Квантовая запутанность и неравенства Белла: последнее поражение Эйнштейна и рассвет квантовой информационной революции

Квантовая запутанность (Quantum Entanglement) — величайшая загадка современной физики и одновременно ее самый мощный инструмент. А «неравенства Белла» разрушили человеческую интуицию о «локальном реализме». Это не просто теоретические игры физики; они сталкивают нас с фундаментальными свойствами Вселенной и служат основой для технологий следующего поколения, таких как квантовые компьютеры и квантовая криптография.

В этой статье мы подробно, с точки зрения физики, квантовой информатики и философии науки, рассмотрим грандиозную драму, начавшуюся со статьи ЭПР Эйнштейна и его коллег в 1935 году, включая мучительные поиски теорий скрытых параметров, исторический вывод неравенств Джоном Стюартом Беллом, математическое доказательство неравенства CHSH и максимального нарушения в квантовой механике (граница Цирельсона), а также экспериментальную проверку Аленом Аспе и путь к Нобелевской премии по физике 2022 года. Кроме того, мы углубимся в математические выкладки, рассматривая полное опровержение локального реализма с помощью многочастичной запутанности в состоянии GHZ, строгий протокол квантовой телепортации и методы количественной оценки запутанности.

Глава 1: 1935 год, контрудар Эйнштейна

В то время как квантовая механика формулировалась Копенгагенской школой (Нильс Бор, Вернер Гейзенберг и др.) в 1920-х годах, Альберт Эйнштейн испытывал сильное недовольство ее вероятностной и недетерминированной интерпретацией. Его знаменитая фраза «Бог не играет в кости» выражает отторжение вероятностной природы, лежащей в основе квантовой механики.

В 1935 году Эйнштейн вместе с Борисом Подольским и Натаном Розеном опубликовал историческую статью «Можно ли считать квантово-механическое описание физической реальности полным?» (Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?), известную как статья ЭПР. Целью этой работы было логически доказать, что квантовая механика «неполна», то есть должны существовать «скрытые параметры», о которых мы еще не знаем.

Определение локальности и реальности

Чтобы понять логику статьи ЭПР, необходимо точно уяснить две фундаментальные концепции, которые Эйнштейн и его коллеги приняли за исходные предпосылки.

Реализм (Realism): Идея о том, что физическая система обладает определенными физическими свойствами (значениями) независимо от того, наблюдается она или нет. В статье ЭПР это определялось так: «Если, никоим образом не возмущая состояние физической системы, мы можем с уверенностью (с вероятностью 1) предсказать значение некоторой физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой физической величине». Иными словами, это здравый смысл классической механики, согласно которому объект обладает своими атрибутами детерминированно еще до измерения.
Локальность (Locality): Принцип, основанный на теории относительности, согласно которому действие или измерение, проведенное в одной из двух пространственно разделенных областей, не может мгновенно, быстрее скорости света, повлиять на физическую реальность в другой области. Согласно специальной теории относительности, передача информации со скоростью, превышающей скорость света, приводит к нарушению принципа причинности, поэтому любые физические взаимодействия ограничены скоростью света.

«Жуткое дальнодействие» (Spooky action at a distance) и парадокс ЭПР

В статье ЭПР был предложен следующий мысленный эксперимент. Представим две частицы, А и В, которые сильно взаимодействовали друг с другом, а затем разлетелись на большое расстояние. В рамках квантовой механики эти две частицы находятся в «запутанном» (Entangled) состоянии и описываются общей волновой функцией.

Предположим, мы измерили положение частицы А, $x_A$. В силу закона сохранения импульса и т.д., как только положение А определяется, положение частицы В, $x_B$, также мгновенно определяется. С другой стороны, если мы измерим импульс частицы А, $p_A$, то импульс частицы В, $p_B$, определится мгновенно. Согласно квантовой механике, положение и импульс являются некоммутирующими физическими величинами ($[x, p] = i\hbar$) и не могут одновременно иметь определенные значения (принцип неопределенности Гейзенберга). Однако создается впечатление, что выбор измерения для А (измерять положение или импульс) мгновенно, быстрее скорости света, определяет состояние В (состояние с определенным положением или состояние с определенным импульсом).

