Введение: переосмысление концепции размерности

Пространство, с которым мы сталкиваемся в повседневной жизни, воспринимается как трехмерное евклидово пространство. Линия на бумаге одномерна, плоскость двумерна, а объемное тело трехмерно. Это непоколебимая интуиция, которая служила основой человеческого восприятия пространства на протяжении тысячелетий, начиная с Евклида в Древней Греции. Однако при наблюдении сложных форм в природе парадигма “целой размерности” сталкивается с решительным ограничением. Облака — не сферы, горы — не конусы, а береговая линия — не дуга окружности. Разветвления деревьев, сети кровеносных сосудов, траектории молний — многие формы, встречающиеся в природе, обладают “шероховатостью” (roughness), которая принципиально отличается от объектов гладкой евклидовой геометрии.

Новым языком для математического описания этой природной сложности стала “фрактальная геометрия”. А ее теоретической основой служат концепции “меры Хаусдорфа” и сопутствующей “размерности Хаусдорфа”, зародившиеся в глубинах вещественного анализа и теории меры. В этой статье мы подробно рассмотрим, как определяется фрактальная размерность, как она вычисляется и как применяется для понимания природных явлений, пройдя путь от интуитивной геометрии до строгой теории меры.

Глава 1: Пределы евклидовой геометрии и “природная шероховатость”

Вопрос Бенуа Мандельброта: “Какова длина побережья Великобритании?”

Существует знаменитый вопрос, символизирующий начало фрактальной геометрии: “Какова длина побережья Великобритании? (How Long Is the Coast of Britain?)”. Это название статьи Бенуа Мандельброта (Benoit Mandelbrot), опубликованной в научном журнале “Science” в 1967 году.

На первый взгляд этот вопрос кажется простой задачей измерения. Однако в нем кроется глубокий парадокс. Предположим, мы аппроксимируем береговую линию, используя линейку определенной длины (например, длиной $\eta = 100 \text{ км}$), чтобы измерить ее. Что произойдет с общей измеряемой длиной, если мы будем уменьшать длину линейки ($\eta = 10 \text{ км}, 1 \text{ км}, 1 \text{ м}, \dots$)? В случае гладкой кривой (такой как окружность или парабола) по мере уменьшения линейки длина сходится к некоторому постоянному конечному значению. Это классическое определение длины кривой (длины дуги).

Но в случае реальной береговой линии этого не происходит. Чем меньше мы делаем линейку, тем больше мелких заливов и неровностей скал, ранее упускавшихся из виду, начинают учитываться при измерении, и длина береговой линии возрастает до бесконечности. Иными словами, в пределе, когда масштаб измерения $\eta$ стремится к $0$, длина береговой линии $L(\eta)$ расходится к бесконечности.

Эффект Ричардсона

Это явление было эмпирически обнаружено метеорологом Льюисом Фраем Ричардсоном (Lewis Fry Richardson). Ричардсон измерял длины государственных границ и береговых линий различных стран в разных масштабах и обнаружил, что между масштабом измерения $\eta$ и измеренной длиной $L(\eta)$ выполняется следующий степенной закон:

Здесь $D$ — константа, и чем сложнее береговая линия, тем больше значение $D$. Сам Ричардсон рассматривал это $D$ как эмпирическую константу, но Мандельброт дал этому глубокую математическую интерпретацию. Он предположил, что именно $D$ представляет собой “размерность” объекта.

В случае гладкой одномерной кривой $D=1$, и $L(\eta) \propto \eta^0 = 1$, так что длина сходится к постоянному значению. Однако для чрезвычайно сложных границ, таких как побережье Великобритании, $D \approx 1.25$, а поскольку $1 - D = -0.25 < 0$, то по мере $\eta \to 0$ мы получаем $L(\eta) \to \infty$. Эта вещественная размерность, большая $1$, но меньшая $2$, и стала первыми ростками “фрактальной размерности”.

Глава 2: Самоподобие и размерность подобия

Слово фрактал (fractal) происходит от латинского “fractus” (сломанный, фрагментированный) и было придумано Мандельбротом. Одной из самых фундаментальных характеристик фракталов является “самоподобие” (self-similarity). Это свойство, при котором увеличение части объекта выявляет структуру, идентичную целому.

Используя это самоподобие, можно вывести интуитивное определение размерности, называемое “размерностью подобия” (Similarity Dimension).

