[Александр Гротендик: Жизнь и достижения величайшего математика 20-го века](https://kenji.blog/p/grothendieck/)

Александр Гротендик — один из величайших математиков в истории, совершивший фундаментальный сдвиг парадигмы в математическом сообществе конца 20-го века, в частности в области алгебраической геометрии. Его достижения вышли далеко за рамки решения отдельных нерешенных задач; они фундаментально перестроили сам язык и концептуальную структуру математики. В этой статье мы подробно расскажем о его необыкновенной и драматичной жизни, а также о его неизмеримом влиянии на современную математику.

1. Бурное детство и тень войны

Жизнь Гротендика была такой же уникальной и полной лишений, как и его математические достижения.

Родители-анархисты и рождение в Берлине

Гротендик родился в Берлине, Германия, в 1928 году и воспитывался радикальными родителями-анархистами. Его отец, Саша Шапиро, был евреем российского происхождения, который бежал в Германию после того, как потерял руку из-за преследований во время русской революции. Его мать, Ханка Гротендик, была немецкой журналисткой. Оба родителя были активно вовлечены в политический активизм, и юный Александр провел часть своего раннего детства в приемных семьях.

Жизнь беженца и концентрационные лагеря

Когда в 1933 году в Германии к власти пришли нацисты, его отец почувствовал, что его жизнь в опасности, и бежал во Францию, куда позже последовала и его мать. Александр оставался со своими приемными родителями в Германии до 1939 года, когда он отправился во Францию, чтобы присоединиться к родителям по мере приближения войны.

Однако с началом Второй мировой войны судьба семьи приняла мрачный оборот. Его отец был отправлен в концентрационный лагерь Освенцим, где и погиб. Александр и его мать были интернированы в лагерь Рьёкро во Франции. Говорят, что даже в таких суровых условиях он продемонстрировал проблески своей необычайной концентрации и таланта к математике в лагерной школе. Позже его прятали в доме в протестантской деревне Шамбон-сюр-Линьон, где он смог получить среднее образование.

2. Шокирующий дебют в математическом мире

После войны Гротендик начал всерьез заниматься математикой, но его путь был весьма нетрадиционным.

Заново открывая “объем” в Университете Монпелье

В 1945 году он поступил в Университет Монпелье. Уровень математического образования там в то время был не слишком высоким, и, неудовлетворенный лекциями, он попытался строго определить понятия “длина”, “площадь” и “объем” самостоятельно. Без помощи преподавателей он полностью воссоздал теорию “меры Лебега”, ранее созданную Анри Лебегом, совершенно самостоятельно. Этот эпизод демонстрирует его врожденную склонность продумывать вещи с самых основ, не полагаясь на существующие знания.

Легенда в Нанси: 14 нерешенных проблем

В 1948 году он переехал в Париж, центр математики, и принял участие в легендарном семинаре, проводимом Анри Картаном и другими в Высшей нормальной школе. Однако, столкнувшись с пробелом в своих знаниях передовой математики, он пережил временную неудачу.

Затем он перешел в Университет Нанси, где его наставниками стали два выдающихся математика, Лоран Шварц и Жан Дьёдонне. Однажды Шварц и Дьёдонне представили Гротендику 14 нерешенных задач, которые остались открытыми в их недавно опубликованных статьях.

К их изумлению, несколько месяцев спустя Гротендик вернулся и представил записи, которые полностью решали все 14 нерешенных проблем . Он создал совершенно новые концепции, такие как “топологическое тензорное произведение” и “ядерное пространство”, уничтожив проблемы на корню. Благодаря этому достижению он мгновенно приобрел всемирную известность в области функционального анализа.

  timeline
    title "Ранняя жизнь и достижения Александра Гротендика"
    1928 : "Родился в Берлине, Германия"
    1939 : "Бежал во Францию, позже интернирован в лагерь"
    1945 : "Поступил в Университет Монпелье, заново открыл меру Лебега"
    1948 : "Переехал в Париж, участвовал в семинаре Картана"
    1949 : "Перешел в Университет Нанси, учился у Шварца и Дьёдонне"
    1953 : "Защитил докторскую диссертацию, решив 14 открытых проблем в функциональном анализе"

3. Перестройка алгебраической геометрии: Золотой век в IHÉS

Достигнув вершины в функциональном анализе, он неожиданно сменил фокус своих исследований на совершенно другие области: “алгебраическую геометрию” и “гомологическую алгебру”.

Статья Тохоку

Его статья “Sur quelques points d’algèbre homologique” (О некоторых вопросах гомологической алгебры), опубликованная в японском Tohoku Mathematical Journal в 1957 году, является исторической работой, которая объединила теорию категорий и гомологическую алгебру, установив концепцию Абелевой категории . Это позволило строго определить когомологии пучков над любым топологическим пространством.