Если «локальность» верна, то измерение над А не может мгновенно повлиять на В. Эйнштейн назвал это «жутким дальнодействием» (Spukhafte Fernwirkung / Spooky action at a distance) и подверг резкой критике. Следовательно, В должна была иметь определенные значения положения и импульса (скрытые параметры) заранее, еще до измерения, и квантовая механика, которая не может полностью описать и положение, и импульс, является «неполной теорией», — заключили они. Этот парадокс стал первым шагом к глубокому пониманию сути запутанности в последующей квантовой теории информации.

Глава 2: Дилемма теорий скрытых параметров и механика Бома

После публикации статьи ЭПР физики приступили к исследованию гипотезы о том, что «квантовая механика верна, но неполна, и на более глубоком уровне должна существовать детерминированная теория (теория скрытых параметров)».

Ошибочная «теорема о невозможности» фон Неймана

Холодным душем для этих дискуссий стал гениальный математик Джон фон Нейман. В своей книге 1932 года «Математические основы квантовой механики» он представил доказательство (теорему о невозможности) того, что математически невозможно построить «теорию скрытых параметров», которая давала бы те же предсказания, что и квантовая механика. Авторитет фон Неймана был огромен, и на протяжении нескольких десятилетий в физическом сообществе господствовало мнение, что «поиски скрытых параметров бессмысленны».

Однако, как выяснилось позже, доказательство фон Неймана включало в качестве «условия, которому должны удовлетворять скрытые параметры» крайне ограничительное и нефизическое предположение (предположение о том, что аддитивность математических ожиданий некоммутирующих физических величин: $\langle A+B \rangle = \langle A \rangle + \langle B \rangle$ выполняется и на уровне скрытых параметров), и на самом деле не было полным доказательством. Грете Герман рано заметила этот недостаток, но в то время на это не обратили внимания.

Механика Бома: нелокальная теория скрытых параметров

В 1952 году Дэвид Бом опроверг теорему о невозможности фон Неймана и построил детерминированную «теорию скрытых параметров» (механику Бома, или теорию де Бройля — Бома), которая давала предсказания, полностью совпадающие с квантовой механикой. В теории Бома частицы всегда имеют определенное положение (скрытый параметр) и направляются «квантовым потенциалом», пронизывающим всю Вселенную. Этот потенциал $Q = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\nabla^2 R}{R}$, получаемый путем преобразования уравнения Шредингера в полярные координаты, обладает уникальным свойством — он не зависит от расстояния и не затухает.

Однако у механики Бома была серьезная цена. Поскольку квантовый потенциал мгновенно влияет на все пространство, эта теория по своей сути была «нелокальной». Механика Бома содержала в своей основе то самое «жуткое дальнодействие», которое Эйнштейн так ненавидел. Эйнштейн отверг теорию Бома, назвав ее «дешевым решением», и продолжал верить в существование «локальной» теории скрытых параметров.

Глава 3: Синглетное состояние частиц со спином 1/2 и строгие предсказания квантовой механики

Прежде чем перейти к неравенствам Белла, давайте полностью развернем строгий процесс вычислений бра и кет с использованием матриц Паули для корреляций запутанности, предсказываемых квантовой механикой. Именно это является ядром квантовой механики, которое впоследствии вступает в противоречие с локальным реализмом.

Предположим, создана пара частиц со спином 1/2, находящаяся в «синглетном состоянии» (Singlet State) с суммарным спином, равным нулю. Это состояние $|\psi^-\rangle$ описывается следующим образом:

$$ |\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\rangle_A \otimes |\downarrow\rangle_B - |\downarrow\rangle_A \otimes |\uparrow\rangle_B \right) $$

Здесь $|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle$ обозначают собственные состояния (базис $z$) со спином вверх ($+1$) и вниз ($-1$) соответственно. Упрощенно это можно записать как $|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\rangle)$.

