1. Выражение чисел словами
Мы каждый день выражаем числа не только «арабскими цифрами» (1, 2, 3…), но и с помощью «слов» (на русском, английском, японском и т.д.).
Например, число $10$ можно описать различными словами (для наглядности рассмотрим на примере японского языка):
- «дзю» (じゅう, 3 знака)
- «пять умножить на два» (ごの2ばい, 5 знаков)
- «одна десятая от ста» (ひゃくの10ぶんの1, 9 знаков)
Давайте подумаем о том, как объяснить определенное число с помощью таких японских знаков. Мы установим ограничение на количество знаков. Здесь мы рассмотрим числа, которые можно выразить японским языком, используя «не более 19 знаков».
Естественно, существует предел чисел, которые можно выразить в пределах 19 знаков. Количество видов японских символов (хирагана, катакана, кандзи и т.д.) конечно, и количество их комбинаций длиной не более 19 знаков также конечно (это астрономическое число, но оно не бесконечно).
Иными словами, обязательно должно существовать «огромное целое число, которое никак нельзя выразить на японском языке в пределах 19 знаков».
2. Рождение парадокса
А теперь перейдем к главному. Существует бесчисленное множество «целых чисел, которые нельзя выразить на японском языке в пределах 19 знаков». Предположим, что из этого бесчисленного множества невыразимых чисел мы нашли одно — «самое маленькое (наименьшее целое число)».
Обозначим это число за $X$. Поскольку $X$ по определению является самым маленьким из «чисел, которые нельзя выразить на японском языке в пределах 19 знаков», мы можем назвать его так (записав азбукой):
«дзю-ю-кю-ю-мо-дзи-и-на-и-дэ-а-ра-ва-сэ-на-и-са-и-сё-у-но-сэ-и-су-у» (じゅうきゅうもじいないであらわせないさいしょうのせいすう)
Давайте посчитаем количество знаков: «дзю・у・кю・у・мо・дзи・и・на・и・дэ・а・ра・ва・сэ・на・и・са・и・сё・у・но・сэ・и・су・у» …Ой? Даже без учета знаков препинания здесь 25 символов. Это превышает «19 знаков».
Тогда давайте немного изменим выражение и сделаем его короче, используя иероглифы (кандзи).
「十九文字以内で表せない最小の整数」 (Наименьшее целое число, которое нельзя выразить не более чем девятнадцатью знаками)
А теперь давайте посчитаем количество знаков в этом выражении:
- 十
- 九
- 文
- 字
- 以
- 内
- で
- 表
- せ
- な
- い
- 最
- 小
- の
- 整
- 数
Поразительно, но здесь всего лишь «16 знаков».
Произошло нечто странное. Мы только что выразили число $X$ с помощью «16-значного выражения»: «十九文字以内で表せない最小の整数»!
X = наименьшее целое число, которое нельзя выразить не более чем 19 знаками"] --> CheckLength{"Сколько знаков во фразе
『十九文字以内で表せない最小の整数』?"} CheckLength -->|16 знаков| Contradiction["Противоречие!
X удалось выразить 『16 знаками』!"] Contradiction --> Paradox["X 『нельзя выразить не более чем 19 знаками』, но
『выражается не более чем 19 знаками (16 знаков)』"] style Contradiction fill:#ff9999,stroke:#333 style Paradox fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px
$X$ — это число, которое «нельзя выразить не более чем 19 знаками», но сама фраза этого определения идеально описывает $X$ с помощью «16 знаков (что меньше 19 знаков)». Это и есть «Парадокс Берри (Berry Paradox)».
3. Кто создал этот парадокс?
Этот парадокс был придуман в 1904 году библиотекарем Оксфордского университета по имени Г. Г. Берри (G. G. Berry). Он стал известен во всем мире благодаря тому, что Бертран Рассел, гениальный математик и философ, представляющий 20-й век, упомянул его в одной из своих работ.
(※ В оригинальной статье на английском языке используется выражение “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” (наименьшее целое число, которое нельзя назвать менее чем девятнадцатью слогами), и парадокс построен на количестве слогов в английском языке.)
4. Почему возникло противоречие?
Коренная причина этого парадокса заключается в неоднозначности и самореференции «естественного языка» (японского, английского, русского и т.д.), который мы обычно используем.
Естественный язык не выдерживает математической строгости
В мире математики «определение чисел» — это очень строгий процесс (используются уравнения и символы). Однако в парадоксе Берри была предпринята попытка определить математический объект (целое число) с помощью повседневного языка людей: «можно выразить» и «нельзя выразить».
Повседневный язык очень мощен и гибок, но именно из-за этой гибкости с ним можно проделывать такие акробатические трюки, как «упоминание количества знаков в самом себе». В результате это вызвало логическое противоречие (парадокс самореференции), когда «само определение нарушает правило определения».
Что значит «быть названным»?
Кроме того, определение фразы «можно выразить 16 знаками» также является неоднозначным. Фраза «наименьшее целое число, которое нельзя выразить не более чем 19 знаками» не указывает напрямую на какое-то конкретное число (например, $987654321...$). Она лишь косвенно описывает, что «должно существовать число, удовлетворяющее этому условию».
Математически «выражение в форме, которую можно непосредственно вычислить» и «описание косвенного условия словами» должны быть четко разделены. Логический трюк скрыт в смешивании этих двух понятий и утверждении, что «его удалось выразить 16 знаками!».
5. Заключение и влияние на современность
На первый взгляд парадокс Берри кажется просто «игрой слов» или «загадкой». Однако эта проблема заставила математиков 20-го века глубоко осознать «опасность использования повседневного языка для построения основ математики».
«Нельзя определять числа словами. Математика должна строиться исключительно на строгих и полностью независимых символах».
Этот парадокс стал важным ориентиром, который привел к таким передовым областям знаний, изменившим последующую историю математики, как «Теоремы Гёделя о неполноте» (существуют истины, которые в математике абсолютно невозможно доказать) и «Колмогоровская сложность» (теория о том, насколько кратко можно сжать информацию) в информатике.
Всего 16 знаков японского языка обнажили пределы математики. В этом и заключается красота парадокса Берри.