Интуитивный вывод размерности подобия $D$

Давайте рассмотрим свойства гладких евклидовых фигур:

• Если уменьшить одномерный отрезок в масштабе $1/r$, для восстановления исходного отрезка потребуется $r^1$ таких уменьшенных отрезков.
• Если уменьшить двумерный квадрат со стороной $1/r$, для воссоздания исходного квадрата потребуется $r^2$ маленьких квадратиков.
• Если уменьшить трехмерный куб с ребром $1/r$, для восстановления исходного куба потребуется $r^3$ маленьких кубиков.

Решая относительно размерности $d$, ее можно определить следующим образом:

Расширение этого определения на самоподобные фигуры, не имеющие целой размерности, и есть “размерность подобия”.

Здесь $r$ — коэффициент сжатия ($0 < r < 1$), а $N$ — количество уменьшенных фигур, необходимое для полного покрытия исходной фигуры. (Поскольку $r$ — это коэффициент сжатия, знаменатель равен $\log(1/r)$. В предыдущем примере $r$ было коэффициентом увеличения, обратите внимание на определение символов).

Канторово множество (Cantor Set)

Это множество, введенное Георгом Кантором в 1883 году, является одним из важнейших контрпримеров в теории меры. Метод построения следующий:

1. Начинаем с отрезка $[0, 1]$ (шаг 0).
2. Удаляем среднюю треть $(1/3, 2/3)$ (шаг 1: остаются отрезки $[0, 1/3] \cup [2/3, 1]$).
3. Удаляем среднюю треть из каждого оставшегося отрезка.
4. Повторяем это до бесконечности.

Это множество больше, чем 0-мерное (точка), но меньше, чем 1-мерное (линия). Удивительно, но мера Лебега (длина) этого множества равна $0$, хотя оно содержит несчетно бесконечное множество точек.

Кривая Коха (Koch Curve)

Это непрерывная, но нигде не дифференцируемая кривая, придуманная Хельге фон Кохом в 1904 году.

1. Разделим отрезок на три равные части.
2. Заменим среднюю часть двумя сторонами равностороннего треугольника, основанием которого служила бы эта средняя часть.
3. Повторим это для всех отрезков.

Салфетка Серпинского (Sierpinski Gasket)

Ее площадь (2-мерная мера Лебега) равна 0, но 1-мерная длина бесконечна.

Глава 3: Строгое определение внешней меры Хаусдорфа и размерности Хаусдорфа

Размерность подобия интуитивно понятна и легко вычисляется, но ее можно применять только к фигурам, обладающим “строгим самоподобием”. Для определения размерности фракталов в природе или математически сложных множеств (множеств с нарушенным самоподобием) необходимо строгое и универсальное определение размерности, основанное на вещественном анализе и теории меры. Таким определением является “размерность Хаусдорфа” (Hausdorff Dimension).

В 1918 году Феликс Хаусдорф расширил теоретико-мерный метод Каратеодори и определил $d$-мерную внешнюю меру для любого неотрицательного действительного числа $d$.

$\delta$-покрытие ($\delta$-cover)

то оно называется $\delta$-покрытием множества $E$. Здесь $\operatorname{diam}(U_i)$ — это диаметр (точная верхняя грань расстояний) $U_i$, равный $\sup_{x,y \in U_i} \|x - y\|$.

Внешняя мера Хаусдорфа $\mathcal{H}^d(E)$

Зафиксируем одно неотрицательное действительное число $d \geq 0$. Для любого $\delta$-покрытия $\{U_i\}$ множества $E$ рассмотрим сумму их диаметров в степени $d$ и возьмем ее точную нижнюю грань.

По мере уменьшения $\delta$ условие покрытия становится более строгим, поэтому множество нижних граней сужается, и $\mathcal{H}_\delta^d(E)$ монотонно не убывает. Следовательно, существует предел при $\delta \to 0$ (включая $\infty$).

Это $\mathcal{H}^d(E)$ называется $d$-мерной мерой Хаусдорфа. С точки зрения теории меры, это внешняя мера с борелевской регулярностью (удовлетворяющая условию Каратеодори) и являющаяся истинной мерой со счетной аддитивностью на семействе борелевских множеств.

Для целой размерности $d = n$, $\mathcal{H}^n(E)$ отличается от обычной $n$-мерной меры Лебега только на константу (при корректировке константы нормализации они полностью совпадают).

Размерность Хаусдорфа $\dim_H(E)$ как критическое значение скачка

При $\delta \to 0$ получаем $\delta^{s-d} \to 0$, поэтому $\mathcal{H}^s(E) = 0$. С другой стороны, если $\mathcal{H}^s(E) > 0$, то для любого $d < s$ выполняется $\mathcal{H}^d(E) = \infty$.

