Какой именно длины береговая линия Великобритании в километрах? Вы можете подумать, что найдете ответ, заглянув в энциклопедию или учебник по географии. Однако в реальности существует странный факт: «ответ меняется в зависимости от способа измерения, и теоретически он равен бесконечности».
Это и есть Парадокс береговой линии (Coastline Paradox). Это открытие позже послужило толчком к созданию совершенно новой области математики под названием «фрактальная геометрия».
Чем короче линейка, тем больше расстояние
Береговая линия — это не прямая линия, она состоит из бесчисленных заливов, мысов и неровностей скалистых берегов.
Предположим, мы измеряем береговую линию Великобритании с помощью гигантской линейки (прямой) длиной 100 км. При использовании такой линейки небольшие заливы и зигзаги полуостровов размером менее 100 км будут проигнорированы и «срезаны».
Теперь давайте перемеряем её с помощью линейки длиной 1 км. При этом мы будем следовать контурам небольших заливов и мысов, которые ранее были проигнорированы, поэтому общая длина определенно станет больше.
Что же произойдет, если мы будем измерять каждую неровность камня линейкой в 1 м, поверхность гальки линейкой в 1 см, а контур песчинки линейкой в 1 мм?
Льюис Фрай Ричардсон эмпирически обнаружил это явление в 1951 году. По мере уменьшения единицы измерения (длины линейки) измеряемая длина береговой линии бесконечно увеличивается.
Фрактальная размерность: между 1 и 2 измерениями
Математическое объяснение этому парадоксу дал математик Бенуа Мандельброт. В 1967 году он опубликовал в журнале Science знаменитую статью под названием «Какой длины побережье Великобритании? Статистическое самоподобие и дробная размерность».
Мандельброт отметил, что природные формы, такие как береговые линии, обладают самоподобием (фрактальностью), когда «независимо от того, насколько сильно вы их увеличиваете, появляются схожие сложные структуры».
В случае чистой математической прямой линии (1 измерение), даже если вы уменьшите линейку вдвое, длина не изменится. Однако из-за того, что береговая линия настолько зубчатая, она сложнее, чем одномерная линия, но в то же время она не является двумерной поверхностью, имеющей площадь.
Чтобы выразить сложность таких фигур, Мандельброт ввел понятие «фрактальной размерности (размерности Хаусдорфа)». Фрактальная размерность береговой линии Великобритании оценивается как $D \approx 1.25$. Иными словами, береговая линия Великобритании — это загадочная сущность, «размерность которой выше одномерной линии, но ниже двумерной плоскости».
Если мы обозначим длину линейки как $s$, а измеряемую длину береговой линии как $L(s)$, то между ними и фрактальной размерностью $D$ существует следующее соотношение:
$$ L(s) \propto s^{1-D} $$В случае береговой линии Великобритании $D = 1.25$, поэтому $1 - D = -0.25$.
$$ L(s) \propto s^{-0.25} $$Это математически показывает, что по мере того как длина линейки $s$ приближается к 0, результат измерения $L(s)$ стремится к бесконечности $\infty$.
Окончательный вывод: длина не может быть определена
Понятие «длины», которое мы используем в повседневной жизни, применимо только к гладким прямым или кривым линиям. Поиск «абсолютной длины» для существующих в природе фрактальных форм (береговые линии, облака, горные цепи, разветвления кровеносных сосудов и т. д.) на самом деле не имеет математического смысла.
«Какой длины береговая линия Великобритании?» Правильный ответ: «Зависит от длины линейки, которой измеряют», и теоретически она «бесконечна». Тот факт, что в ограниченном небольшом пространстве скрыта бесконечная длина, является поистине прекрасным парадоксом для нашего восприятия пространства.