Алиса измеряет спин своей частицы в направлении $\vec{a}$, а Боб — своей в направлении $\vec{b}$. Векторы направлений являются единичными векторами и в сферической системе координат могут быть выражены как $\vec{a} = (\sin\theta_a\cos\phi_a, \sin\theta_a\sin\phi_a, \cos\theta_a)$ и т. д. Оператор измерения спина для каждого направления с использованием вектора матриц Паули $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ будет равен $\sigma_a = \vec{a} \cdot \vec{\sigma}$ и $\sigma_b = \vec{b} \cdot \vec{\sigma}$.

Мы хотим узнать математическое ожидание произведения результатов измерений Алисы и Боба $\langle \sigma_a \otimes \sigma_b \rangle$. Чтобы вычислить его, мы раскладываем его согласно определению математического ожидания.

$$ \langle \psi^- | (\vec{a} \cdot \vec{\sigma}) \otimes (\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) | \psi^- \rangle $$

Сначала, как свойство матриц Паули, рассмотрим $\vec{a} \cdot \vec{\sigma} = a_x \sigma_x + a_y \sigma_y + a_z \sigma_z$. Изящный метод для упрощения вычислений — использовать то, что синглетное состояние $|\psi^-\rangle$ является ротационно-инвариантным (имеет одну и ту же форму в любом базисе). Но здесь мы выполним полное разложение с использованием более прямого алгебраического подхода.

$$ \sum_{i \in \{x,y,z\}} \sum_{j \in \{x,y,z\}} a_i b_j (\sigma_i \otimes \sigma_j) $$$$ \sum_{i,j} a_i b_j \langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_j | \psi^- \rangle $$

Здесь мы оцениваем $\langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_j | \psi^- \rangle$ для каждой компоненты.

Для $|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle)$:

$\sigma_z \otimes \sigma_z$: $\sigma_z \otimes \sigma_z |01\rangle = (+1)(-1)|01\rangle = -|01\rangle$ $\sigma_z \otimes \sigma_z |10\rangle = (-1)(+1)|10\rangle = -|10\rangle$ Следовательно, $\sigma_z \otimes \sigma_z |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, и ожидаемое значение равно $-1$.
$\sigma_x \otimes \sigma_x$: $\sigma_x \otimes \sigma_x |01\rangle = |10\rangle$ $\sigma_x \otimes \sigma_x |10\rangle = |01\rangle$ Следовательно, $\sigma_x \otimes \sigma_x \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle - |10\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|10\rangle - |01\rangle) = -|\psi^-\rangle$, и ожидаемое значение равно $-1$.
$\sigma_y \otimes \sigma_y$: Из $\sigma_y |0\rangle = i|1\rangle, \sigma_y |1\rangle = -i|0\rangle$, $\sigma_y \otimes \sigma_y |01\rangle = (i|1\rangle) \otimes (-i|0\rangle) = |10\rangle$ $\sigma_y \otimes \sigma_y |10\rangle = (-i|0\rangle) \otimes (i|1\rangle) = |01\rangle$ Следовательно, $\sigma_y \otimes \sigma_y |\psi^-\rangle = -|\psi^-\rangle$, и ожидаемое значение равно $-1$.

С другой стороны, математические ожидания для различных компонент (например, $\sigma_x \otimes \sigma_y$) все равны $0$. Это происходит потому, что, например, $\sigma_x \otimes \sigma_y |01\rangle = |1\rangle \otimes (-i|0\rangle) = -i|10\rangle$, и при взятии скалярного произведения с $\langle \psi^-|$ они исчезают из-за ортогональности.

$$ \sum_{i} a_i b_i \langle \psi^- | \sigma_i \otimes \sigma_i | \psi^- \rangle = \sum_{i} a_i b_i (-1) = - (a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z) = - \vec{a} \cdot \vec{b} $$

строго выводится. Если мы обозначим угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как $\theta$, то по определению скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = \cos\theta$ (поскольку векторы направления единичные, их длина равна 1). Следовательно, корреляция, предсказываемая квантовой механикой, выражается следующей чрезвычайно красивой и простой формулой:

$$ E(\vec{a}, \vec{b}) = \langle \sigma_a \otimes \sigma_b \rangle = - \cos\theta $$

Эта мощная корреляция $-\cos\theta$ является источником «специфического квантового поведения», которое абсолютно невозможно воспроизвести классической теорией скрытых параметров.