Иными словами, при увеличении $d$ от $0$, $\mathcal{H}^d(E)$ всегда равно $\infty$ до определенной критической точки, а после ее преодоления всегда равно $0$, демонстрируя экстремальный “скачок”. Значение $d$ в этой критической точке определяется как размерность Хаусдорфа (Hausdorff Dimension).

Потрясающая красота этого определения заключается в том, что даже если исследуемое множество $E$ не обладает самоподобием и является любым сколь угодно патологическим множеством, его размерность определяется строго и однозначно для любого подмножества метрического пространства. Размерность Хаусдорфа множества Кантора и кривой Коха в точности совпадает с упомянутой ранее размерностью подобия.

Глава 4: Размерность Минковского (размерность подсчета коробок), информационная и упаковочная размерности

Размерность Хаусдорфа — это наиболее математически совершенная концепция, но она не подходит для численных расчетов и анализа экспериментальных данных (поскольку требует нахождения точной нижней грани бесконечного числа вариантов покрытия и последующего взятия предела). Поэтому в прикладной математике и физике используются более вычислимые определения фрактальной размерности.

Размерность подсчета коробок (Box-counting Dimension, емкостная размерность)

Разобьем пространство на сетку (ячейки) с длиной стороны $\varepsilon$, и пусть количество коробок (ячеек сетки), пересекающихся с целевым множеством $E$, равно $N(\varepsilon)$. Тогда размерность подсчета коробок $\dim_B(E)$ определяется следующим образом:

Это определение крайне практично и служит основой алгоритмов (методов покрытия) для оценки фрактальной размерности при анализе изображений. Однако у него есть и математические недостатки. Например, размерность подсчета коробок множества рациональных чисел $\mathbb{Q} \cap [0,1]$ равна $1$, но его размерность Хаусдорфа равна $0$, так как это счетное множество. В общем случае справедливо неравенство $\dim_H(E) \leq \dim_B(E)$.

Информационная размерность (Information Dimension) и обобщенная размерность

Когда фрактальное множество имеет неравномерное распределение, простого подсчета коробок недостаточно. Если мера (вероятность), содержащаяся в каждой коробке $i$, равна $P_i$, то с использованием энтропии Шеннона $I(\varepsilon) = - \sum P_i \log P_i$ определяется информационная размерность $D_1$:

Далее, в теории “мультифракталов”, основанной на расширенной энтропии Альфреда Реньи (Alfréd Rényi), это развивается в концепцию обобщенной размерности (размерности Реньи) $D_q$.

Упаковочная размерность (Packing Dimension)

Упаковочная размерность $\dim_P(E)$, введенная Трайко (Tricot) в 1980-х годах, является двойственной концепцией по отношению к размерности Хаусдорфа. В то время как размерность Хаусдорфа использует подход “покрытия множества”, упаковочная размерность использует подход “упаковки (заполнения) шаров внутри множества”. Строго говоря, справедливо соотношение $\dim_H(E) \leq \dim_P(E) \leq \dim_{\overline{B}}(E)$ (верхняя размерность подсчета коробок), что делает ее очень мощным инструментом в вероятностном анализе множеств.

Глава 5: Комплексные динамические системы множеств Мандельброта и Жюлиа

Говоря о фрактальной геометрии, нельзя обойти стороной мир комплексных динамических систем (Complex Dynamics). В частности, “множество Мандельброта (Mandelbrot set)”, порождаемое чрезвычайно простым квадратичным отображением на комплексной плоскости, считается одной из самых сложных и красивых фигур в истории математики.

Комплексное квадратичное отображение $z_{n+1} = z_n^2 + c$

Рассмотрим динамическую систему с параметром $c \in \mathbb{C}$, являющимся комплексным числом. Начиная с начального значения $z_0 = 0$, сгенерируем последовательность $\{z_n\}$ по следующему рекуррентному соотношению:

Множество таких параметров $c$, для которых эта последовательность не расходится при $n \to \infty$, а остается ограниченной, называется множеством Мандельброта $\mathcal{M}$.

С другой стороны, если зафиксировать $c$ и менять начальное значение $z_0$, то (граница) множества начальных значений, при которых последовательность остается ограниченной, называется множеством Жюлиа (Julia set). Множество Мандельброта служит своеобразным каталогом (пространством параметров связности) для бесчисленного множества Жюлиа.

