Математика, Криптография, Квант on kenji.blog

【PQC】Полная картина "постквантовой криптографии", криптографии следующего поколения в эпоху квантовых компьютеров

Sat, 05 Sep 2026 22:09:22 +0900

Введение: «Угроза» криптографическим технологиям со стороны квантовых компьютеров

В настоящее время большинство наших повседневных коммуникаций в интернете — онлайн-банкинг, просмотр веб-сайтов (HTTPS), обмен сообщениями в приложениях, а также транзакции блокчейна и криптоактивов — защищены технологией, известной как «криптография с открытым ключом». В частности, такие алгоритмы, как RSA и криптография на эллиптических кривых (ECC), служат основой, обеспечивающей надежность современного цифрового общества.

Эти методы криптографии основаны на математических проблемах, таких как «факторизация больших простых чисел» и «проблема дискретного логарифма», решение которых на современных классических компьютерах (включая суперкомпьютеры) требует астрономического количества времени. Однако с быстрым развитием квантовых компьютеров в последние годы, этот фундамент будет полностью разрушен, как только они будут внедрены на практике.

В 1994 году Питер Шор (Peter Shor) опубликовал «Алгоритм Шора», математически доказав, что факторизацию и задачу дискретного логарифмирования можно решить за очень короткое время с помощью достаточно мощного квантового компьютера. Это означает риск того, что все зашифрованные коммуникации, защищающие сегодня интернет, будут расшифрованы в будущем (проблема, известная как Y2Q: Years to Quantum, или Q-Day).

Еще более серьезной является проблема так называемого «Harvest Now, Decrypt Later (Собери сейчас, расшифруй позже)». Данные, которые необходимо сохранять в тайне десятилетиями, такие как государственные секреты, интеллектуальная собственность компаний и биометрическая информация лиц, уже могут становиться объектами краж с расчетом на их расшифровку в будущем.

Чтобы противостоять этому беспрецедентному кризису, криптографы и исследовательские институты по всему миру объединяют усилия для разработки криптографических технологий следующего поколения, способных противостоять атакам квантовых компьютеров — постквантовой криптографии (PQC: Post-Quantum Cryptography) . В этой статье мы подробно рассмотрим основы PQC, механизмы работы основных алгоритмов и последние тенденции глобальной стандартизации, продвигаемые Национальным институтом стандартов и технологий США (NIST).

Что такое постквантовая криптография (PQC)?

Постквантовая криптография (Post-Quantum Cryptography, PQC) — это общий термин для криптографических алгоритмов, предназначенных для работы на существующих классических компьютерах, но при этом устойчивых к атакам крупномасштабных квантовых компьютеров в будущем (включая атаки с использованием алгоритма Шора).

Часто путают такие технологии, как «Квантовая криптография (Quantum Cryptography)» и «Квантовое распределение ключей (QKD)», но это совершенно разные подходы. Квантовая криптография (QKD) — это аппаратная технология, использующая законы квантовой механики (например, изменение состояния при наблюдении) для физического исключения прослушивания в каналах связи. Для этого требуются специальные оптоволоконные линии и оборудование, что связано с высокими затратами на внедрение и ограничениями по расстоянию.

С другой стороны, PQC — это программная технология криптографии, основанная исключительно на «математике» . Поэтому её можно внедрить в виде обновлений программного обеспечения в существующую интернет-инфраструктуру, серверы, смартфоны, браузеры и т.д., что делает её применение в реальном мире крайне удобным. ИТ-компании и правительственные учреждения по всему миру считают первоочередной задачей замену (миграцию) используемых сегодня алгоритмов RSA и ECC на PQC.

4 основных математических подхода, на которых базируется PQC

Различные алгоритмы PQC основаны на математических задачах, которые сложно эффективно решить даже с помощью квантового компьютера (например, NP-трудные задачи). Здесь мы представляем 4 основные категории, доминирующие в настоящее время.

Основные подходы к постквантовой криптографии (PQC)

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12


graph LR
 PQC[Постквантовая криптография PQC] --> L[Криптография на решетках Lattice-based]
 PQC --> H[Криптография на хеш-функциях Hash-based]
 PQC --> M[Многомерная криптография Multivariate]
 PQC --> C[Криптография на кодах Code-based]

 L --> L1(FIPS 203: ML-KEM)
 L --> L2(FIPS 204: ML-DSA)

 H --> H1(FIPS 205: SLH-DSA)

 style PQC fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px

1. Криптография на решетках (Lattice-based Cryptography)

В настоящее время «криптография на решетках» является наиболее перспективным и основным направлением в области PQC. Эта криптография основывает свою безопасность на проблемах точек, регулярно расположенных в виде решеток в многомерных пространствах. Известные проблемы включают «Проблему кратчайшего вектора (SVP)» и «Обучение с ошибками (LWE)».

Краткое описание механизма: Представьте себе бесчисленное множество точек, выстроенных в виде решетки в пространстве с очень высокой размерностью (от сотен до тысяч измерений). Найти определенную точку решетки легко в двух или трех измерениях, но в сотнях измерений до сих пор не существует эффективного алгоритма ни для классических, ни для квантовых компьютеров. В частности, проблема LWE использует свойство, согласно которому «намеренное добавление небольшого ‘шума (ошибки)’ к системе линейных уравнений делает угадывание исходных переменных чрезвычайно сложным».