Глава 4: Потрясение от Джона Стюарта Белла и строгий вывод неравенства CHSH

В 1964 году ирландский физик Джон Стюарт Белл, работавший в ЦЕРН над физикой элементарных частиц, в свободное время исследовал фундаментальные проблемы квантовой механики. Учитывая, что механика Бома нелокальна, он задался следующим глубоким вопросом:

«Возможно ли вообще воспроизвести все предсказания квантовой механики с помощью “локальной” теории скрытых параметров, как того хотел Эйнштейн?»

Белл возвел эту проблему, бывшую лишь философским спором, до формы, поддающейся экспериментальной проверке с помощью строгой математической формулировки. Это и есть сияющая в истории науки «теорема Белла» (Bell’s Theorem) и «неравенства Белла». Затем, в 1969 году, Джон Клаузер, Майкл Хорн, Абнер Шимони и Ричард Холт (CHSH) вывели расширенную версию неравенства, «неравенство CHSH», которое можно было проверить в реальных экспериментах.

Предположения локального реализма и интегрально-алгебраическое разложение неравенства CHSH

$$ \int \rho(\lambda) d\lambda = 1 $$$$ A(a, \lambda) = \pm 1, \quad B(b, \lambda) = \pm 1 $$$$ A(a', \lambda) = \pm 1, \quad B(b', \lambda) = \pm 1 $$$$ E(a, b) = \int A(a, \lambda) B(b, \lambda) \rho(\lambda) d\lambda $$$$ S(\lambda) = A(a, \lambda)B(b, \lambda) + A(a, \lambda)B(b', \lambda) + A(a', \lambda)B(b, \lambda) - A(a', \lambda)B(b', \lambda) $$$$ S(\lambda) = A(a, \lambda) \left[ B(b, \lambda) + B(b', \lambda) \right] + A(a', \lambda) \left[ B(b, \lambda) - B(b', \lambda) \right] $$

Здесь возникает чрезвычайно важный логический шаг. Обе величины $B(b, \lambda)$ и $B(b', \lambda)$ всегда принимают значения $+1$ или $-1$. Следовательно, если рассмотреть их сумму и разность, существует только два возможных случая:

Случай 1: Если $B(b, \lambda) = B(b', \lambda)$ Сумма равна $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = \pm 2$, а разность равна $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = 0$.
Случай 2: Если $B(b, \lambda) = -B(b', \lambda)$ Сумма равна $B(b, \lambda) + B(b', \lambda) = 0$, а разность равна $B(b, \lambda) - B(b', \lambda) = \pm 2$.

Это предельное значение, которое абсолютно невозможно превысить, если Вселенная подчиняется «локальному реализму».

Квантово-механическое максимальное нарушение (Граница Цирельсона)

Вспомните предсказание квантовой механики $E(\vec{a}, \vec{b}) = -\cos\theta$, выведенное в главе 3. Предположим, Алиса и Боб установили свои измерительные приборы под следующими углами:

$a = 0$
$a' = \pi/2$
$b = \pi/4$
$b' = -\pi/4$

(Примечание: при использовании поляризации фотонов коэффициент отличается от спина 1/2 и равен $E = \cos(2\theta)$, но суть остается той же, если мы рассчитываем с указанными выше настройками с использованием спина) Разница углов между каждой настройкой составляет: $|a - b| = \pi/4$ $|a - b'| = \pi/4$ $|a' - b| = \pi/4$ $|a' - b'| = 3\pi/4$

Подставляя в предсказание квантовой механики, получаем: $E(a, b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a, b') = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ $E(a', b') = -\cos(3\pi/4) = +1/\sqrt{2}$

$$ S = \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) + \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) - \left( +\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} $$

Беря абсолютное значение, получаем $|S| = 2\sqrt{2} \approx 2.828$.

