В истории математики есть деятели, сыгравшие важнейшую роль, даже если иногда они остаются в тени более поздних великих открытий. Французский математик 17-го века Клод Гаспар Баше де Мезириак (Claude Gaspard Bachet de Méziriac, 1581–1638) — один из них. Он известен своим влиянием на Пьера де Ферма, но и его собственные достижения также были обширны и разнообразны.
В этой статье мы подробно остановимся на жизни Баше и его главных математических достижениях.
Жизнь Баше: от дворянина к ученому
Баше родился 9 октября 1581 года в Бурк-ан-Бресе (Bourg-en-Bresse) в центрально-восточной Франции. Его семья принадлежала к богатому дворянству, и ему посчастливилось с ранних лет получить превосходное образование.
Рано потеряв родителей, он воспитывался у иезуитов, обучаясь в Лионе, Милане и других городах. Он недолгое время подумывал о том, чтобы вступить в орден иезуитов и жить как монах, но позже вернулся к светской жизни и посвятил себя академическим исследованиям. Баше преуспел не только в математике, но и в литературе, лингвистике и поэзии, прославившись как переводчик латинских и греческих классиков. В 1635 году он также был избран одним из первых членов престижной Французской академии (Académie Française).
flowchart TD
A["Детство (Родился в 1581 году)"] -->|"Обучение у иезуитов"| B["Мастерство в языках и литературе"]
B -->|"Интерес к древнегреческой математике"| C["Перевод 'Арифметики' Диофанта"]
B -->|"Интерес к головоломкам и играм"| D["Систематизация занимательной математики"]
C -->|"Опубликовано в 1621 году"| E["Огромное влияние на Ферма и других"]
D -->|"Опубликовано в 1612 году"| F["'Приятные и занимательные задачи'"]
Латинский перевод “Арифметики” Диофанта
Одним из самых известных достижений Баше является его перевод «Арифметики» древнегреческого математика Диофанта на латынь, с добавлением комментариев, который был опубликован в 1621 году.
Эта переведенная книга стала стандартным текстом для европейских математиков того времени по изучению древней алгебры и теории чисел. Один из самых известных анекдотов гласит, что Пьер де Ферма написал свою знаменитую «Великую теорему Ферма» на полях своего экземпляра этого издания Баше.
Баше не остановился на простом переводе; он добавил свои собственные превосходные комментарии и обобщения к задачам Диофанта. Без его математических идей развитие теории чисел в 17-м веке могло бы идти гораздо медленнее.
Уравнение Баше
В теории чисел Баше изучал специфическую форму диофантова уравнения, ныне известную как уравнение Баше. Оно представляет собой кубическую кривую (разновидность эллиптической кривой) в следующем виде:
$$ y^2 = x^3 - c $$(Или иногда его пишут как $y^2 = x^3 + k$, где $c$ или $k$ — константы.)
Баше рассматривал геометрические и алгебраические методы (эквивалентные тому, что сейчас называется сложением точек на эллиптических кривых, а именно методу касательных для удвоения), чтобы вывести новые рациональные решения, когда дано конкретное рациональное решение. Это показало путь к генерации бесконечного множества решений диофантова уравнения и стало одной из основ для более поздней теории эллиптических кривых.
Отец занимательной математики: “Приятные и занимательные задачи”
В 1612 году Баше опубликовал книгу под названием “Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres” (Приятные и занимательные задачи, которые решаются с помощью чисел). Это считается первой специализированной книгой по “Занимательной математике” (Recreational Mathematics), изданной в Европе.
Эта книга содержала много математических головоломок, которые остаются популярными и сегодня, такие как головоломка о переправе через реку, задача Иосифа Флавия, методы составления магических квадратов и знаменитая “задача о гирях Баше”.
Задача о гирях Баше
Одной из самых известных задач в его книге является следующая:
Задача: Каково минимальное количество гирь, необходимое для взвешивания любого целого числа фунтов от 1 до 40 на чашечных весах? И каков вес каждой гири? (Предполагается, что гири можно класть на любую из двух чаш весов.)
Решение этой задачи оптимизируется с использованием степеней числа 3. В частности, если у вас есть 4 гири весом $1, 3, 9, 27$ фунтов, вы можете отмерить любой вес от $1$ до $40$.
Математически это эквивалентно выражению чисел в “сбалансированной троичной системе счисления” (Balanced Ternary). Любое целое число $N$ можно выразить с использованием коэффициентов $-1, 0, 1$ следующим образом:
$$ N = a_0 3^0 + a_1 3^1 + a_2 3^2 + a_3 3^3 \quad (a_i \in \{-1, 0, 1\}) $$Здесь $a_i = 1$ означает помещение гири на чашу, противоположную взвешиваемому объекту, $a_i = -1$ означает помещение ее на ту же чашу, а $a_i = 0$ означает, что данная гиря не используется. Задача Баше была блестящим выражением фундаментальной теории систем счисления через игру.
Тождество Баше (Тождество Безу)
Кроме того, Баше доказал теорему, известную в современной математике как “тождество Безу”, для целых чисел более чем за 150 лет до Этьена Безу.
Баше показал, что для любых двух взаимно простых целых чисел $a$ и $b$ всегда существуют такие целые числа $x, y$, которые удовлетворяют следующему уравнению:
$$ ax + by = 1 $$$x$ и $y$ можно конкретно вычислить, используя расширенный алгоритм Евклида, который стал незаменимой фундаментальной теоремой в современной криптографии (такой как RSA). В контекстах, где ценится историческая точность, это иногда называют теоремой Баше.
Заключение
Клод Гаспар Баше не был просто “фигурой за кулисами” Великой теоремы Ферма. Он был великим пионером, который открыл двери в современную математику, возродив древнюю мудрость и одновременно исследуя собственные уравнения и систематизируя занимательную математику. Его комментарии к “Арифметике” и математические головоломки продолжают вдохновлять любителей математики и сегодня, спустя столетия после его смерти.