Математика・Криптография・Квант on kenji.blog

Действительно ли квантовые компьютеры уничтожат шифрование RSA? ~ Алгоритм Шора и текущий этап ~

Sat, 05 Sep 2026 22:09:21 +0900

Введение: Пересечение криптографии и квантовых компьютеров

В современном интернет-обществе основой защиты секретности связи является «криптография с открытым ключом». Наиболее представительным является шифрование RSA, разработанное в 1977 году Роном Ривестом, Ади Шамиром и Леонардом Адлеманом. От покупок в Интернете и просмотра веб-сайтов (HTTPS) до отправки и получения электронной почты, шифрование RSA служит сердцем интернет-инфраструктуры.

Однако появление «квантовых компьютеров» указывает на возможность того, что эта безопасность может быть разрушена на корню. В СМИ иногда появляются сенсационные заголовки, такие как «Как только квантовый компьютер будет готов, все пароли в мире будут расшифрованы за секунды». Так ли это на самом деле?

В этой статье подробно рассматривается механизм GNFS (Общий метод решета числового поля) как классический метод дешифрования, а также окончательный алгоритм дешифрования с использованием квантовых компьютеров — «Алгоритм Шора» (Shor’s Algorithm). Мы доступно объясним такие концепции, как квантовое преобразование Фурье и поиск периода, и подробно рассмотрим текущее состояние аппаратного обеспечения в эпоху NISQ (Noisy Intermediate-Scale Quantum) и реальные препятствия для взлома RSA-2048.

Основа RSA: Сложность факторизации

Безопасность RSA зависит от математической асимметрии: «Легко перемножить два гигантских простых числа, но крайне сложно найти (факторизовать) исходные простые числа из результата (составного числа)».

Например, пусть есть $ p = 61 $ и $ q = 53 $. Вычисление $ N = p \times q = 3233 $ мгновенно. Однако, если дано только «3233» и нужно найти исходные простые числа, факторизация требует экспоненциально больше вычислений с ростом числа.

В текущем стандарте RSA-2048 используется составное число $ N $ длиной 2048 бит (около 617 десятичных цифр). Если мы сможем факторизовать $ N $, шифр будет взломан.

Классический подход: GNFS (Общий метод решета числового поля)

Для факторизации математики разрабатывали различные алгоритмы. Самым быстрым для классических компьютеров в настоящее время является ** GNFS (General Number Field Sieve) **.

GNFS расширяет вычисления в кольце целых чисел до более абстрактного алгебраического числового поля. Основные этапы:

** Выбор полинома **: Найти полином $ f(x) $, корнем которого является $ N $.
** Сбор данных (просеивание) **: Найти много пар чисел, разложимых на малые простые (гладкие числа). Это самый долгий этап.
** Генерация и редукция матрицы **: Создать гигантскую разреженную матрицу и решить её методами линейной алгебры.
** Вычисление квадратного корня **: Найти факторы (простые множители) $ N $.

Сложность вычисляется как $ O(\exp((\sqrt[3]{\frac{64}{9}} + o(1)) (\log N)^{\frac{1}{3}} (\log \log N)^{\frac{2}{3}})) $ — это «субэкспоненциальное» время.

В 2020 году исследователи успешно факторизовали RSA-250 (829 бит) с помощью GNFS, потратив около 2700 процессоро-лет. Но для 2048 бит требуемые вычисления превышают возраст Вселенной в триллионы раз, что делает классические методы непрактичными.

Козырь квантовых компьютеров: Алгоритм Шора

В 1994 году Питер Шор представил «алгоритм Шора», который решает проблему факторизации на квантовом компьютере за ** полиномиальное время ** ($ O((\log N)^3) $). Это теоретически означает полный взлом RSA.

Общая схема алгоритма Шора

 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10


graph TD
 A[Ввод числа N] --> B[Выбор случайного целого a]
 B --> C{НОД<br>a и N}
 C -->|Больше 1| D[Удача! Найден множитель!]
 C -->|1 Взаимно просты| E[Квантовый компьютер]
 E --> F[Поиск периода r для f_x = a^x mod N<br>через QFT]
 F --> G{Период r четный и<br>a^r/2 ≢ -1 mod N}
 G -->|Да| H[Вычисление НОД gcd_a^r/2 ± 1, N]
 H --> I((Успешная факторизация!))
 G -->|Нет| B

Шаг 1: Сведение к поиску периода (Классическая часть)

Выбираем $ a $, взаимно простое с $ N $. Рассмотрим последовательность: $ f(x) = a^x \pmod N $ Эта функция периодична, и задача — найти её период $ r $. Если период $ r $ найден и он четный, то с помощью: $ (a^{r/2} - 1)(a^{r/2} + 1) \equiv 0 \pmod N $ и алгоритма Евклида мы можем легко найти факторы $ N $.

Шаг 2: Суперпозиция

Квантовый компьютер готовит два регистра. С помощью вентилей Адамара первый регистр переводится в ** состояние равномерной суперпозиции ** всех возможных значений $ x $.

Шаг 3: Квантовое модульное возведение в степень

Параллельно для всех состояний суперпозиции вычисляется $ a^x \pmod N $.

Шаг 4: Квантовое преобразование Фурье (QFT)

Чтобы извлечь информацию о периоде, применяется ** QFT ** к первому регистру. Благодаря конструктивной и деструктивной интерференции, вероятности неправильных периодов гасятся, а вероятность правильного периода $ r $ усиливается.