Преимущества:

Применима как для обмена ключами (KEM), так и для цифровых подписей.
Очень высокая скорость обработки (иногда быстрее, чем RSA или ECC).
Сбалансированный размер ключа и шифротекста.

Большинство алгоритмов, стандартизируемых NIST в настоящее время (такие как ML-KEM и ML-DSA), используют криптографию на решетках.

2. Криптография на хеш-функциях (Hash-based Cryptography)

Криптография на хеш-функциях — это алгоритмы PQC, специализирующиеся на цифровых подписях. Их безопасность основана исключительно на устойчивости к коллизиям и односторонности безопасных «криптографических хеш-функций», таких как SHA-2 или SHA-3.

Краткое описание механизма: Отправной точкой является схема одноразовой подписи, называемая «Подписью Лэмпорта (Lamport Signature)», которую можно использовать только один раз. Связывая их в древовидную структуру данных под названием «Дерево Меркла (Merkle Tree)», она позволяет использовать один набор ключей для множества подписей.

Преимущества:

Исключительно надежная основа безопасности, с сильным доказательством того, что «пока хеш-функция безопасна, алгоритм тоже безопасен».
Низкий риск обнаружения неожиданных методов взлома из-за слабой зависимости от математических структур.

Недостатки:

Не может использоваться для обмена ключами (KEM), только для цифровых подписей.
Размер подписи, как правило, большой.
Существуют версии с сохранением состояния (stateful) и без (stateless). В версиях с сохранением состояния (например, XMSS) сложно управлять ключами, что усложняет их внедрение.

NIST стандартизировал «SLH-DSA (ранее SPHINCS+)» в качестве стандарта хеш-подписи без сохранения состояния.

3. Многомерная криптография (Multivariate Cryptography)

Многомерная криптография основывает свою безопасность на трудности решения систем квадратных уравнений с множеством переменных (проблема MQ: Multivariate Quadratic problem). Эта проблема известна как NP-трудная.

Краткое описание механизма: Отправитель создает шифротекст (подпись), подставляя открытый текст (или хеш-значение) в сложное уравнение с множеством переменных, переданное в качестве открытого ключа. Законный получатель владеет «скрытой информацией (лазейкой), преобразующей структуру уравнения в легко решаемую форму» в качестве секретного ключа, и использует её для расшифровки (или проверки подписи).

Преимущества:

Очень маленький размер подписи.
Чрезвычайно высокая скорость проверки подписи. Подходит для IoT-устройств с ограниченными ресурсами.

Недостатки:

Очень большой размер открытого ключа (может достигать от десятков до сотен килобайт).
В прошлом некоторые перспективные алгоритмы (например, Rainbow) были взломаны классическими атаками, что делает создание доверия к их безопасности немного сложнее по сравнению с другими методами.

4. Криптография на кодах (Code-based Cryptography)

Криптография на кодах — это применение теории «кодов с исправлением ошибок», используемых для устранения ошибок в каналах связи. Предложенная в 1978 году «Криптосистема Мак-Элиса (McEliece)» является самой известной и одной из старейших в области PQC.

Краткое описание механизма: Отправитель кодирует открытый текст, используя открытый ключ получателя (генераторную матрицу кода с исправлением ошибок, скрывающую определенную структуру), и намеренно добавляет ошибки (шум) перед отправкой. Получатель использует секретный ключ для устранения ошибок и извлечения текста. Атакующий должен исправить ошибки в случайном коде, не зная его структуры, что называется «задачей синдромного декодирования», которая является NP-трудной.

Преимущества:

Интенсивно изучается на протяжении более 40 лет без нахождения эффективных атак, что гарантирует высокую надежность безопасности.
Высокая скорость процессов шифрования и дешифрования.

Недостатки:

Очень большой размер открытого ключа (может достигать нескольких мегабайт). Поэтому трудно использовать в средах с ограниченной пропускной способностью или памятью (например, при рукопожатии TLS).

Последние тенденции стандартизации PQC в NIST

Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) объявил глобальный конкурс на алгоритмы постквантовой криптографии следующего поколения в 2016 году и провел несколько этапов строгой оценки на протяжении многих лет.

В 2024 году NIST окончательно утвердил следующие три алгоритма в качестве официальных Федеральных стандартов обработки информации (FIPS). Это создает прочную основу для организаций по всему миру, чтобы начать их внедрение в производственных средах.