Это явно превышает предел локального реализма, равный $2$ ($2.828 > 2$). Это максимальное значение, достижимое квантовой механикой, называется границей Цирельсона (Tsirelson Bound). Строгое математическое доказательство показало, что локальный реализм абсолютно несовместим с предсказаниями квантовой механики.

Глава 5: Многочастичная запутанность и опровержение локального реализма «одним ударом» (All-or-Nothing)

Теорема Белла основывалась на «неравенствах» статистической корреляции. Однако в 1989 году Даниэль Гринбергер, Майкл Хорн и Антон Цайлингер показали, что, рассматривая состояние трех запутанных частиц (состояние GHZ), можно полностью опровергнуть локальный реализм противоречием результатов всего одного измерения, не прибегая к неравенствам или статистическим вероятностям. Это называется «доказательством All-or-Nothing» или «теоремой GHZ».

Свойства состояния GHZ

$$ |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle - |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle \right) $$

К нему мы применяем следующие произведения операторов Паули:

$X_1 Y_2 Y_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
$Y_1 X_2 Y_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_y^{(3)}$
$Y_1 Y_2 X_3 = \sigma_y^{(1)} \otimes \sigma_y^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$
$X_1 X_2 X_3 = \sigma_x^{(1)} \otimes \sigma_x^{(2)} \otimes \sigma_x^{(3)}$

Используя $\sigma_x |\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle, \sigma_x |\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle$ $\sigma_y |\uparrow\rangle = i|\downarrow\rangle, \sigma_y |\downarrow\rangle = -i|\uparrow\rangle$ и применяя $X_1 Y_2 Y_3$ к $|GHZ\rangle$, мы получаем: $X_1 Y_2 Y_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle (i|\downarrow\rangle) (i|\downarrow\rangle) = -|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 Y_2 Y_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle (-i|\uparrow\rangle) (-i|\uparrow\rangle) = -|\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ Следовательно, $X_1 Y_2 Y_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (-|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle + |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = |GHZ\rangle$ и собственное значение равно $+1$. Из соображений симметрии, для $Y_1 X_2 Y_3$ и $Y_1 Y_2 X_3$ собственное значение также равно $+1$.

С другой стороны, при применении $X_1 X_2 X_3$, $X_1 X_2 X_3 |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle$ $X_1 X_2 X_3 |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle$ Следовательно, $X_1 X_2 X_3 |GHZ\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\downarrow\downarrow\downarrow\rangle - |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle) = -|GHZ\rangle$ и собственное значение равно $-1$. Квантовая механика с уверенностью (с вероятностью 1) предсказывает вышеуказанные результаты.

Алгебраическое доказательство краха локального реализма

В локальном реализме предполагается, что результаты измерений определяются заранее заданными скрытыми параметрами. Пусть результаты измерений частицы 1 в направлениях X и Y равны $m_x^1, m_y^1 \in \{+1, -1\}$ соответственно. Аналогично определяем для частиц 2 и 3. Чтобы соответствовать предсказанию $+1$ квантовой механики, модель локального реализма должна удовлетворять следующим трем уравнениям:

$m_x^1 m_y^2 m_y^3 = +1$
$m_y^1 m_x^2 m_y^3 = +1$
$m_y^1 m_y^2 m_x^3 = +1$

Перемножим все эти три уравнения. $(m_x^1 m_y^2 m_y^3)(m_y^1 m_x^2 m_y^3)(m_y^1 m_y^2 m_x^3) = +1 \times +1 \times +1 = +1$ Приводя в порядок левую часть, мы умножаем каждое $m_y^i$ дважды, поэтому получаем $(m_y^i)^2 = 1$. $m_x^1 m_x^2 m_x^3 (m_y^1)^2 (m_y^2)^2 (m_y^3)^2 = m_x^1 m_x^2 m_x^3 = +1$

То есть, до тех пор, пока мы следуем локальному реализму, результат измерения $X_1 X_2 X_3$ всегда должен быть равен $+1$. Однако, как мы видели ранее, строгое предсказание квантовой механики (и фактические результаты экспериментов) равно $-1$. $+1$ и $-1$. Даже без статистических неравенств, в одном-единственном измерении локальный реализм и квантовая механика решительно противоречат друг другу, и правильность квантовой механики доказана.