Основание IHÉS и EGA/SGA

В 1958 году во Франции был создан Институт высших научных исследований (IHÉS), и Гротендик был приглашен туда в качестве члена-основателя и профессора математического отдела. Следующие 12 лет стали его “Золотым веком”.

Вместе с Жаном Дьёдонне, Жан-Пьером Серром и другими он приступил к монументальному проекту по полному переписыванию основ алгебраической геометрии. Эти труды стали Éléments de géométrie algébrique (широко известными как EGA ). Кроме того, записи семинаров, проводившихся под его руководством, были опубликованы как Séminaire de Géométrie Algébrique (известные как SGA ). Это массивные работы объемом в тысячи страниц, которые и сегодня продолжают читать как “священные тексты” современной алгебраической геометрии.

4. Революционные математические концепции

Величайшим вкладом Гротендика было фундаментальное обобщение объектов математики и создание нового языка, который объединил, казалось бы, различные области.

Теория схем

Традиционно алгебраическая геометрия изучалась над “полями”, такими как комплексные числа. Гротендик довел эту концепцию до предела, введя понятие Схемы .

Для коммутативного кольца $R$ множество всех его простых идеалов, наделенное топологией и структурным пучком, называется аффинной схемой и обозначается как $\text{Spec}(R)$.

Это позволило рассматривать проблемы теории чисел — такие как нахождение целочисленных решений уравнений — как геометрические свойства пространств.

Этальные когомологии и гипотезы Вейля

Одной из главных целей Гротендика было доказательство “гипотез Вейля” об алгебраических многообразиях над конечными полями. Он расширил классическую концепцию топологических пространств и основал совершенно новую теорию, называемую Этальные когомологии . Используя это мощное оружие, он доказал часть гипотез Вейля, а последняя часть была доказана его блестящим учеником Пьером Делинем.

Теория топосов и мотивы

Мысли Гротендика поднялись еще выше по лестнице абстракции. Он создал концепцию Топоса , которая обобщает само понятие пространства.

Кроме того, он предложил концепцию Мотива как универсального объекта, который объединяет различные теории когомологий. Теория мотивов до сих пор не до конца понята и остается одной из величайших тем исследований в современной математике.

  graph TD
    A["Геометрия"] -->|"Объединяет"| C["Терия схем"]
    B["Теория чисел"] -->|"Объединяет"| C
    C --> D["Этальные когомологии"]
    C --> E["Теория топосов"]
    D -->|"Частично решает гипотезы Вейля"| F["Гипотезы Вейля"]
    D -->|"Полностью решено Делинем"| F
    C --> G["Мотив"]
    E -->|"Обобщение пространства и логики"| H["Влияние на современную математику и логику"]
    G -->|"Универсальные когомологии"| H

5. Его уникальная философия: Метафора щелкунчика

Гротендик объяснял свой математический подход с помощью метафоры “щелкунчика”. Когда нужно открыть твердый орех (сложную проблему), вместо того чтобы бить по нему молотком, он предпочитал замочить орех в воде, подождать, пока он со временем размягчится, и позволить скорлупе раскрыться естественным образом. Другими словами, он предпочитал “создавать мощное и обширное море теории, в котором проблема растворяется сама собой” , а не решать её напрямую.

6. Детские рисунки и анабелева геометрия

Вступив в 1980-е годы, он предложил новые теории, которые подходили к глубочайшим загадкам математики начиная с очень простых и наглядных концепций.

Одной из них были “Детские рисунки” (Dessins d’enfants) . Он обнаружил, что из простых графов, нарисованных на искривленных поверхностях, таких как сфера, можно извлечь действие абсолютной группы Галуа, чрезвычайно загадочного и сложного объекта в теории чисел.

Кроме того, он предложил программу, названную “Анабелева геометрия” . Это поразительная гипотеза о том, что для некоторых алгебраических многообразий исходные геометрические и теоретико-числовые объекты могут быть полностью восстановлены только на основе топологических данных, известных как фундаментальная группа.

7. Внезапный уход и путь к одиночеству

Несмотря на получение Филдсовской премии в 1966 году, Гротендик внезапно ушел из IHÉS в 1970 году в знак протеста, узнав, что часть его финансирования исходила от Министерства вооруженных сил. Впоследствии он погрузился в экологические и антивоенные движения.

В 1980-х годах он написал объемные мемуары под названием Урожаи и посевы (Récoltes et Semailles). В 1991 году он порвал все связи с семьей и друзьями и уединился в небольшой деревне у подножия Пиренеев на юге Франции. Вплоть до своей смерти в возрасте 86 лет в 2014 году он ни с кем не встречался, продолжая свои размышления и написание трудов в полном одиночестве.

Заключение

Александр Гротендик был гигантом, который привнес совершенно новый ландшафт в дисциплину математики. Концепции, которые он оставил после себя, выходят за рамки просто математики, демонстрируя расширяющиеся возможности человеческого логического мышления. Глубокий мир, в который он всматривался, продолжает приносить богатые плоды и сегодня.