Утвержденные стандарты FIPS (2024)

FIPS 203: ML-KEM (ранее CRYSTALS-Kyber)
- Назначение: Механизм инкапсуляции ключей (KEM) / Шифрование и обмен ключами
- Базовая технология: Криптография на решетках (Module-LWE)
- Особенности: Предлагает отличный баланс между размером ключа и скоростью, становясь стандартом по умолчанию для обмена ключами PQC в общих интернет-приложениях, таких как веб-коммуникации (TLS) и защищенные мессенджеры.
FIPS 204: ML-DSA (ранее CRYSTALS-Dilithium)
- Назначение: Цифровая подпись
- Базовая технология: Криптография на решетках (Module-LWE)
- Особенности: Основной стандарт для цифровых подписей. Обеспечивает эффективную обработку и станет новым стандартом для всех сценариев использования электронных подписей, таких как подписание программного обеспечения и аутентификация документов.
FIPS 205: SLH-DSA (ранее SPHINCS+)
- Назначение: Цифровая подпись
- Базовая технология: Криптография на хеш-функциях (без сохранения состояния)
- Особенности: Играет важную роль в качестве резервного варианта на случай обнаружения уязвимостей в криптографии на решетках. Хотя размер подписи больше, это подходит для случаев, когда требуется долгосрочная надежность.

Стремление к разнообразию

Хотя NIST завершил начальный процесс стандартизации, поиск дополнительных алгоритмов продолжается. Учитывая сильный уклон стандартов в сторону «криптографии на решетках», обеспечение криптографического разнообразия (Crypto Diversity) считается крайне важным. Ведется оценка криптографии на кодах и других методов в качестве резервных стандартов для обмена ключами, что укрепит основу PQC в будущем.

Сценарии миграции на PQC и вызовы: важность «криптографической гибкости»

С выпуском официальных стандартов NIST, правительственные учреждения, финансовые институты и технологические компании по всему миру начнут ускорять переход с существующих RSA/ECC на PQC. Руководства Агентства национальной безопасности США (NSA) также рекомендуют скорейшее завершение миграции.

Внедрение гибридного подхода

Поскольку алгоритмы PQC являются новыми, они не прошли проверку временем, как классическая криптография. Учитывая риски скрытых ошибок в реализациях или обнаружения новых методов атак, на переходном этапе рекомендуется «гибридный подход» . Этот метод сочетает проверенную криптографию (например, ECDHE) с новыми PQC (например, ML-KEM) для обмена ключами. В настоящее время браузеры и облачные сервисы активно внедряют этот подход в тестовом режиме.

Достижение криптографической гибкости (Crypto-Agility)

Самое важное для компаний и разработчиков систем — обеспечение «криптографической гибкости (Crypto-Agility)» . Важнейшее значение имеет гибкая архитектура системы, позволяющая быстро обновлять или заменять криптографические алгоритмы без остановки системы в случае обнаружения дефектов или появления новых стандартов.

Создание криптографического перечня (CBOM: Cryptography Bill of Materials) для точного понимания того, «где», «какая криптография» и «для какой цели» используется в системе, является важным первым шагом на пути к миграции на PQC.

Заключение: Подготовка к грядущему дню «Q-Day»

Хотя развитие квантовых компьютеров принесет огромную пользу человечеству, это также и величайшая угроза криптографической безопасности — основе нашего цифрового общества. Постквантовая криптография (PQC) больше не является «отдаленной темой исследований будущего». После публикации стандартов FIPS от NIST, PQC вступила в стадию полномасштабного «внедрения и миграции».

Учитывая угрозу «Собери сейчас, расшифруй позже», миграция на PQC — это первоочередная задача, которую любая организация, работающая с конфиденциальными данными, должна начать решать «прямо сейчас». Давайте безопасно преодолеем эпоху квантовых компьютеров, глубоко понимая криптографические технологии следующего поколения и повышая криптографическую гибкость наших систем.

Истинная математическая структура общего метода решета числового поля (GNFS)

Sat, 05 Sep 2026 02:26:13 +0900

Истинная математическая структура общего метода решета числового поля (GNFS)

Конечная цель GNFS — найти $X, Y$ такие, что $X^2 \equiv Y^2 \pmod N$. Для достижения этого математики построили мост между “миром реальных целых чисел” и “миром алгебраических полей”. Этим мостом является «гомоморфизм».

Этап 1: «Гомоморфизм» (Homomorphism), соединяющий миры

1. Выбор многочлена и определение корня

Для гигантского составного числа $N$ мы выбираем некоторое целое число $m$ и многочлен $f(x)$ так, чтобы $f(m) \equiv 0 \pmod N$. (Пример: Разложите $N$ по основанию $m$ и постройте $f(x)$ из его коэффициентов. При этом предполагается, что $f(x)$ неприводим над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$).

Далее, пусть $\alpha$ — один из «комплексных корней» уравнения $f(x) = 0$. Естественно, $f(\alpha) = 0$. $\alpha$ — это не целое число, а сложное число (алгебраическое число), которое может содержать корни или мнимые единицы.

2. Построение кольца (Ring) и гомоморфизма

Здесь мы подготавливаем два математических «кольца» (миры, где определены сложение и умножение):

Мир A: $\mathbb{Z}[\alpha]$ (Кольцо алгебраических целых чисел, содержащее $\alpha$) Это мир чисел, выраженных в виде $a + b\alpha + c\alpha^2 + \dots$.
Мир B: $\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ (Кольцо вычетов по модулю $N$) Мир сравнений (по модулю), состоящий только из целых чисел от $0$ до $N-1$.

