Глава 1: Классические черные дыры и «Теорема об отсутствии волос»

За бесчисленными звездами, сияющими в ночном небе, скрываются темные небесные тела — черные дыры, из которых не может вырваться даже свет. Общая теория относительности, опубликованная Альбертом Эйнштейном в 1915 году, привела к самому красивому сдвигу парадигмы в истории физики, описывая гравитацию как «искривление пространства-времени». Вскоре после этого, в 1916 году, Карл Шварцшильд нашел точное решение (решение Шварцшильда), показывающее, как сферически-симметричное распределение массы искривляет окружающее пространство-время. Это стало математическим рассветом концепции черной дыры.

В рамках классической общей теории относительности черная дыра представляет собой удивительно «простую» сущность. Процесс, при котором звезда завершает свою жизнь и коллапсирует под действием собственной гравитации, чрезвычайно сложен, и исходная звезда обладает огромным количеством информации (степеней свободы), такой как химический состав, структура магнитного поля и асимметрия формы. Однако, как только формируется горизонт событий (Event Horizon), вся эта сложная информация либо скрывается внутри горизонта, либо излучается наружу в виде гравитационных волн.

Это удивительное свойство выражается известной фразой, предложенной Джоном Арчибальдом Уилером: «У черных дыр нет волос (Black holes have no hair)», то есть «Теоремой об отсутствии волос (No-Hair Theorem)». Согласно этой теореме, черная дыра, перешедшая в стационарное состояние, полностью описывается всего тремя физическими величинами:

1. Масса (Mass, $M$)
2. Электрический заряд (Electric Charge, $Q$)
3. Угловой момент (Angular Momentum, $J$)

Решение Шварцшильда — это простейшая черная дыра, обладающая только массой, решение Керра (Kerr) — вращающаяся черная дыра с массой и угловым моментом, решение Рейсснера-Нордстрёма (Reissner-Nordström) — черная дыра с массой и зарядом, а решение Керра-Ньюмена (Kerr-Newman) — наиболее общее решение, сочетающее все три параметра. Независимо от того, насколько сложное вещество (будь то глыба железа, антиматерия или гора энциклопедий) сформировало черную дыру, извне можно наблюдать только эти три параметра.

Однако эта крайняя простота вызвала серьезное противоречие с другим столпом физики — «Термодинамикой (Thermodynamics)», в частности со «Вторым началом термодинамики». Второе начало термодинамики гласит, что «энтропия изолированной системы никогда не уменьшается». Энтропия — это мера числа микроскопических состояний системы, то есть мера «информационного беспорядка».

Если черная дыра является сущностью «без волос», полностью определяемой лишь тремя вышеуказанными параметрами, то число её микроскопических состояний равно единице (энтропия равна нулю). Это огромная проблема. Представьте, что в черную дыру бросают горячий газ, обладающий большой энтропией, или вещество со сложной структурой. После того как черная дыра поглотит это вещество, его энтропия полностью исчезнет для внешней вселенной. Если собственная энтропия черной дыры равна нулю, это означает, что энтропия всей вселенной уменьшилась, что приводит к нарушению второго начала термодинамики.

«Черная дыра — это не мусорная корзина вселенной». Чтобы спасти физику от этого кризиса, необходимо было шагнуть в неизведанную область слияния теории гравитации, термодинамики и квантовой механики. Действительно ли абсолютная стена горизонта событий сводит всё к нулю? Или в черной дыре существует «скрытая энтропия», о которой мы еще не знаем? В следующей главе мы рассмотрим революционную идею молодого физика, бросившего вызов этой загадке.

Глава 2: Формула Бекенштейна-Хокинга

В ответ на серьезный парадокс, согласно которому черные дыры нарушают второе начало термодинамики, в 1972 году аспирант Принстонского университета Якоб Бекенштейн выдвинул смелую и интуитивную гипотезу. Он обратил внимание на «теорему о площади черной дыры (площадь горизонта событий черной дыры никогда не уменьшается)», доказанную Стивеном Хокингом.

Энтропия никогда не уменьшается. Площадь черной дыры также никогда не уменьшается. Является ли это сходство простым совпадением? Бекенштейн утверждал: «Площадь горизонта событий черной дыры и есть сама энтропия черной дыры». Когда вещество падает в черную дыру, масса черной дыры увеличивается, что приводит к увеличению площади её горизонта событий. Энтропия, которой обладало вещество, не теряется, а сохраняется в виде увеличения площади черной дыры, и таким образом выполняется обобщенное второе начало термодинамики (сумма энтропии вселенной и энтропии черной дыры не уменьшается).

Эта революционная идея позже была подтверждена квантово-механическим анализом Хокинга и оформилась как «Формула энтропии Бекенштейна-Хокинга».

