плотность сверхтекучей компоненты $n_0$ обращается в нуль (то есть она становится нормальной компонентой или вакуумом). Вокруг ядра жидкость вращается с квантованной циркуляцией $\kappa = h/m$ (энергетически наиболее стабильным обычно является минимальное состояние $n=1$). При дальнейшем увеличении скорости вращения количество квантованных вихрей возрастает, они отталкиваются друг от друга и образуют правильную треугольную решетку (вихревую решетку, аналогичную решетке Абрикосова). Макроскопически это скопление бесчисленных квантованных вихрей ведет себя так, как будто вся жидкость вращается как твердое тело.

Расхождение критической скорости Ландау также объяснялось этими квантованными вихрями. При протекании через стенки капилляра, даже при очень малых скоростях потока, квантованные вихри генерируются на микроскопических неровностях стенок. Поскольку энергия, необходимая для создания этого квантованного вихря, намного ниже энергии ротонного возбуждения, экспериментальная критическая скорость оказалась намного меньше теоретического значения Ландау. Квантованные вихри действуют как «топологические дефекты», разрушающие сверхтекучесть.

Глава 6: Реализация газового КБЭ с помощью лазерного охлаждения и развитие современной физики

Поскольку взаимодействие между частицами в жидком гелии чрезвычайно велико, доля конденсата составляет всего около 10% даже при абсолютном нуле, что далеко от КБЭ чистого идеального газа. Для реализации истинного «КБЭ в разбавленном газе» было необходимо охладить газ, в котором взаимодействием между атомами можно пренебречь, почти до абсолютного нуля.

6.1 Достижение КБЭ в газе щелочных атомов

В 1980-х и 1990-х годах были разработаны инновационные методы лазерного охлаждения (доплеровское охлаждение, сизифово охлаждение), магнитных ловушек и испарительного охлаждения, что позволило охлаждать атомные газы до области нанокельвинов ($10^{-9}$ К). В 1995 году Эрик Корнелл и Карл Виман из Университета Колорадо (JILA), используя газ атомов рубидия ($^{87}$Rb), и Вольфганг Кеттерле из Массачусетского технологического института (MIT), используя газ атомов натрия ($^{23}$Na), впервые в истории человечества преуспели в прямом наблюдении конденсации Бозе-Эйнштейна в разбавленном газе щелочных металлов. За это достижение они были удостоены Нобелевской премии по физике в 2001 году.

В эксперименте, проведенном группой Кеттерле, два независимых КБЭ заставляли пространственно интерферировать, в результате чего наблюдались четкие «интерференционные полосы». Это было убедительным доказательством того, что макроскопический сгусток материи ведет себя как единая волна материи.

6.2 Сверхтекучесть в оптической решетке и переход Мотта в изолятор

Современные исследования КБЭ выходят за рамки простого подтверждения явлений и развиваются в сторону применения в качестве «квантовых симуляторов». Когда КБЭ вводится в периодический потенциал (оптическую решетку, Optical Lattice), создаваемый интерференцией встречных лазерных лучей, атомы ведут себя как электроны в кристаллической решетке твердого тела. Регулируя интенсивность лазера, можно свободно контролировать соотношение между взаимодействием атомов и прыжками (туннелированием в соседний узел). При слабом взаимодействии атомы свободно перемещаются по всей системе в фазово-согласованном «сверхтекучем состоянии», но по мере усиления взаимодействия атомы локализуются по одному в каждом узле решетки, вызывая квантовый фазовый переход в состояние «изолятора Мотта» (Mott Insulator), в котором макроскопическая фазовая когерентность полностью разрушается. Этот переход от сверхтекучести к изолятору Мотта (наблюдавшийся Грайнером и др. в 2002 году) открыл путь к точному тестированию модели Хаббарда сильно коррелированных электронных систем (таких как высокотемпературные сверхпроводники) в идеальной искусственной системе.

6.3 Единое понимание со сверхпроводимостью (КБЭ куперовских пар)

Наконец, коснемся глубокой связи между сверхтекучестью и сверхпроводимостью. Сверхпроводимость можно интерпретировать как явление (теория БКШ), при котором электроны проводимости (фермионы) в металле образуют пары (куперовские пары) за счет силы притяжения, опосредованной фононами (колебаниями решетки), и эти пары ведут себя как бозоны, подвергаясь КБЭ. В последние годы с использованием фермионных атомных газов активно ведутся исследования «кроссовера БКШ-КБЭ», в которых взаимодействие между атомами контролируется магнитным полем (резонанс Фешбаха), непрерывно меняя состояние от КБЭ молекул (предел КБЭ) к БКШ-состоянию куперовских пар (предел БКШ).

Сверхтекучесть и КБЭ — это фундаментальные физические явления, в которых законы микроскопической квантовой механики распространяются на макроскопические масштабы повседневной жизни. Течение с нулевой вязкостью, квантование циркуляции, интерференция волн материи. Все это не что иное, как самая фундаментальная и чистая форма Вселенной, которую природа демонстрирует нам в экстремальных условиях абсолютного нуля.