Здесь мы определяем отображение (mapping) $\phi$ из Мира A в Мир B следующим образом: $$\phi : \mathbb{Z}[\alpha] \to \mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$$ $$\phi(\alpha) = m \pmod N$$

Это отображение $\phi$ — магическая операция, которая полностью заменяет переменную $\alpha$ в Мире A на целое число $m$ в Мире B. Это $\phi$ обладает чрезвычайно мощным свойством, называемым “Гомоморфизм колец” (Ring Homomorphism). Гомоморфизм — это свойство “перехода в другой мир без разрушения структуры сложения и умножения”. То есть выполняются следующие уравнения:

$\phi(X \times Y) = \phi(X) \times \phi(Y)$
$\phi(X^2) = \phi(X)^2$

Что все это значит? Если мы сможем создать “полный квадрат” ($\gamma^2$) из сложного элемента $\gamma$ в “Мире A” (мире $\alpha$), мы сможем прыгнуть в “Мир B” (мир остатков) с помощью $\phi$, и форма квадрата $\phi(\gamma)^2$ будет идеально сохранена.

Этап 2: Крах разложения на простые множители и рождение «Идеала» (Ideal)

Мы хотим собрать множество подходящих элементов $(a - b\alpha)$ в Мире A ($\mathbb{Z}[\alpha]$) и перемножить их, чтобы получить «полный квадрат» (квадратичный элемент). Обычно мы могли бы разложить собранные $(a - b\alpha)$ на «простые множители» и объединить их так, чтобы все показатели степеней простых чисел стали четными (решается с помощью матриц), создавая таким образом квадрат.

Однако здесь на пути встает стена алгебраического отчаяния. В мире алгебраических полей, таких как $\mathbb{Z}[\alpha]$, “уникальность разложения на простые множители (каждое число может быть представлено как произведение простых чисел только одним способом)”, которую мы изучали в средней школе, полностью рушится.

(Пример: В некоторых мирах алгебраических полей $6 = 2 \times 3$, и в то же время $6 = (1+\sqrt{-5}) \times (1-\sqrt{-5})$, что делает невозможным узнать, какие из них являются истинными простыми числами).

Если разложение на простые множители не уникально, то головоломка “подсчета простых чисел до тех пор, пока их не станет четное количество” (метод решета) принципиально невыполнима.

Спасение Куммера и Дедекинда: «Идеал»

Этот крах был спасен концепцией “Идеала” (Ideal: Идеальное число), созданной математиками 19 века. Вместо того чтобы рассматривать сам элемент, рассматривая “множество кратных (идеал)”, порожденное этим элементом, разложение на простые множители снова стало возможным.

В кольце целых чисел алгебраического поля $\mathcal{O}_K$ (более совершенном кольце, включающем $\mathbb{Z}[\alpha]$), даже если элементы не могут быть однозначно разложены на множители, доказано, что “Идеал всегда может быть однозначно разложен на простые множители как произведение ‘простых идеалов’ ($\mathfrak{p}$)”.

Поэтому в GNFS вместо разложения самого элемента $(a - b\alpha)$ мы выполняем разложение на простые идеалы главного идеала $\langle a - b\alpha \rangle$, который он порождает.

Этап 3: Норма (Norm) и два решета (Sieve)

Тогда как нам узнать, на какие простые идеалы распадается идеал $\langle a - b\alpha \rangle$? Здесь мы используем функцию, называемую “Норма” (Norm). Норма — это функция, которая преобразует сложные элементы алгебраического поля в “обычные целые числа $\mathbb{Z}$” реального мира.

Норма элемента $(a - b\alpha)$ вычисляется с помощью простого многочлена $b^d f(a/b)$ (где $d$ — степень $f(x)$).

Благодаря алгебраической теореме известно, что “если норма идеала может быть полностью разложена на небольшие простые числа (является гладкой), то исходный идеал также может быть полностью разложен на небольшие простые идеалы”.

Поэтому GNFS одновременно вычисляет следующие две вещи для огромного количества пар целых чисел $(a, b)$ и собирает только те пары, где обе являются “гладкими числами”:

Рациональное решето (Rational Sieve): $a - bm$ (значение в реальном мире)
Алгебраическое решето (Algebraic Sieve): $b^d f(a/b)$ (норма в мире алгебраического поля)

Мы собираем десятки миллионов пар $(a, b)$, обе из которых гладкие, решаем данные о разложении идеалов на простые множители (сколько простых идеалов присутствует) в виде гигантской матрицы (линейная алгебра над GF(2)) и находим множество $S$ пар таких, что “при перемножении показатели всех простых идеалов становятся четными”.

Этап 4: Два «Препятствия» и группа классов идеалов

С помощью матричных вычислений мы обнаружили, что умножение всех идеалов $(a - b\alpha)$ во множестве $S$ дает квадрат некоторого идеала $I$.

$$\prod_{S} \langle a - b\alpha \rangle = I^2$$

Но это еще не конец. Самая глубокая и трудная математическая стена в GNFS находится здесь.

В конечном итоге нам нужен не “квадрат идеала”, а “квадрат элемента” ($\gamma^2$) для подстановки в отображение $\phi$. Только потому, что идеал возведен в квадрат, не означает, что сам элемент возведен в квадрат. Здесь существуют два невероятно сильных математических препятствия (Obstructions).