Здесь $S_{BH}$ — энтропия черной дыры, а $A$ — площадь поверхности горизонта событий. В коэффициенте пропорциональности собраны все фундаментальные константы физики: постоянная Больцмана $k_B$, скорость света $c$, гравитационная постоянная Ньютона $G$ и постоянная Дирака (постоянная Планка, деленная на $2\pi$) $\hbar$. Это красноречиво свидетельствует о том, что данная формула является вершиной «теории квантовой гравитации», где пересекаются термодинамика ($k_B$), теория относительности ($c, G$) и квантовая механика ($\hbar$).

Смысл этой формулы чрезвычайно глубок. Энтропия эквивалентна количеству информации. Обычно энтропия вещества возрастает пропорционально его объему (трехмерному пространству) (например, количеству молекул, составляющих газ). Однако энтропия черной дыры пропорциональна не объему, а «площади (двумерной поверхности)». Если переписать формулу с использованием планковской длины $l_p = \sqrt{G\hbar/c^3}$, она примет следующий вид:

Это означает, что если покрыть горизонт событий крошечными квадратными плитками со стороной, равной планковской длине (около $1.6 \times 10^{-35}$ метров), то на каждые 4 плитки (4 планковские площади) будет приходиться 1 бит сохраненной информации (энтропии). Вся трехмерная информация вещества, упавшего в черную дыру, записана в виде «голограммы» на двумерном горизонте событий. Этот поразительный факт становится важнейшей предпосылкой к последующему «голографическому принципу».

Однако существование энтропии, согласно основным термодинамическим соотношениям, неизбежно означает, что черная дыра имеет «температуру». Подставив массовую энергию черной дыры $E = Mc^2$ и энтропию Бекенштейна в первое начало термодинамики $dE = T dS$, мы обнаружим, что температура черной дыры $T$ пропорциональна её «поверхностной гравитации (surface gravity) $\kappa$».

Поначалу многие физики, включая самого Хокинга, скептически относились к гипотезе Бекенштейна, полагая: «Поскольку черная дыра только поглощает всё вокруг и ничего не испускает, её температура должна быть равна абсолютному нулю». Объект, имеющий температуру, должен испускать тепловое излучение (излучение абсолютно черного тела). Возможно ли, чтобы черная дыра излучала свет?

Хокинг погрузился в вычисления, применяя квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени к черным дырам, чтобы доказать ошибочность выводов Бекенштейна. Но то, к чему он пришел, оказалось одним из самых красивых открытий в истории физики, в корне опровергнувшим его собственные ожидания. Черные дыры действительно светились благодаря квантово-механическим эффектам.

Глава 3: Открытие излучения Хокинга

В 1974 году Стивен Хокинг опубликовал шокирующую статью под названием «Черные дыры не черные». Он теоретически вывел явление, при котором частицы испускаются с горизонта событий — откуда, согласно классической физике, ничто не может вырваться — благодаря квантово-механическому туннельному эффекту. Это явление было названо «излучением Хокинга (Hawking Radiation)».

Для понимания этого явления необходим сдвиг квантово-механического взгляда на «вакуум». Согласно квантовой теории поля, вакуум — это не «пустое пространство», а море «квантовых флуктуаций», где постоянно рождаются и аннигилируют пары частиц и античастиц (виртуальные частицы). Обычно такие пары виртуальных частиц исчезают во мгновение ока, поэтому их невозможно наблюдать напрямую.

Однако, когда такое рождение пар происходит очень близко к черной дыре, прямо за горизонтом событий, возникает драматическая ситуация. Интенсивные приливные силы (градиент гравитации) вблизи горизонта событий разрывают образовавшуюся пару частиц. С определенной вероятностью одна частица может пересечь горизонт событий и упасть внутрь черной дыры, в то время как другая ускользает во внешнюю вселенную.

Для внешнего наблюдателя это выглядит так, будто частица вылетела из черной дыры. Это и есть излучение Хокинга. Но что же происходит с законом сохранения энергии? Ускользнувшая частица обладает положительной энергией и становится реальной частицей. Чтобы энергия сохранялась, частица, упавшая в черную дыру, должна обладать «отрицательной энергией». Поглотив отрицательную энергию, черная дыра теряет массу (т.е. энергию). Иными словами, излучая, черная дыра постепенно испаряется (evaporate).

Хокинг строго вычислил спектр этого излучения, используя сложный математический метод (преобразование Боголюбова), объединяющий геометрию пространства-времени и квантовую теорию поля. Он определил состояние вакуума в плоском пространстве-времени на прошлой бесконечности ($\mathscr{I}^-$) и проанализировал, в виде какого состояния частиц оно будет наблюдаться на будущей бесконечности ($\mathscr{I}^+$) после распространения через пространство-время черной дыры, образовавшейся при коллапсе звезды.

