Введение

Случайное блуждание — это математическая модель, в которой следующая позиция определяется случайным (вероятностным) образом. Его часто называют «блужданием пьяницы».

Формула (1D)

Пусть частица находится в начале координат $x = 0$. Она движется вправо $+1$ или влево $-1$ с равной вероятностью:

$$ X_i = \begin{cases} +1 & (\text{вероятность } 1/2) \\ -1 & (\text{вероятность } 1/2) \end{cases} $$

Позиция после $n$ шагов:

$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i $$

  flowchart LR
    A["Позиция 0"] -->|"+1 (Вероятность 1/2)"| B["Позиция +1"]
    A -->|"-1 (Вероятность 1/2)"| C["Позиция -1"]
    B -->|"+1"| D["Позиция +2"]
    B -->|"-1"| A
    C -->|"+1"| A
    C -->|"-1"| E["Позиция -2"]
    %% Базовая схема 1D движения

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание равно $0$, а дисперсия $n$.

Уравнение диффузии

При непрерывном пределе возникает уравнение диффузии:

$$ \frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} $$

  stateDiagram-v2
    direction LR
    state "Микроскопический взгляд" as Micro {
        [*] --> СлучайноеБлуждание
        СлучайноеБлуждание --> ДискретныеШаги
    }
    state "Макроскопический взгляд" as Macro {
        [*] --> УравнениеДиффузии
        УравнениеДиффузии --> НепрерывноеРаспространение
    }
    Micro --> Macro : "Непрерывный предел (Δx, Δt → 0)"
    %% Переход от дискретного к непрерывному

Броуновское движение и теорема Пойи

Теорема Пойи утверждает, что для 1D и 2D вероятность возврата в начало равна 1, но для 3D и выше она меньше 1.

  flowchart TD
    Start["Начало в (0,0)"] --> Dim12{"1D или 2D?"}
    Dim12 -- "Да" --> Ret12["Возврат с вер. 1 (возвратное)"]
    Dim12 -- "Нет (3D и выше)" --> Ret3["Вероятность < 1 (невозвратное)"]
    %% Ветвление теоремы Пойи

Симуляция на Python

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_random_walk_2d(steps):
    """
    Симуляция 2D случайного блуждания
    """
    directions = np.array([[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]])
    random_steps = np.random.randint(0, 4, size=steps)
    movements = directions[random_steps]
    path = np.vstack([[0, 0], np.cumsum(movements, axis=0)])
    return path

steps = 50000
path = simulate_random_walk_2d(steps)

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], alpha=0.6, color='royalblue', linewidth=0.5)
plt.scatter(0, 0, color='red', marker='x', s=150, label='Старт', zorder=5)
plt.scatter(path[-1, 0], path[-1, 1], color='darkorange', marker='o', s=100, label='Финиш', zorder=5)

plt.title(f"2D Random Walk ({steps} steps)", fontsize=16)
plt.xlabel("Ось X", fontsize=12)
plt.ylabel("Ось Y", fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axis('equal')
plt.show()