Теорема Шишикуры о размерности Хаусдорфа границы

Граница множества Мандельброта $\partial \mathcal{M}$ обладает невообразимо сложной фрактальной структурой. Как бы вы ни увеличивали масштаб, будут появляться бесконечно уменьшенные копии множества Мандельброта (мини-Мандельброты), соединенные бесчисленными нитями (филаментами).

Насколько “сложна” эта граница математически? В 1998 году японский математик Мицухиро Шишикура (Mitsuhiro Shishikura) доказал монументальную теорему в области комплексных динамических систем.

Тот факт, что размерность Хаусдорфа просто “линии” (одномерного объекта) на плоскости (двумерной) достигает размерности самого пространства $2$, означает, что $\partial \mathcal{M}$ настолько извивается, изгибается и имеет бесчисленное множество мельчайших структур на комплексной плоскости, что до предела заполняет пространство. Однако, является ли ее двумерная мера Лебега (площадь) положительной — остается нерешенной сверхсложной задачей современной математики.

Глава 6: Фракталы в физике и мире природы

Фрактальная геометрия и размерность Хаусдорфа вышли за рамки чистой математики и оказали разрушительное влияние на все естественные науки, такие как физика, биология и космология. Кажется, природа выбрала фрактальную геометрию вместо евклидовой.

Турбулентность (Turbulence) и гидродинамика

“Турбулентность”, самое сложное явление в гидродинамике, имеет фрактальную структуру. Согласно теории энергетического каскада (Ричардсона и Колмогорова), крупные вихри в турбулентном потоке распадаются на более мелкие, а те, в свою очередь, распадаются дальше в самоподобном процессе. Вычисление фрактальной размерности областей, где происходит диссипация энергии (диссипативные структуры), является одним из подходов к математическому разрешению уравнений Навье-Стокса.

Траектория броуновского движения $D=2$

Это показывает, что, будучи кривой, генерируемой одномерным параметром времени, она исследует пространство настолько плотно, что имеет площадное распространение в двумерном пространстве.

Крупномасштабная структура Вселенной (космология)

Когда мы смотрим на ночное небо, кажется, что звезды разбросаны случайным образом, но если мы построим 3D-карту распределения галактик во Вселенной на больших масштабах (например, Слоановский цифровой небесный обзор), проявится “крупномасштабная структура Вселенной”, состоящая из нитевидных сверхскоплений галактик и гигантских пустот (войдов). Анализ корреляционной функции распределения этой материи позволяет предположить, что на определенных масштабах она обладает самоподобием с фрактальной размерностью от $D \approx 1.2$ до $2.0$. Самоорганизация материи под действием гравитации порождает фракталы.

Оптимальные транспортные сети альвеол и кровеносных сосудов

Фракталы универсальны и в области биологии. Легкие человека (ветвящаяся структура бронхов), сердечно-сосудистая система и нейронные сети мозга имеют фрактальную структуру. Почему естественный отбор выбрал фракталы? Потому что это оптимальное решение для “упаковки бесконечной площади поверхности в конечный объем (пространство)”. Фрактальное ветвление бронхов максимизирует площадь поверхности для газообмена кислородом, сохраняя при этом постоянный объем легких, и дополнительно минимизирует потери энергии при доставке крови к клеткам в каждом уголке тела. Механизмы оптимизации жизни идеально соответствуют математическим законам фрактальной размерности.

Заключение: непрерывность размерности и новый взгляд на природу

“Целая размерность”, данная нам евклидовой геометрией, была чрезвычайно полезной приближенной моделью для человеческого разума при упрощении и понимании мира. Однако “фракталы” и “размерность Хаусдорфа”, рожденные в результате развития теории меры и интуиции Мандельброта, доказали, что размерность не обязана принимать дискретные значения $0, 1, 2, 3$, а может существовать в виде континуума действительных чисел.

Размерность Хаусдорфа — это совершенная мера для количественной оценки скрытых в природе “шероховатости”, “бесконечной детализации” и “порядка в хаосе”. От береговых линий, деревьев и молний до структуры Вселенной и нашего собственного тела — фракталы можно назвать универсальным языком дизайна космоса.

Тот факт, что теория меры (внешняя мера Хаусдорфа), являющаяся абстрактной вершиной математики, так точно описывает реальность физического мира, оставляет сильное впечатление о таинственном соответствии между математикой и естественными науками. Фрактальная геометрия фундаментально изменила то, как мы смотрим на мир.