При разложении прошлого вакуумного состояния $|0\rangle_{in}$ по будущим операторам рождения и уничтожения частиц оно описывается с помощью коэффициентов Боголюбова $\alpha, \beta$. Суть вычислений Хокинга заключается в том, что фаза света, проходящего через поверхность коллапсирующей звезды и достигающего будущей бесконечности, испытывает логарифмическую задержку (красное смещение) из-за образования горизонта событий. Это геометрическое красное смещение делает коэффициент Боголюбова $\beta$ (коэффициент, отвечающий за рождение частиц) ненулевым и является решающим фактором формирования теплового спектра.

Удивительно, но полученное излучение полностью соответствовало планковскому спектру излучения абсолютно черного тела. Его температура (температура Хокинга $T_H$) дается следующей формулой:

Здесь следует отметить, что температура Хокинга «обратно пропорциональна» массе черной дыры $M$. Это означает, что чем больше черная дыра теряет массу и уменьшается в размерах, тем выше становится её температура и тем интенсивнее она излучает (её теплоемкость отрицательна).

Для черной дыры с массой Солнца температура Хокинга составляет крайне низкую величину — около $6 \times 10^{-8}$ Кельвина, что намного ниже текущего реликтового излучения (около 2.7 Кельвина), поэтому фактически наблюдать такое излучение невозможно. Однако по мере уменьшения массы температура резко возрастает. Время жизни черной дыры до полного испарения (время испарения) пропорционально кубу её массы и составляет $t_{evap} \sim \frac{G^2 M^3}{\hbar c^4}$. Чтобы черная дыра солнечной массы испарилась, потребуется немыслимое время — $10^{67}$ лет, но микроскопические черные дыры в конечном итоге высвобождают огромное количество энергии и исчезают во взрыве.

Открытие излучения Хокинга завершило термодинамику черных дыр и стало вершиной теоретической физики. Но в то же время оно открыло ящик Пандоры самого глубокого и сложного парадокса, потрясшего основы физики. Это «парадокс потери информации в черной дыре».

Глава 4: Возникновение информационного парадокса

Излучение Хокинга предсказало, что черные дыры в конечном итоге испарятся и исчезнут. Отсюда возникает одна из величайших загадок современной физики — «Информационный парадокс (Information Paradox)».

Одним из самых фундаментальных и священных принципов квантовой механики является «Унитарность (Unitarity)». Это принцип, согласно которому при эволюции состояния системы во времени сумма вероятностей всегда сохраняется равной 1, а информация детерминистически сохраняется от прошлого к будущему и от будущего к прошлому. Иными словами, если известна полная информация (чистое состояние) системы в определенный момент времени, то, решив уравнение Шрёдингера (или его расширенную версию), можно полностью предсказать и восстановить состояние в любой момент в прошлом или будущем. Это гарантия обратимости физических законов.

Теперь применим этот принцип к процессу образования и испарения черной дыры. Предположим, что вещество в чистом состоянии (например, группа частиц, точно подготовленных в определенном квантовом состоянии, или энциклопедия) претерпевает гравитационный коллапс и образует черную дыру. В этот момент вся информация находится внутри черной дыры.

Затем начинается излучение Хокинга. Согласно вычислениям Хокинга, излучение, генерируемое на горизонте событий, является «идеальным тепловым излучением». Спектр теплового излучения определяется только температурой (а также массой, зарядом и угловым моментом черной дыры), между излученными частицами не существует квантовой корреляции (запутанности), и оно не содержит никакой «информации» о том, чем было первоначальное вещество, упавшее в черную дыру. Если сжечь энциклопедию до пепла и дыма, в принципе, измерив движение всего пепла и дыма, можно восстановить исходный текст. Однако Хокинг утверждал, что излучение Хокинга «истинно случайно».

И в конечном итоге черная дыра полностью испаряется и исчезает. То, что остается — это лишь тепловое излучение (смешанное состояние), не несущее информации. Вселенная, которая должна была быть в чистом состоянии, перешла в смешанное состояние без информации. Огромный объем информации, которым обладало первоначальное вещество, полностью исчез из вселенной вместе с черной дырой.

Это означает крах унитарности квантовой механики. Столкнувшись с этим парадоксом, где квантовая механика конфликтует с общей теорией относительности, физики разделились на лагеря и вступили в ожесточенные споры. Это то, что стало известно в мире как «Война при черной дыре».

Лидером одного лагеря был сам Стивен Хокинг. Он утверждал: «В черных дырах правила квантовой механики нарушаются, и информация действительно теряется». Вместе с Кипом Торном он заключил пари с Джоном Прескиллом, отстаивая позицию «информация теряется».

Этому решительно воспротивились физики-элементарщики, такие как Леонард Сасскинд и Герард ‘т Хоофт. «Если информация теряется, то рушится даже закон сохранения энергии, и основы современной физики обрушатся». Они были убеждены, что когда черная дыра испаряется, информация должна шифроваться в излучении Хокинга с помощью некоего неизвестного механизма и выноситься наружу.

