Санкт-Петербургский парадокс: сколько вы заплатите за игру с «бесконечным» математическим ожиданием?

1. Игра мечты с «бесконечным» математическим ожиданием

Представьте, что вы идете по казино, и дилер предлагает вам сыграть в новую игру с подбрасыванием монеты.

【Правила игры】

Вы платите вступительный взнос, чтобы начать игру.
Подбрасывается монета. Если выпадает орел, призовой фонд удваивается, и вы можете подбросить монету еще раз.
Игра заканчивается, как только выпадает решка. Вы получаете призовой фонд, накопленный к этому моменту.

Начальный призовой фонд составляет 2 доллара.

Если при первом броске выпадает решка, вы получаете 2 доллара и игра заканчивается.
Если при первом броске выпадает орел, а при втором — решка, вы получаете 4 доллара и игра заканчивается.
Если при первом и втором бросках выпадает орел, а при третьем — решка, вы получаете 8 долларов и игра заканчивается.
…и так далее: пока выпадает орел, призовой фонд удваивается: 16 долларов, 32 доллара, 64 доллара…

graph TD Start["Начало игры"] --> Toss1{"1-й бросок"} Toss1 -->|Решка (1/2)| End1["Конец: выигрыш 2$"] Toss1 -->|Орел (1/2)| Toss2{"2-й бросок"} Toss2 -->|Решка (1/2)| End2["Конец: выигрыш 4$"] Toss2 -->|Орел (1/2)| Toss3{"3-й бросок"} Toss3 -->|Решка (1/2)| End3["Конец: выигрыш 8$"] Toss3 -->|Орел (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Чем длиннее серия| Infinite["Приз удваивается до бесконечности!"]

А теперь вопрос к вам. Если бы вступительный взнос за эту игру составлял «10 000 долларов», вы бы согласились участвовать?

Вероятно, большинство людей ответят: «Нет, не соглашусь». Ведь с вероятностью 50% при первом же броске выпадет решка, вы получите всего 2 доллара и понесете огромные убытки.

Однако, если строго рассчитать математическое ожидание (теория вероятностей), обнаружится удивительный факт. Математически вам следует занять все возможные деньги и участвовать в этой игре, независимо от того, стоит ли вход 10 000 долларов или 100 миллионов.

Почему же так происходит?

2. Давайте посчитаем математическое ожидание

Математическим показателем, позволяющим судить о том, «выгодна или убыточна» азартная игра, является «математическое ожидание». Математическое ожидание — это число, которое показывает, «сколько в среднем вы будете выигрывать за одну игру, если повторите ее много раз». Формула расчета — это сумма произведений «возможного выигрыша» на «вероятность этого выигрыша».

Давайте рассчитаем математическое ожидание для нашей игры.

Вероятность того, что решка выпадет при первом броске: $\frac{1}{2}$ Призовой фонд: $2$ доллара. Вклад в ожидание = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при втором броске: выпадает орел, затем решка, поэтому $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ Призовой фонд: $4$ доллара. Вклад в ожидание = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при третьем броске: выпадает орел, орел, решка, поэтому $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ Призовой фонд: $8$ долларов. Вклад в ожидание = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ доллар
Вероятность того, что решка выпадет при $n$-ном броске: $(\frac{1}{2})^n$ Призовой фонд: $2^n$ долларов. Вклад в ожидание = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ доллар

Иными словами, на каком бы шаге ни закончилась игра, математическое ожидание для этого исхода всегда будет равно «1 доллару». Поскольку игра может продолжаться до бесконечности, сумма всех этих математических ожиданий будет выглядеть так:

$$ \text{Общее ожидание} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (бесконечность)} $$

Математика выдала ответ: «Математическое ожидание этой игры равно бесконечности». Раз ожидание бесконечно, то, независимо от стоимости входного билета, теоретически это абсолютно «выгодная игра».