Препятствие 1: Стена группы классов идеалов (Ideal Class Group)

Идеал $I$ не всегда является “идеалом, порожденным одним элементом (главным идеалом)”. Невозможно извлечь конкретный элемент $\gamma$ из идеала, который не является главным.

Здесь появляется концепция “Группы классов идеалов (Class Group, $Cl_K$)”. Группа классов идеалов — это группа, которая измеряет, “сколько неглавных идеалов существует в мире алгебраического поля (насколько разрушена уникальность разложения на простые множители)”. Даже если $\prod \langle a - b\alpha \rangle$ становится $I^2$, если $I$ не является единичным элементом (главным идеалом) в группе классов идеалов, мы не можем вернуть его к квадрату элемента.

Препятствие 2: Стена группы единиц (Unit Group)

Допустим, нам повезло, и $I$ является главным идеалом $\langle \gamma \rangle$. Тогда $\prod \langle a - b\alpha \rangle = \langle \gamma^2 \rangle$. Вы можете подумать: “Отлично, элемент тоже в квадрате!”, но вы глубоко ошибаетесь.

Тот факт, что идеалы (множества кратных) равны, не означает, что элементы полностью равны. Всегда будет сдвиг на “Единицу” (Unit: число, обратное которому также является целым, например 1 или -1). Другими словами, фактическое равенство элементов выглядит следующим образом:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = u \cdot \gamma^2$$

(где $u$ — элемент группы единиц $U_K$)

Если только эта единица $u$ сама не является квадратом чего-либо (квадратичным элементом), левая часть никогда не сможет стать “идеальным квадратом элемента”.

Этап 5: Магия Адлемана «Квадратичные характеры» (Quadratic Characters)

Препятствие группы классов идеалов и препятствие группы единиц. Как нам их преодолеть? Здесь появляется гениальный метод, называемый “Квадратичными характерами” (Quadratic Characters), введенный криптографом Леонардом Адлеманом (буква “A” в RSA) и его коллегами.

Чтобы определить, “является ли элемент полным квадратом в алгебраическом поле”, мы используем версию символа Лежандра (квадратичного вычета) для алгебраических полей. В гигантскую матрицу (головоломку для того, чтобы сделать количество простых идеалов четным) мы тайно добавляем несколько десятков дополнительных условий (столбцов), утверждающих, что “квадратичные характеры для некоторых особых простых идеалов $\mathfrak{q}$ также все становятся равными $1$ (четными)”.

Когда мы находим множество $S$, удовлетворяющее этим дополнительным условиям с помощью матричных вычислений, глубокая теорема алгебраической теории чисел гарантирует, что “как препятствие группы классов идеалов, так и препятствие группы единиц исчезнут естественным образом с подавляющей вероятностью”.

Благодаря этому мы наконец получаем истинное уравнение:

$$\prod_{S} (a - b\alpha) = \gamma^2$$

Финальный этап: Слияние миров и взлом криптографии

Наконец, все кусочки головоломки на месте.

[Элемент в мире алгебраического поля (Мир A)] $\gamma^2 = \prod (a - b\alpha)$ (Используйте алгоритм извлечения квадратного корня, чтобы найти $\gamma$)

[Элемент в реальном мире (мир рациональных чисел)] $V^2 = \prod (a - bm)$ (Это просто обычное умножение целых чисел, поэтому квадратный корень $V$ можно найти легко)

Теперь настало время для работы первого магического моста, который мы создали, гомоморфизма $\phi$. Мы переносим элемент $\gamma$ из Мира A в Мир B (мир остатков $N$) с помощью $\phi$ (отображения, которое подставляет $m$ вместо $\alpha$).

$$Y = \phi(\gamma) \pmod N$$

С другой стороны, мы берем $V$, созданный в реальном мире, прямо в мир остатков и называем его $X$.

$$X = V \pmod N$$

Благодаря свойству гомоморфизма “сохранять структуру”, квадратичное отношение, которое было истинным в Мире A, идеально сохраняется в Мире B (мире по модулю $N$). Более того, поскольку исходные пары $(a, b)$ были сформированы так, чтобы соответствовать как $a - b\alpha$ и $a - bm$, эти $X$ и $Y$ сталкиваются в мире по модулю $N$ и порождают следующее абсолютное уравнение:

$$X^2 \equiv Y^2 \pmod N$$

Теперь остается только молиться, чтобы $X$ и $Y$ не были тривиальными решениями ($X \equiv \pm Y$), а затем мы вычисляем: $\gcd(X - Y, N)$

Если это нетривиальное решение, алгоритм Евклида пронесется за 0,001 секунды, и секретные простые числа $p$ и $q$, которые являются сердцем криптографии RSA, будут выведены на экран.

Это и есть полная картина “Общего метода решета числового поля (GNFS)”, который объединяет в себе суть современной математики.

Принцип Керкгоффса

Wed, 16 Apr 2025 23:53:08 +0900

Принцип Керкгоффса

Всем привет!

Сегодня я бы хотел поговорить о чем-то довольно интересном и на самом деле очень важном — о «Принципе Керкгоффса».