Однако расчеты Хокинга казались незыблемыми. Информация, однажды пересекшая горизонт событий, не может выйти наружу, не превысив скорость света. Внутренняя и внешняя стороны горизонта событий причинно-следственно разъединены, и общая теория относительности (локальность) не позволяет информации ускользнуть. Попытка спасти сохранение информации (квантовая механика) нарушает причинность (теория относительности), а попытка спасти причинность приводит к потере информации. Чтобы разрешить эту дилемму, необходимо было в корне пересмотреть само понятие пространства-времени.

Сасскинд и его коллеги, вооружившись квантовой запутанностью и теорией струн (String Theory), бросили вызов этому неприступному парадоксу. В следующей главе мы углубимся в драматический теоретический скачок для спасения информации — «комплементарность черных дыр», и в новую искру, которая из него возникла — «проблему файрвола».

Глава 5: Комплементарность черных дыр и проблема файрвола

Сасскинд и его коллеги, убежденные в сохранении информации, в 1993 году предложили революционную концепцию «Комплементарности черных дыр (Black Hole Complementarity)», вдохновленную принципом дополнительности Нильса Бора, чтобы разрешить противоречие горизонта событий.

Основная причина парадокса заключалась в том, что если «падение информации внутрь черной дыры» и «побег информации наружу в виде излучения Хокинга» происходят одновременно, информация «копируется» (нарушение теоремы о запрете клонирования квантового состояния).

Комплементарность черных дыр утверждает следующее: С точки зрения наблюдателя, остающегося снаружи (Алиса), вещество, падающее на горячую мембрану (растянутый горизонт) вблизи горизонта событий, сгорает, и его информация со временем возвращается наружу, переносимая излучением Хокинга. С другой стороны, для наблюдателя, свободно падающего в черную дыру (Боб), горизонт событий — это всего лишь ничем не примечательная транзитная точка в пространстве, и он падает внутрь невредимым, сохраняя информацию при себе.

На первый взгляд кажется, что информация разделилась надвое, но Сасскинд утверждал, что «поскольку Алиса и Боб в принципе не могут общаться и сравнивать результаты», никакого противоречия не возникает. Существуют два разных, но взаимодополняющих описания одного и того же физического явления, и абсолютной точки зрения (взгляда Бога), описывающей всё в целом, не существует. Это означало, что в экстремальной области пересечения гравитации и квантовой механики рушится здравый смысл «локальности» пространства-времени.

Казалось, что комплементарность черных дыр решила парадокс. Однако в 2012 году публикация статьи четырьмя физиками из Калифорнийского университета в Санта-Барбаре (Алмхейри, Марольф, Полчински, Салли: известные как AMPS) снова вызвала шок в физическом сообществе. Появление «Парадокса файрвола AMPS».

Группа AMPS обратила внимание на сложные отношения распределения квантовой запутанности, возникающие после того, как черная дыра проживет половину своей жизни (время Пейджа), при условии, что излучение Хокинга выносит информацию (сохраняется унитарность).

Чтобы вынести информацию наружу, вновь испускаемая частица Хокинга (B) должна быть сильно запутана (находиться в состоянии квантовой запутанности) с совокупностью всех частиц Хокинга, испущенных в прошлом (A). С другой стороны, чтобы невредимым пересечь горизонт событий (сохранить принцип эквивалентности), должна существовать сильная запутанность между парой частиц, рожденных из квантовых флуктуаций вакуума: улетающей наружу частицей (B) и падающей внутрь частицей (C).

Однако в квантовой механике существует строгое правило «моногамии запутанности (entanglement monogamy)». Одна квантовая система (B) не может одновременно быть максимально запутана с двумя другими независимыми системами (A и C).

Чтобы разрешить эту дилемму, чем-то нужно пожертвовать. AMPS пришли к выводу, что если мы хотим сохранить комплементарность черных дыр, единственный выход — разорвать запутанность между B и C. Однако разрыв запутанности между B и C означает появление стены из частиц чрезвычайно высокой энергии на горизонте событий, то есть «файрвола (Firewall)».

Если файрвол существует, то Боб, пытающийся пересечь горизонт событий, вместо того чтобы пройти невредимым, столкнется с этой высокоэнергетической стеной и мгновенно сгорит. Это означает полный крах «принципа эквивалентности» (свободно падающий наблюдатель не чувствует гравитации, то есть на горизонте событий не происходит ничего особенного), который является краеугольным камнем общей теории относительности Эйнштейна.

Если пытаться спасти информацию, горизонт событий превращается в стену огня (крушение принципа эквивалентности). Если пытаться спасти принцип эквивалентности, информация теряется или рушатся основы квантовой механики. Физики столкнулись с самым глубоким и острым парадоксом из всех когда-либо существовавших. Ключ к спасению из этой безнадежной ситуации был скрыт в «Голографическом принципе», преодолевающем барьеры измерений, и в новейших теориях квантовой гравитации.

