1. Правила странного эксперимента

Вы (Спящая красавица) были выбраны в качестве испытуемой в некотором научном эксперименте. Эксперимент проводится с воскресенья по среду. В воскресенье вечером вам дают снотворное, и вы засыпаете.

После того как вы уснете, экспериментатор бросает одну правильную монету (монету, у которой вероятность выпадения орла и решки абсолютно равна 1/2). И в зависимости от результата, вас будут будить по следующему расписанию.

【Если монета выпала «Орлом»】

• Вас разбудят только один раз в понедельник и зададут вопрос. После этого вас снова усыпят, и вы больше не проснетесь до конца эксперимента (до среды).

【Если монета выпала «Решкой»】

• Вас разбудят в понедельник и зададут вопрос. После этого вам дадут специальное лекарство (стирающее память), и вы снова уснете.
• Вас снова разбудят во вторник и зададут тот же самый вопрос. После этого вас снова усыпят, и на этом эксперимент завершится (в среду).

※ Из-за эффекта лекарства, стирающего память, проснувшись, вы совершенно не можете вспомнить «какой сегодня день недели» и «будили ли вас в прошлом».

Итак, в понедельник (или во вторник) вы проснулись. В комнате нет ни часов, ни календаря, и вы не знаете, какой сегодня день недели.

Тут приходит экспериментатор и задает вам следующий вопрос: «Как вы думаете, какова вероятность того, что подброшенная монета выпала ‘Орлом’, учитывая ваше нынешнее состояние пробуждения?»

Вы — красавица, хорошо разбирающаяся в математике. Итак, что вы ответите?

2. Столкновение двух лагерей: 1/2 или 1/3

Эта проблема была придумана в 1990-х годах и опубликована в научном журнале философом Адамом Элгой в 2000 году. Вероятность монеты кажется очевидной, но на самом деле из-за этой проблемы математики, статистики и философы по всему миру раскололись ровно пополам на два лагеря: «сторонники 1/2» (халферы) и «сторонники 1/3» (тёрдеры), и до сих пор ведут ожесточенные споры.

Давайте послушаем «идеальную логику» каждого из лагерей.

Аргументы «сторонников 1/2» (халферов)

«Поскольку монета правильная и без подвоха, вероятность выпадения орла, естественно, составляет 1/2. Сколько бы раз экспериментатор ни будил меня после того, как я усну, и как бы ни стирал память, это никак не влияет на физический результат броска монеты. В момент броска монеты вероятность была 1/2, и мое пробуждение не дает мне никакой новой информации (никаких подсказок для того, чтобы угадать — орел это или решка). Следовательно, вероятность остается 1/2.»

Это вполне разумное мнение, в котором придается значение объективному физическому явлению и отсутствию обновления информации.

Аргументы «сторонников 1/3» (тёрдеров)

«Сам факт того, что вы ‘проснулись’, — это информация, изменяющая вероятность. Допустим, мы повторили бы этот эксперимент 100 раз (100 недель). Монета должна выпасть ‘Орлом’ 50 раз и ‘Решкой’ 50 раз.

• В те 50 недель, когда выпадал орел, вас будят только 1 раз в понедельник $\rightarrow$ Количество пробуждений при ‘Орле’ — 50 раз
• В те 50 недель, когда выпадала решка, вас будят 2 раза: в понедельник и во вторник $\rightarrow$ Количество пробуждений при ‘Решке’ — 100 раз

Иными словами, ситуация вашего пробуждения в целом возникает 150 раз, из которых ‘сценарий пробуждения при орле’ составляет 50 раз, а ‘сценарий пробуждения при решке’ — 100 раз. Следовательно, вероятность того, что пробуждение, которое вы переживаете прямо сейчас, произошло при ‘Орле’, равна 50 / 150 ＝ 1/3!»

Это сильное мнение, основанное на «фриквентизме» (частотном подходе) и «антропном принципе», где сама ситуация «я сейчас существую (наблюдаю)» включается в расчет как элемент вероятностного пространства.

3. Попробуем вычислить с помощью теоремы Байеса

Существуют также попытки разгадать эту проблему с помощью «теоремы Байеса» — математического инструмента для обновления вероятностей. Давайте систематизируем логику «сторонников 1/3» с точки зрения условной вероятности.

Состояние при пробуждении будет одним из трех:

1. $E_1$: Монета выпала «Орлом», и сейчас «Понедельник»
2. $E_2$: Монета выпала «Решкой», и сейчас «Понедельник»
3. $E_3$: Монета выпала «Решкой», и сейчас «Вторник»

Вероятность выпадения «Орла» равна $1/2$, а вероятность выпадения «Решки» равна $1/2$. Однако в случае с решкой «понедельник» и «вторник» абсолютно симметричны (их невозможно отличить из-за отсутствия памяти), поэтому вероятность возникновения $E_2$ и $E_3$ считается одинаковой.

Поскольку сумма всех вероятностей должна быть равна $1$, если мы назначим каждому пробуждению равную вероятность как независимому «событию (точке наблюдения)», то получим: $P(E_1) = 1/3$ $P(E_2) = 1/3$ $P(E_3) = 1/3$ Следовательно, делается вывод, что «вероятность того, что выпал орел ($P(E_1)$)», становится равна $1/3$.

С другой стороны, «сторонники 1/2» возражают: «Понедельник и вторник при выпадении решки ($E_2$ и $E_3$) — это зависимые события, производные от результата броска одной и той же монеты, и подсчитывать их как независимые вероятности в корне неверно».

4. Почему эта проблема не решается?

Причина, по которой «Проблема Спящей красавицы» так сильно мучает ученых, кроется вовсе не в простых ошибках в вычислениях или иллюзиях. Эта проблема затрагивает самый глубокий и фундаментальный вопрос теории вероятностей, а именно философский вопрос: «Что же такое вообще вероятность?»

• Для сторонников 1/2 вероятность — это «физическое свойство монеты» и «объективный факт».
• Для сторонников 1/3 вероятность — это «степень убежденности наблюдателя (красавицы)» и «частота наблюдений».

В этом простом эксперименте с подбрасыванием монеты сконцентрированы глубокие темы, перекликающиеся с «проблемой измерения» в квантовой механике и «антропным принципом» в космологии (идея вычисления вероятностей Вселенной исходя из факта нашего существования).

5. Заключение

Если бы вы стали испытуемым в этом эксперименте, ответили бы вы при пробуждении «1/2»? Или вы бы ответили «1/3»?

Что бы вы ни ответили, математики мирового уровня встанут за вашей спиной, чтобы защитить вас. Как математические определения, кажущиеся на первый взгляд простыми, рушатся, стоит им лишь соприкоснуться с такими сложными понятиями, как человеческая «субъективность» и «существование». Парадоксы и сегодня продолжают расшатывать наш здравый смысл.