Именно это противоречие, сформулированное Николаем Бернулли в 1713 году, называется «Санкт-Петербургским парадоксом». Правильный математический расчет (игра имеет бесконечную ценность) жестко противоречит здравому смыслу человека (он готов заплатить всего несколько долларов).

3. Открытие «полезности», устранившее разрыв между математикой и человеком

Этот парадокс разрешил двоюродный брат Николая, гениальный математик Даниил Бернулли. (Парадокс получил такое название, потому что Даниил опубликовал свою статью в Петербургской академии наук).

Даниил обратился к человеческой психологии. Он предположил: «Люди оценивают вещи не по ‘абсолютной сумме’ денег, а по ‘удовлетворению (полезности)’, которое эти деньги приносят».

Это называется «законом убывающей предельной полезности».

Ценность денег падает в зависимости от того, сколько их у вас уже есть

Например, когда вы находитесь в пустыне и умираете от жажды, первый стакан воды обладает такой ценностью (удовлетворением), что вы готовы отдать за него «даже 10 000 долларов». Однако со вторым, третьим и последующими стаканами ценность одной порции воды стремительно падает. К десятому стакану вы скажете: «Даже бесплатно не надо».

То же самое происходит и с деньгами.

«10 000 долларов» для человека без сбережений имеют колоссальную ценность, способную спасти его жизнь.
Но те же «10 000 долларов» для Илона Маска, обладающего активами в миллиарды, имеют не больше ценности (удовлетворения), чем найденная на дороге монета.

Иными словами, даже если призовой фонд бесконечно удваивается: 2 доллара $\rightarrow$ 4 доллара $\rightarrow$ 8 долларов $\rightarrow$ 16 долларов…, ощущаемая человеком «радость (полезность)» не растет до бесконечности пропорционально сумме.

4. Пересчет математического ожидания с использованием «полезности»

Даниил Бернулли выдвинул гипотезу, что «ценность денег (полезность), ощущаемая человеком, пропорциональна логарифму ($\log$) суммы».

Обозначив сумму как $x$, выразим воспринимаемую человеком ценность (полезность) $u(x)$ в виде логарифмической функции (для простоты возьмем модель с основанием 2).

Полезность выигрыша $2$ доллара: $\log_2(2) = 1$
Полезность выигрыша $4$ доллара: $\log_2(4) = 2$
Полезность выигрыша $8$ долларов: $\log_2(8) = 3$
Полезность выигрыша $2^n$ долларов: $\log_2(2^n) = n$

Сумма денег удваивается, но человеческая «радость» растет лишь понемногу: 1, 2, 3… Давайте заново рассчитаем математическое ожидание (ожидаемую полезность), используя эту «полезность».

$$ \text{Ожидаемая полезность} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Если вычислить сумму этого бесконечного ряда, результат не будет равен «бесконечности», а сойдется к «2». Обратно вычислив сумму, соответствующую полезности «2», получим $2^2 = 4$ доллара.

Таким образом, если пересчитать ожидание с учетом человеческой психологии (полезности), получается чрезвычайно разумный и реалистичный ответ: «С точки зрения человеческого восприятия ценность этой игры составляет примерно ‘4 доллара’». Именно поэтому мы не испытываем желания платить 10 000 долларов за участие в ней.

5. Заключение: парадокс, открывший двери в экономику

Санкт-Петербургский парадокс стал революционным открытием, математически доказавшим несовпадение объективных цифр («суммы денег») и субъективной ценности («человеческого удовлетворения»).

Концепция «полезности (Utility)», предложенная Даниилом Бернулли, спустя 200 лет стала важнейшей основой современной микроэкономики и финансовой инженерии (например, теории портфеля). Наши действия, такие как покупка страховки или диверсификация инвестиций, полностью объясняются этим психологическим механизмом человека, известным как «убывающая предельная полезность» (страдание от больших убытков намного перевешивает радость от большой прибыли).

Простая математическая задачка об азартной игре стала ключом к пониманию человеческого разума и рождению огромной науки — экономики.