Глава 6: Голографический принцип, AdS/CFT-соответствие и Формула острова

Решающий сдвиг парадигмы, спасший физику от кризиса парадокса файрвола, принесли «Голографический принцип (Holographic Principle)» и его строгая математическая формулировка — «AdS/CFT-соответствие (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory Correspondence)».

Голографический принцип был предложен в 1993 году Герардом ‘т Хоофтом и в 1995 году включен в рамки теории струн Леонардом Сасскиндом. Как следует из формулы Бекенштейна-Хокинга, рассмотренной в главе 2 (энтропия пропорциональна площади, а не объему), этот принцип утверждает: «Все физические явления (включая гравитацию), происходящие в некоторой трехмерной пространственной области, могут быть полностью описаны физическими законами без гравитации на двумерной граничной поверхности (границе), окружающей эту область». Наша трехмерная вселенная может быть всего лишь иллюзией, «голограммой», проецируемой на далекий двумерный экран.

В 1997 году Хуан Малдасена с помощью теории суперструн впервые представил конкретную модель, в которой этот голографический принцип строго выполняется. Это «AdS/CFT-соответствие». Малдасена доказал, что теория квантовой гравитации (теория суперструн) в пространстве анти-де Ситтера с отрицательной космологической постоянной (пространство AdS) математически полностью эквивалентна (дуальна) конформной теории поля (Conformal Field Theory, CFT) без гравитации, определенной на бесконечной границе этого пространства.

Это было чудесное открытие в физике. Физика балка (внутреннего пространства), включающая гравитацию, и физика границы (CFT), не включающая гравитацию — две теории с совершенно разными измерениями и законами — оказались всего лишь двумя разными переводами одних и тех же физических явлений. Используя этот словарь дуальности (голографический словарь), безнадежно сложные проблемы квантовой гравитации можно преобразовать в более простые для вычисления проблемы квантовой теории поля на границе и решить их.

В контексте парадокса потери информации AdS/CFT-соответствие дало чрезвычайно важный ответ. Поскольку CFT на границе подчиняется обычной квантовой механике, унитарность полностью гарантируется (информация абсолютно не теряется). Если AdS/CFT-соответствие верно, то дуальный ему процесс образования и испарения черной дыры в пространстве AdS также должен быть унитарным в целом, и информация должна надежно сохраняться.

Однако, хотя и было доказано, что «информация сохраняется», механизм динамики, «каким конкретно образом информация переносится изнутри черной дыры во внешнее излучение Хокинга», оставался загадкой. Окончательный прорыв в ответе на этот вопрос принесло открытие «Формулы острова (Island Formula)», опубликованное в 2019 году.

Всё началось с концепции «Кривой Пейджа (Page Curve)», предложенной Доном Пейджем в 1993 году. Пейдж предсказал, как должна изменяться во времени энтропия запутанности излучения Хокинга, если информация сохраняется (сохраняется унитарность). На начальном этапе излучения испускаемые частицы запутаны с частицами внутри черной дыры, поэтому энтропия запутанности всего излучения монотонно возрастает со временем. Однако, когда черная дыра достигает половины своего времени жизни (время Пейджа), ситуация кардинально меняется. Вновь испускаемые частицы начинают запутываться с частицами, испущенными в прошлом, и энтропия запутанности всего излучения начинает уменьшаться. В конечном итоге, когда черная дыра исчезает, всё излучение возвращается в чистое состояние, и энтропия снова должна стать равной нулю. Эта холмообразная кривая и есть кривая Пейджа.

С другой стороны, в классических вычислениях Хокинга (с позиции, что информация теряется) энтропия продолжает расти вечно и никогда не уменьшается (Кривая Хокинга).

В 2019 году Джефф Пенингтон, Алмхейри, Махаджан, Малдасена и Чжао пересчитали энтропию излучения Хокинга, используя метод расчета голографической энтропии запутанности, выведенный из теории струн (формула квантовой экстремальной поверхности, являющаяся обобщением формулы Рю-Такаянаги). В результате они обнаружили, что в определенный момент (время Пейджа) геометрическая область, используемая для вычисления энтропии запутанности, скачкообразно меняется.

Выведенная ими формула показала, что при расчете энтропии излучения Хокинга необходимо добавлять не только внешнее излучение черной дыры, но и вклад определенной области «внутри» горизонта событий (которая называется «Островом (Island)»).

Удивительно, но при продолжении расчетов с использованием этой формулы острова, после времени Пейджа вклад острова становится доминирующим, и результаты расчетов блестяще воспроизводят кривую Пейджа Дона. Иными словами, в вычислениях Хокинга не хватало непертурбативных квантовых эффектов гравитации (изменений топологии пространства-времени, называемых репличными червоточинами), и с их учетом было доказано, что информация действительно кодируется в излучении Хокинга и спасается.