Ой, подождите-ка.
Возможно, кто-то из вас подумал: «Я никогда не слышал о Принципе Керкгоффса, и это звучит слишком сложно…». Не волнуйтесь. Эта статья предназначена именно для вас.

Что значит «Безопасная криптография»?

Например, кто-то подходит к вам и говорит: «Этот сейф может открыть только тот, кто знает секретный способ».

На первый взгляд это звучит очень надежно, не так ли?
Но если задуматься, разве это не вызывает легкого беспокойства?

Типа: «Если этот секрет раскроют, то всему конец, верно?»

На самом деле, именно поэтому и появился Принцип Керкгоффса.

Что же такое «Принцип Керкгоффса»?

Если говорить очень кратко, то это:

Идея о том, что «Криптография должна оставаться безопасной, даже если её механизм раскрыт» .

Точнее говоря, «Безопасность должна зависеть только от “секретного ключа”, и это абсолютно нормально, если сам метод шифрования будет общедоступен!»

И наоборот, «Система, которая полагается только на секретность своего алгоритма (механизма) шифрования, считается ненадежной».

«Безопасно, пока механизм в секрете» — это может быть немного опасно

Вот очень распространенный образ мышления:

«Я никому не показывал внутренности этого приложения, поэтому с безопасностью всё в порядке».

Я понимаю это чувство.
Но это всё равно что сказать: «Поскольку никто его не видел, никто и не найдет уязвимостей, значит, всё хорошо, так?»

В действительности, сам факт того, что «его никто не видел», может стать риском.

Но почему этот принцип так важен?

Причина в том, что если кто-то завладеет механизмом и сможет легко его взломать, то эта криптография потерпит неудачу.

В качестве аналогии представьте себе дверной замок с очень сложным механизмом, который на самом деле можно открыть дубликатом, сделанным в дешевом магазине.

Важно не то, что «Это безопасно, потому что ключ является секретом», а то, что «Даже если показать весь механизм, его невозможно открыть без правильного ключа».

Чувство «Но разве это не страшно?»

В этот момент многие люди чувствуют следующее:

«Раскрыть весь механизм — разве это не страшно?»

Я понимаю эту тревогу.

Ведь вы наверняка подумаете: «Если я всё покажу, разве это не скопируют или не используют во зло?»

Но именно в этом и заключается суть Принципа Керкгоффса.
«Сила, которая не разрушается, даже если показать внутренности» — вот что такое настоящая безопасность.

Тем не менее, поначалу требуется немного смелости

Если поставить себя на место разработчика: «Опубликовать механизм = показать свои слабые стороны», это, безусловно, заставляет нервничать.

Но подумайте об этом.

То, что открыто показывает свой механизм и говорит: «Любой может проверить это», в конечном итоге вызывает больше доверия.

Это ведь похоже на человеческие отношения, не так ли?

«Человек, который показывает свое истинное лицо и с которым всё равно легко ладить» — это тот, с кем чувствуешь себя спокойнее всего.

Вот и всё

Принцип Керкгоффса может звучать немного теоретически, но его суть очень проста.

Всё дело в том, чтобы «Создать механизм, который не сломается, кто бы на него ни посмотрел» .

Правильный дизайн значит больше, чем поверхностные секреты.
Код, который не стыдно показать, лучше, чем код, который вы не хотели бы показывать никому.

Возможно, именно такая «сила» будет всё больше востребована в будущем.

Спасибо за прочтение!

Тема безопасности может быть немного сложной, но в ней есть моменты, которые перекликаются с «человеческими отношениями» и «повседневным чувством безопасности».
Я уверен, что если вы будете изучать её понемногу, не перегружая себя, из этого выйдет что-то хорошее.

Парадокс Монти Холла

Sun, 31 Mar 2024 23:41:51 +0900

Что такое парадокс Монти Холла

Парадокс Монти Холла — это задача, основанная на игре из американского телешоу “Let’s Make a Deal”, которая выглядит следующим образом.

Исходные условия: за одной из трех дверей находится приз, а за двумя другими — ничего.

Участник выбирает одну из трех дверей.
Ведущий открывает одну из двух оставшихся дверей (ту, за которой нет приза).
Участника спрашивают, хочет ли он изменить свой выбор двери.

Задача состоит в том, чтобы решить, лучше ли участнику изменить свой выбор или нет.

Решение

Решение парадокса Монти Холла выглядит следующим образом.

Если участник не меняет дверь, которую он выбрал изначально
- Вероятность выигрыша: 1/3
- Вероятность проигрыша: 2/3
После того как ведущий открывает дверь без приза
- Если не менять выбор, вероятность выигрыша: 1/3 (остается такой же, как в п. 1)
- Если изменить выбор, вероятность выигрыша: 2/3 (вероятность того, что приз не был выбран изначально)

Следовательно, у участника больше шансов на выигрыш, если он изменит свой выбор.