(К слову, в трехчастичной запутанности существует также состояние W $|W\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle)$, обладающее свойствами, отличными от состояния GHZ, и оно обладает устойчивостью, при которой запутанность не разрушается полностью даже при потере одной частицы.)

Глава 6: Применение в квантовой информатике и строгое разложение квантовой телепортации

Запутанность превратилась из объекта парадоксов в «информационный ресурс». Типичным примером является «квантовая телепортация». Предложенная в 1993 году Чарльзом Беннеттом и его коллегами, она была впервые экспериментально продемонстрирована в 1997 году группой Антона Цайлингера (лауреата Нобелевской премии 2022 года).

Математическое разложение протокола квантовой телепортации

Предположим, у Алисы есть неизвестное квантовое состояние $|\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$, которое она хочет передать далеко находящемуся Бобу. ($|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$) Согласно теореме о запрете клонирования (No-cloning theorem), мы не можем скопировать это состояние и отправить его. Кроме того, при измерении состояние коллапсирует, и мы не сможем точно узнать неизвестные $\alpha, \beta$.

$$ |\Phi^+\rangle_{AB} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A |0\rangle_B + |1\rangle_A |1\rangle_B) $$$$ |\psi_{total}\rangle = |\phi\rangle_C \otimes |\Phi^+\rangle_{AB} = (\alpha|0\rangle_C + \beta|1\rangle_C) \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A |0\rangle_B + |1\rangle_A |1\rangle_B) $$$$ \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \alpha|000\rangle + \alpha|011\rangle + \beta|100\rangle + \beta|111\rangle \right) $$

(Индексы в порядке $C, A, B$)

Здесь Алиса выполняет «измерение Белла» (Bell measurement) над частицами C и А, находящимися у нее. Это измерение проецирует две частицы на базис следующих четырех состояний Белла: $|\Phi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle \pm |11\rangle)$ $|\Psi^\pm\rangle_{CA} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|01\rangle \pm |10\rangle)$

$$ |\psi_{total}\rangle = \frac{1}{2} \left[ |\Phi^+\rangle_{CA}(\alpha|0\rangle_B + \beta|1\rangle_B) + |\Phi^-\rangle_{CA}(\alpha|0\rangle_B - \beta|1\rangle_B) + |\Psi^+\rangle_{CA}(\alpha|1\rangle_B + \beta|0\rangle_B) + |\Psi^-\rangle_{CA}(\alpha|1\rangle_B - \beta|0\rangle_B) \right] $$

Когда Алиса проводит измерение Белла, система коллапсирует в один из этих четырех членов с вероятностью 1/4.

Если Алиса получает $|\Phi^+\rangle$, состояние Боба становится $\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle = |\phi\rangle$, и передача уже завершена (унитарный оператор $I$).
Если она получает $|\Phi^-\rangle$, состояние Боба $\alpha|0\rangle - \beta|1\rangle$. Боб применяет оператор Паули $Z$ ($\sigma_z$) и возвращается к $|\phi\rangle$.
Если она получает $|\Psi^+\rangle$, состояние Боба $\alpha|1\rangle + \beta|0\rangle$. Боб применяет оператор Паули $X$ ($\sigma_x$) и возвращается к $|\phi\rangle$.
Если она получает $|\Psi^-\rangle$, состояние Боба $\alpha|1\rangle - \beta|0\rangle$. Боб применяет $Z$, а затем $X$ ($XZ$ или $i\sigma_y$), возвращаясь к $|\phi\rangle$.

Алиса передает результаты измерений (2 бита классической информации: 00, 01, 10, 11) Бобу по обычному каналу связи (телефон или интернет). Эта связь не превышает скорость света и, следовательно, не противоречит теории относительности. Боб применяет соответствующий оператор Паули в зависимости от полученных 2 битов и блестяще восстанавливает неизвестное квантовое состояние $|\phi\rangle$. Это полный протокол квантовой телепортации.

Глава 7: Количественная оценка запутанности (Quantification)

Запутанность — это не просто «есть» или «нет», можно дать количественную оценку того, «насколько сильно они запутаны». В теории квантовой информации это чрезвычайно важная тема исследований.