Еще более шокирующим является тот факт, что хотя «остров» находится внутри горизонта событий, его информация полностью содержится в излучении Хокинга. Это означает, что часть внутренности черной дыры на самом деле голографически проецируется наружу через излучение Хокинга. Как показывает гипотеза ER=EPR (гипотеза о том, что мост Эйнштейна-Розена = червоточина и запутанность Эйнштейна-Подольского-Розена по сути тождественны), квантовая запутанность формирует мост в пространстве-времени (червоточину), соединяющий внутренность черной дыры и внешнее излучение Хокинга.

Приложение A: Преобразование Боголюбова для излучения Хокинга и строгий вывод теплового спектра

Для истинного понимания глубинной природы излучения Хокинга невозможно обойтись без подробного вывода математической структуры квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени, в частности «Преобразования Боголюбова (Bogoliubov Transformation)». В этом приложении мы максимально строго и детально проследим суть вычислений, которые Стивен Хокинг развернул в своей исторической статье 1974 года.

1. Разница в определении «вакуума» в плоском и искривленном пространстве-времени

В квантовой теории поля скалярное поле $\phi(x)$ раскладывается по модам с использованием операторов рождения $\hat{a}^\dagger$ и уничтожения $\hat{a}$. В плоском пространстве-времени Минковского решения уравнения поля (уравнения Клейна-Гордона) $(\square + m^2)\phi = 0$ раскладываются по базису плоских волн $e^{ikx}$. Используя моды положительной частоты $f_k(x)$ и моды отрицательной частоты $f_k^*(x)$, поле записывается следующим образом:

Однако, если пространство-время искривлено (присутствует гравитационное поле), глобальная симметрия Пуанкаре теряется, поэтому не существует универсальной временной координаты, которая бы однозначно определяла «моды положительной частоты». В зависимости от состояния движения и положения наблюдателя (геометрии пространства-времени), то, какую моду считать «положительной», становится относительным.

2. Разложение по модам на прошлой бесконечности ($\mathscr{I}^-$) и будущей бесконечности ($\mathscr{I}^+$)

Хокинг рассматривал динамическое пространство-время, в котором звезда коллапсирует под действием собственной гравитации, образуя черную дыру. В этом пространстве-времени существуют плоская асимптотическая область до начала коллапса — «Прошлая нулевая бесконечность (Past Null Infinity, $\mathscr{I}^-$)» и плоская асимптотическая область после образования черной дыры — «Будущая нулевая бесконечность (Future Null Infinity, $\mathscr{I}^+$)».

Пусть модовые функции на прошлой бесконечности $\mathscr{I}^-$ равны $f_k$, соответствующие операторы — $\hat{a}_k, \hat{a}_k^\dagger$, а вакуум, определяемый наблюдателем в прошлом, — $|0_{in}\rangle$. Пусть модовые функции на будущей бесконечности $\mathscr{I}^+$ равны $p_j$, соответствующие операторы — $\hat{b}_j, \hat{b}_j^\dagger$, а вакуум, определяемый наблюдателем в будущем, — $|0_{out}\rangle$.

Поскольку поле $\hat{\phi}$ можно разложить по любому базису, выполняется следующее равенство:

3. Преобразование Боголюбова и рождение частиц

Поскольку два разных набора модовых функций $f_k$ и $p_j$ образуют полные системы, один из них можно выразить в виде линейной комбинации другого.

Это линейное преобразование является преобразованием Боголюбова, а коэффициенты разложения $\alpha_{jk}$ и $\beta_{jk}$ называются коэффициентами Боголюбова. Выражая с их помощью оператор уничтожения в будущем $\hat{b}_j$ через операторы в прошлом, получаем:

Здесь выводится решающий факт. Предположим, что начальным состоянием был вакуум прошлого $|0_{in}\rangle$ (то есть вначале не было никаких частиц). В этом состоянии вычислим ожидаемое значение частиц с волновым числом $j$ (ожидаемое значение оператора числа частиц $\hat{N}_j = \hat{b}_j^\dagger \hat{b}_j$), наблюдаемых наблюдателем в будущем.

Если $\beta_{jk} \neq 0$, то несмотря на то, что начальное состояние было вакуумом, для наблюдателя в будущем будет казаться, что «частицы существуют»! Колебания кривизны пространства-времени (коллапс звезды) сделали $\beta_{jk}$ отличным от нуля и «создали» частицы из вакуума.

4. Логарифмическая задержка фазы (красное смещение) из-за горизонта событий

Величайшая заслуга Хокинга заключается в том, что в пространстве-времени образования черной дыры он конкретно вычислил эту $\beta_{jk}$ путем геометрической трассировки лучей света (ray tracing).