Источники

Wikipedia Monty Hall problem

Как найти простые числа до 1000 с помощью решета Эратосфена

Sun, 09 Apr 2023 12:54:24 +0900

Что такое решето Эратосфена

Решето Эратосфена — это алгоритм для нахождения всех простых чисел до заданного целого числа. Алгоритм прост и может быть реализован с помощью следующих шагов:

Создайте логический (bool) массив из N элементов и инициализируйте все элементы как true.
Установите 0-й и 1-й элементы массива как false (так как 0 и 1 не являются простыми числами).
Если 2-й элемент массива равен true, выведите 2 как простое число.
Установите все элементы, кратные 2, начиная с $2^2$, в false ※
Если 3-й элемент массива равен true, выведите 3 как простое число.
Установите все элементы, кратные 3, начиная с $3^2$, в false.
Повторите тот же процесс для 4-го, 5-го, …, N-го элементов.

※ Причина, по которой мы устанавливаем в false элементы, начиная с квадрата числа, заключается в том, что числа, меньшие квадрата, уже были обработаны (перечисление завершено).

Реализация на Rust

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16


fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![true; n+1];
 is_prime[0] = false;
 is_prime[1] = false;
 for i in 2..=n {
 if is_prime[i] {
 println!("{}", i);
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i;
 }
 }
 }
}

Немного более быстрая версия

Мы реализуем немного более быструю версию, учитывая следующие моменты:

Вместо инициализации массива значением true, инициализируем его значением false (так быстрее).
Поскольку кратные 2 не являются простыми числами, мы опускаем процесс установки кратных 2 в false.
Нет необходимости выполнять цикл до n; если найти простые числа до квадратного корня из n, можно найти все простые числа до n.

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20


fn main() {
 let n = 1000;
 let mut is_prime = vec![false; n+1];
 is_prime[2] = true;
 for i in (3..=n).step_by(2) {
 is_prime[i] = true;
 }
 for i in 3..=((n as f64).sqrt() as usize) {
 if is_prime[i] {
 let mut j = i * i;
 while j <= n {
 is_prime[j] = false;
 j += i * 2;
 }
 }
 }
 for i in (2..=n).filter(|&x| is_prime[x]) {
 println!("{}", i);
 }
}

Источники

Решето Эратосфена

Как рисовать графики с помощью Python (matplotlib.pyplot)

Sun, 09 Apr 2023 01:02:19 +0900

Требования

Аккаунт Google

Шаги

Перейдите на https://colab.research.google.com/
Выберите «Файл» → «Создать блокнот»
Вставьте и выполните следующий код

1
2
3
4
5
6
7


import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 500)
plt.plot(x, np.sin(x), label="sin curve")
plt.plot(x, np.cos(x), label="cos curve")
plt.legend() # отображение легенды
plt.show()

Результат

Ссылки

matplotlib.pyplot — Matplotlib 3.5.3 documentation

Великие математики

Thu, 22 Sep 2022 23:06:37 +0900

Ферма (P. de Fermat, 1601-1665)

Выдающийся французский математик 17-го века. Заложил основы аналитической геометрии, теории вероятностей и исчисления. Также является основателем теории чисел.

Диофант (Diophantus, ок. 207-291)

Греческий математик. Известен введением символики и изучением рациональных решений. Его главный труд — «Арифметика». Область нахождения рациональных решений уравнений называется диофантовым анализом.

Эйлер (L. Euler, 1707-1783)

Король математики родом из Швейцарии. Добился достижений почти во всех областях математики. Оставил более 700 статей и 45 книг.

Лежандр (A. M. Legendre, 1752-1833)

Французский математик. Оставил множество достижений в теории чисел, эллиптических интегралах и задачах притяжения. Термин «теория чисел» происходит от его главного труда «Опыт теории чисел».

Куммер (E. E. Kummer, 1810-1893)

Немецкий математик. Добился больших результатов, применив теорию чисел круговых полей к Великой теореме Ферма.

Декарт (R. Descartes, 1596-1650)

Оригинальный французский философ. Основные труды: «Рассуждение о методе», «Геометрия», «Космология».

Паскаль (B. Pascal, 1623-1662)

Французский философ, известный своими исследованиями в области теории вероятностей и механики жидкостей. Позже присоединился к янсенистам и занялся религиозной деятельностью. В это время были написаны его «Мысли».

Баше (C. G. Bachet, 1581-1638)

Французский аристократ, увлекавшийся числовыми головоломками. Издал латинский перевод «Арифметики» Диофанта и добавил свои исследования в качестве комментариев.

Валлис (J. Wallis, 1616-1703)

Английский математик. В своем главном труде «Арифметика бесконечного» придал математическую форму понятию предела и внес вклад в создание основ дифференциального и интегрального исчисления.

Броункер (W. Brouncker, 1620-1684)

Ирландский аристократ. Первый президент Лондонского королевского общества. Любитель математики, общался с Валлисом и другими.

Лагранж (J. L. Lagrange, 1736-1813)

Французский математик, родившийся в Италии. Сменил Эйлера на посту директора математического отделения Берлинской академии. Добился больших достижений в теории чисел, аналитической механике и др.

Зигель (C. L. Siegel, 1896-1981)

Немецкий специалист по теории чисел. Внес большой вклад в аналитическую теорию чисел.

Фибоначчи (L. Fibonacci, ок. 1175-1250)

Итальянский математик. В своем главном труде «Книга абака» использовал индо-арабские цифры и способствовал их распространению. Также обсуждал конгруэнтные числа в «Книге квадратов».