1. Энтропия запутанности фон Неймана

$$ S(\rho_A) = -\text{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A) $$

В максимально запутанном состоянии, таком как состояние Белла, $\rho_A$ становится полностью смешанным состоянием (пропорциональным единичной матрице), и $S = 1$ (максимальное значение). Интуитивно говоря, это выражает суть запутанности: «Состояние целого полностью известно, но если посмотреть только на часть (система А), то информации нет вообще (она выглядит случайной)».

2. Конкуренция (Concurrence)

$$ C(\rho) = \max(0, \lambda_1 - \lambda_2 - \lambda_3 - \lambda_4) $$

$C(\rho)$ принимает значения от $0$ (нет запутанности) до $1$ (максимальная запутанность), и обладает тем мощным математическим свойством, что с помощью этого значения можно напрямую вычислить другую меру — «запутанность формирования» (Entanglement of Formation).

3. Отрицательность (Negativity)

$$ \mathcal{N}(\rho) = \frac{||\rho^{T_B}||_1 - 1}{2} $$

Это равно сумме абсолютных значений отрицательных собственных значений. Благодаря простоте вычислений это чрезвычайно полезный показатель для исследования запутанности в многомерных и многочастичных системах.

Глава 8: Экспериментальная проверка и полное закрытие лазеек (Loophole)

Теория завершена, и видны ее применения. Оставалось только выяснить в лаборатории, каким законам действительно подчиняется природа.

Эксперимент Аспе с переключателем (1982)

После того как Алиса и Боб определяют углы своих измерительных приборов, необходимо исключить возможность того, что эта информация передается на другую сторону со скоростью света или ниже и влияет на «скрытые параметры». Это называется «лазейкой локальности» (Locality Loophole). Ален Аспе и его коллеги во Франции успешно провели эксперимент, в котором они использовали акустооптические устройства для случайного сверхбыстрого переключения настроек угла измерительного прибора в то время, когда фотоны летели от источника света к измерительному прибору. Это создало ситуацию, в которой информация не могла быть передана даже с помощью сигнала со скоростью света (пространственное разделение), и было блестяще зафиксировано нарушение неравенства. «Жуткое дальнодействие» Эйнштейна стало реальностью.

Высший вызов: Абсолютно свободный от лазеек эксперимент (2015)

Даже после эксперимента Аспе оставалось небольшое пространство для возражений, например, низкая эффективность детектирования (предположение о том, что фотоны, которые не удалось измерить, имели удобные скрытые параметры — «лазейка детектирования / Fair-sampling Loophole»). Однако в 2015 году несколько исследовательских групп, в том числе из Делфтского технического университета в Нидерландах, Венского университета в Австрии и NIST в США, наконец-то успешно провели тест Белла без лазеек («Loophole-free Bell test»), закрыв одновременно все основные лазейки. В делфтском эксперименте, перепутав электронные спины в NV-центрах алмазов на расстоянии 1,3 км, удалось полностью перекрыть лазейку локальности и лазейку детектирования, вбив последний гвоздь в гроб локального реализма.

В заключение: Свет, принесенный поражением Эйнштейна

В 2022 году Нобелевская премия по физике была присуждена Алену Аспе, Джону Клаузеру и Антону Цайлингеру, заложившим решающие основы квантовой механики.

Эйнштейн ненавидел вероятностную природу и нелокальность квантовой механики и написал статью ЭПР, чтобы критиковать их. Ирония заключается в том, что его острая критика четко высветила концепцию «запутанности» и, через гений Белла, проложила человечеству путь к истинному пониманию нелокальных связей во Вселенной и их использованию в качестве технологий.

«Последнее поражение» Эйнштейна ни в коем случае не было стагнацией физики, а стало великим рассветом для человечества в освоении совершенно нового языка Вселенной — квантовой информации.

Автор: Научный обозреватель в области квантовых информационных технологий Эта статья представляет собой академический обзор, охватывающий все от основ квантовой механики до передовых квантовых информационных технологий.