Рассмотрим процесс, в котором волновой пакет, отправляющийся от прошлой бесконечности $\mathscr{I}^-$, проходит сквозь коллапсирующую звезду и достигает будущей бесконечности $\mathscr{I}^+$. Световой луч (мода), прошедший сквозь звезду непосредственно перед образованием горизонта событий, испытывает экстремальное красное смещение, пытаясь выбраться из мощного гравитационного поля.

Геометрические вычисления показывают, что фаза волны в момент времени $u$, достигающая будущей бесконечности, задерживается логарифмически по мере приближения к моменту образования горизонта событий. В частности, между временем $v$ на прошлой бесконечности и временем $u$ на будущей бесконечности вблизи горизонта событий устанавливается следующее логарифмическое соотношение (следствие уравнения Райчаудхури):

Где $v_0$ — время отправления светового луча, образующего горизонт событий, а $\kappa$ — поверхностная гравитация (surface gravity) черной дыры. Эта логарифмическая задержка фазы $e^{-\kappa u}$ через преобразование Фурье решающим образом определяет функциональную форму $\beta_{jk}$.

5. Вывод планковского спектра и температура Хокинга

Коэффициенты Боголюбова $\alpha_{jk}$ и $\beta_{jk}$ вычисляются с использованием скалярного произведения (скалярное произведение Клейна-Гордона). Выполняя преобразование Фурье волны с вышеупомянутой логарифмической задержкой фазы и проводя интегрирование (с использованием гамма-функции и комплексного интегрирования), выводится следующее поразительное аналитическое соотношение между абсолютными значениями $\alpha_{jk}$ и $\beta_{jk}$:

Здесь $\omega$ — энергия (круговая частота) излучаемой частицы. Кроме того, из условия нормировки преобразования Боголюбова (сохранение коммутационных соотношений) следует, что $\sum_k (|\alpha_{jk}|^2 - |\beta_{jk}|^2) = 1$. Решая эту систему из двух уравнений для $|\beta_{jk}|^2$, получаем:

Этот результат поразителен. Левая часть представляет собой количество частиц (ожидаемое значение), генерируемых из вакуума, а правая часть имеет в точности форму теплового распределения (распределения Планка) бозонов, излучаемых абсолютно черным телом с температурой $T$!

Стандартная форма распределения Планка — $\frac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}} - 1}$. Сравнивая с ней, немедленно выводится температура черной дыры (температура Хокинга $T_H$):

В случае черной дыры Шварцшильда поверхностная гравитация задается как $\kappa = \frac{c^4}{4 G M}$, подставляя её, получаем:

Таким образом, формула температуры Хокинга была блестяще выведена. Здесь раскрывается вся мощь математической проницательности Хокинга, показавшего, что экстремальное геометрическое красное смещение (логарифмическая задержка фазы), вызываемое горизонтом событий черной дыры, порождает полностью тепловое смешанное состояние (распределение Планка) из чистого квантово-механического начального состояния. Это невероятное вычисление, объединившее теорию относительности ($\kappa$), квантовую механику ($\hbar$) и термодинамику ($k_B$) в одну математическую формулу, можно по праву назвать вершиной человеческого интеллекта.

Приложение B: Формула Рю-Такаянаги и глубина голографической энтропии запутанности

В основе «Формулы острова», позволившей воспроизвести кривую Пейджа при решении парадокса потери информации, лежит «Формула Рю-Такаянаги (Ryu-Takayanagi Formula)», порожденная теорией суперструн и AdS/CFT-соответствием. Эта формула — одно из самых важных уравнений в современной физике, напрямую связывающее квантовую информационную запутанность и геометрию пространства-времени (гравитацию). Здесь мы подробно объясним эту концепцию и её математическую основу.

1. Геометризация энтропии запутанности

В квантовой теории поля величиной, измеряющей степень квантовой запутанности между пространственной областью $A$ и внешней областью $B$, является «энтропия запутанности (энтропия фон Неймана)» $S_A = -\text{Tr}(\rho_A \log \rho_A)$. Здесь $\rho_A$ — редуцированная матрица плотности области $A$. Однако в непрерывной квантовой теории поля с взаимодействиями прямое вычисление энтропии запутанности крайне сложно, и во многих случаях возникает проблема ультрафиолетовых расходимостей (бесконечностей).

В 2006 году Синсэй Рю и Тадаси Такаянаги, используя рамки AdS/CFT-соответствия, предложили революционную гипотезу (формулу), согласно которой энтропия запутанности в CFT на границе может быть геометрически вычислена как «площадь минимальной поверхности» в балке (внутреннем пространстве AdS).