Бейкер (A. Baker, 1939-)

Английский специалист по теории чисел. Был удостоен Филдсовской премии вместе с Хэйсукэ Хиронакой за вклад в теорию трансцендентных чисел.

Пуанкаре (J. Poincare, 1854-1912)

Французский математик, которого называют последним математиком-универсалом. Оставил выдающиеся труды по теории автоморфных функций, неевклидовой геометрии, дифференциальным уравнениям, небесной механике, электродинамике, а также научно-критические статьи.

Морделл (L. J. Mordell, 1888-1972)

Математик американского происхождения. Его родители — эмигранты из Литвы. Оставил множество статей по теории диофантовых уравнений, но теорема Морделла в теории эллиптических кривых особенно известна. Вейль обобщил ее для случая общих алгебраических кривых, после чего арифметическая алгебраическая геометрия получила бурное развитие.

Вейль (A. Weil, 1906-)

Французский математик еврейского происхождения. В молодости заинтересовался проблемой Ферма, фундаментально пересмотрел алгебраическую геометрию для применения в теории чисел и заложил ее строгие основы. Также известен своими трудами по истории математики.

Мерсенн (M. Mersenne, 1588-1648)

Французский священник ордена минимов. Выступал посредником в переписке между математиками разных стран. Числа, названные числами Мерсенна, на самом деле были придуманы Ферма.

Роберваль (G. P. de Roberval, 1602-1675)

Французский математик. Был едва ли не единственным человеком в то время, получившим должность профессора математики, известен исследованиями циклоиды.

Абель (N. H. Abel, 1802-1829)

Норвежский математик. Добился выдающихся результатов, таких как неразрешимость в радикалах общего уравнения 5-й степени, теория эллиптических функций и теория абелевых интегралов, но умер молодым.

Якоби (K. G. Jacob, 1804-1851)

Немецкий математик еврейского происхождения. Оставил большие достижения в теории эллиптических функций, теории тета-функций, дифференциальных уравнениях и вариационном исчислении. Представил миру достижения Абеля. Известен также тем, что отвергал прагматизм, считая целью науки «честь человеческого духа».

Гаусс (C. F. Gauss, 1777-1855)

Король математики, родившийся в Германии. Известен исследованиями в теории чисел, неевклидовой геометрии, геодезии, гипергеометрических рядах, теории поверхностей и земном магнетизме. Был перфекционистом и не публиковал результаты, пока они не были доведены до совершенства. Главный труд — «Арифметические исследования».

Ламе (G. Lame, 1795-1870)

Французский математик. Внес вклад в теорию упругости, теорию теплопроводности и др.

Лиувилль (J. Liouville, 1809-1882)

Французский математик. Внес вклад в дифференциальные уравнения, теорию трансцендентных чисел и теорию функций.

Коши (A. L. Cauchy, 1789-1857)

Французский математик. Очень плодовит, имеет множество достижений в теоретической физике и математике. Говорят, что во Франции его уважают так же, как Гаусса.

Галуа (E. Galois, 1811-1832)

Французский математик. Введя понятие группы, объяснил теорему Абеля о том, что уравнения 5-й степени и выше в общем виде неразрешимы в радикалах. Погиб на дуэли в молодом возрасте, и сейчас известно, что причиной стала тривиальная ссора из-за женщины.

Гензель (K. Hensel, 1861-1941)

Немецкий математик. Ученик Кронекера. Применив методы теории функций, ввел в теорию чисел p-адическую теорию (p-адический анализ).

Хассе (H. Hasse, 1898-1979)

Немецкий математик. Ученик Гензеля, внес вклад в обоснование p-адического анализа и его применения. Занимался развитием теории полей классов, исследованием L-функций эллиптических кривых и др.

Кронекер (L. Kronecker, 1823-1891)

Немецкий математик еврейского происхождения. Внес вклад в теорию эллиптических функций, теорию чисел и др. Известен тем, что выступал за арифметическое обоснование математики, но его сильный субъективизм, необоснованная критика коллеги по Берлинскому университету Вейерштрасса и препятствование трудоустройству Кантора создали негативный образ его жизни.

Гильберт (D. Hilbert, 1862-1943)

Немецкий математик. Оставил огромный след во всех областях математики, включая теорию инвариантов, алгебраическую теорию чисел и основания математики. 23 проблемы, предложенные им на Международном конгрессе математиков в Париже (1900), оказали большое влияние на развитие математики.

Риман (B. Riemann, 1826-1866)

Немецкий математик. Добился больших результатов, затрагивающих основы математики, таких как понятие римановой поверхности в теории комплексных функций и риманова геометрия.

Фальтингс (G. Faltings, 1954-)

Немецкий математик. Решил гипотезу Морделла в 1983 году.

Уайлс (A. Wiles, 1953-)

Математик британского происхождения. Ведущий специалист в своей области, внесший большой вклад в исследования, такие как главная гипотеза Ивасавы и гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера.

Литература

Великая теорема Ферма решена! От Эйлера до доказательства Уайлса (Издательство Коданся)