Где:

• $S_A$ — энтропия запутанности области $A$ в CFT на границе.
• $\gamma_A$ — минимальная поверхность размерности $(d-1)$ (подобно мыльной пленке), натянутая во внутреннем пространстве (балке). Граница этой поверхности должна совпадать с границей $\partial A$ области $A$ в CFT ($\partial \gamma_A = \partial A$).
• $G_N^{(d+1)}$ — гравитационная постоянная Ньютона в $(d+1)$-мерном пространстве балка.

Многие читатели, увидев форму этой формулы, не смогут скрыть удивления. Это выражение имеет ту же структуру, что и формула энтропии Бекенштейна-Хокинга $S_{BH} = \frac{A}{4G\hbar}$, рассмотренная в главе 2! Термодинамическая энтропия горизонта событий черной дыры и энтропия запутанности квантового поля в вакуумном состоянии были полностью объединены как геометрическая сущность — «площадь», через призму голографического взгляда.

2. Минимальная поверхность и «репличная червоточина»

Формула Рю-Такаянаги первоначально была «гипотезой», основанной на интуиции и различных косвенных свидетельствах, но позже была математически доказана Аароном Уоллом, Александром Малдасеной и Хуаном Малдасеной через гравитационную версию «трюка с репликами (Replica Trick)» (репличная червоточина) с использованием интегралов по траекториям квантовой гравитации.

Трюк с репликами — это метод, в котором, чтобы избежать прямого вычисления $\log \rho_A$, вычисляется след $n$-й степени $\rho_A$, $\text{Tr}(\rho_A^n)$, и затем берется предел при $n \to 1$.

Вычисление $\text{Tr}(\rho_A^n)$ в CFT соответствует вычислению статсуммы на сложной многолистной римановой поверхности, созданной разрезанием исходного пространства-времени по области $A$, подготовкой $n$ копий (реплик) и их сшиванием. Согласно AdS/CFT-соответствию, эта статсумма на границе должна быть равна статсумме теории гравитации в балке (оценка действия в седловой точке), удовлетворяющей граничным условиям.

Малдасена и его коллеги показали, что в гравитационном интеграле по траекториям в балке, когда граница представляет собой $n$ репличных пространств-времен, доминирующим становится решение «червоточины (репличной червоточины)», где $n$ пространств-времен внутри балка соединяются друг с другом. Затем они строго доказали, что при пределе $n \to 1$ геометрическая обратная реакция этой червоточины проявляется именно как «минимальная поверхность $\gamma_A$» из формулы Рю-Такаянаги.

3. Квантовая экстремальная поверхность (QES) и возникновение острова

Формула Рю-Такаянаги применялась, когда гравитация в балке классическая (квантовыми эффектами можно пренебречь). Для рассмотрения таких явлений, как испарение черной дыры (излучение Хокинга), где квантовые эффекты играют существенную роль, потребовалось расширение формулы с включением эффектов квантовой теории поля в балке. Именно этим является рецепт «Квантовой экстремальной поверхности (Quantum Extremal Surface, QES)», предложенный Энгельхардтом и Уоллом в 2014 году.

В формуле QES объектом минимизации становится не просто «площадь», а обобщенная энтропия (Generalized Entropy) $S_{gen}$, состоящая из суммы «площади + квантовой энтропии запутанности в балке».

Где $X$ — поверхность в балке, а $\Sigma_X$ — область пространства балка, заключенная между $X$ и областью $A$ на границе. Находится поверхность $X$, которая экстремизирует (делает стационарной) эту обобщенную энтропию и одновременно минимизирует её (это и есть QES), и значение $S_{gen}$ в этот момент становится энтропией $S_A$ в CFT на границе.

При вычислении энтропии излучения Хокинга внешняя область, собирающая излучение, обозначается как $A$. На начальном этапе QES является тривиальной поверхностью (с нулевой площадью), и энтропия монотонно растет (Кривая Хокинга). Однако после времени Пейджа происходит резкий фазовый переход: «внутри» горизонта событий внезапно появляется нетривиальная QES, для которой значение $S_{gen}$ оказывается меньше (она становится доминирующей).

Область внутри горизонта, ограниченная этой новой QES, и есть тот самый «Остров (Island)». При появлении острова, при вычислении энтропийного члена балка $S_{bulk}$, поскольку частицы внутри острова (упавшие в черную дыру) и излучение Хокинга (вылетевшие наружу частицы) сильно запутаны, сумма энтропий значительно компенсируется и начинает уменьшаться.

Благодаря этому кривая Пейджа, предсказанная Доном Пейджем, была полностью выведена из вычислений теории гравитации. Решение парадокса потери информации вышло за рамки чисто концептуальных дискуссий и было доказано в виде строгих математических формул за счет учета непертурбативного топологического изменения квантовой гравитации — «репличной червоточины». Пространство-время возникает из квантовой запутанности, и сокровенная информация черной дыры безошибочно доставляется на край вселенной по невидимым нитям червоточин.