Шаг 5: Измерение и непрерывные дроби

После применения QFT измерение первого регистра дает значение, из которого классическим методом непрерывных дробей находится точный период $ r $. Имея $ r $, мы получаем множители $ N $.

Возможности и проблемы эпохи NISQ

Будет ли RSA взломан завтра? Ответ — однозначное «Нет», из-за аппаратных ограничений.

Эпоха NISQ

Мы находимся в эре устройств NISQ с десятками/сотнями физических кубитов, подверженных сильному шуму. Декогеренция и ошибки вентилей разрушают результаты сложных алгоритмов вроде алгоритма Шора.

Физические и логические кубиты

Для исправления ошибок требуется “квантовая коррекция ошибок” (например, Surface Code). Для создания одного идеального логического кубита требуется от 1000 до 10000 физических кубитов (оверхед).

Ресурсы для взлома RSA-2048

По оценкам 2021 года от Craig Gidney и Martin Ekerå, для взлома RSA-2048 потребуется:

** Логические кубиты **: ~ 4,096
** Физические кубиты **: ** ~ 20 миллионов ** (при уровне ошибок $10^{-3}$)
** Время вычислений **: ~ 8 часов

В конце 2023 года IBM представила процессор “Condor” с 1,121 кубитом. Масштабирование до ** 20 миллионов ** практических кубитов связано с колоссальными инженерными барьерами. Большинство экспертов считают, что для создания отказоустойчивого квантового компьютера (FTQC) потребуется от 10 до 30 лет или больше.

Угроза “Store Now, Decrypt Later” и эра PQC

Считать, что можно расслабиться на 10 лет, преждевременно. Существует угроза ** “Store Now, Decrypt Later” (Сохрани сейчас, расшифруй позже) **. Злоумышленники собирают и хранят зашифрованные данные, чтобы расшифровать их, как только квантовые компьютеры станут доступны.

В ответ на эту угрозу NIST ускоряет стандартизацию ** Постквантовой криптографии (PQC: Post-Quantum Cryptography) **. Основные направления PQC:

** Криптография на решетках (Lattice-based cryptography) **: На основе задачи LWE (Kyber, Dilithium).
** Криптография на кодах (Code-based cryptography) **: Сложность декодирования кодов.
** Многомерная криптография (Multivariate cryptography) **: Системы квадратных уравнений.
** Хэш-сигнатуры (Hash-based signatures) **: Только на основе хэш-функций.

Основные платформы, такие как Google Chrome и Apple iMessage, уже начали тестировать и внедрять гибридные PQC решения.

Заключение

Квантовые компьютеры переходят из области фантастики в реальную инженерную задачу. Алгоритм Шора — это великое интеллектуальное достижение, объединившее математику и квантовую механику, обладающее разрушительной силой для основ нашего цифрового общества.

RSA не устареет завтра, но в свете угроз вроде “Store Now, Decrypt Later”, масштабный переход криптографии к PQC уже начался. Мы являемся свидетелями смены парадигмы в информационной безопасности.

Что такое парадокс дней рождения?

Tue, 02 Apr 2024 01:20:50 +0900

Вы знаете о парадоксе дней рождения?

Я расскажу немного странную историю. Как вы думаете, сколько людей должно собраться, чтобы “вероятность того, что у кого-то совпадут дни рождения” стала высокой?

Например, в году 365 дней, поэтому когда говорят, что “если соберутся 23 человека, вероятность того, что у кого-то совпадет день рождения, составляет 50% или больше”… это кажется несколько противоречащим интуиции, не так ли?

Но это действительно больше 50%.

Почему так происходит?

Это явление называется “парадоксом дней рождения”. Название содержит слово “парадокс”, но для этого есть веская математическая причина.

Если количество людей обозначить как “n”, то вероятность того, что ни у кого не совпадет день рождения, можно вычислить по следующей формуле:

1

P(ни у кого не совпадает) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × ... × (365 - n + 1)/365

Вычитая это из 1, мы получаем “вероятность совпадения с кем-то”.

Посмотрим на результаты…

Количество человек	Вероятность совпадения дней рождения
10 человек	Около 11.7%
20 человек	Около 41.1%
23 человека	Около 50.7% (Здесь внимание!)
30 человек	Около 70.6%
70 человек	Целых 99.9%!

Другими словами, если есть всего 23 человека, с вероятностью больше половины дни рождения кого-то совпадут. Кажется, это вполне применимо к школьным классам или рабочим совещаниям.

Заключение: разница между интуицией и математикой интересна

“Парадокс дней рождения” — это интересный пример того, как наша интуиция расходится с реальной математической вероятностью. Знание таких вещей может оживить небольшую беседу или викторину!

Полезные ссылки

Парадокс дней рождения (Википедия)

Мои любимые математические формулы

Wed, 05 Oct 2022 13:24:50 +0900

Теорема Вильсона

Пусть $p$ — простое число, тогда выполняется $(p−1)!≡−1 \pmod p$

Формула Эйлера

$e^{iπ}+1=0$

Великая теорема Ферма

Для любого целого числа $n≥3$ не существует таких положительных целых чисел $x,y,z$, которые удовлетворяли бы уравнению $x^n+y^n=z^n$

Базельская проблема

$1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...=π^2/6$

Многочлен Эйлера для генерации простых чисел

$n^2+n+41$ дает простые числа для всех целых $n$ от $0$ до $39$

Фильмы с участием математиков

Mon, 05 Sep 2022 10:41:00 +0900

Вот 3 моих любимых фильма, где главным героем является математик.

Игры разума

Произведение, описывающее половину жизни реального американского гения-математика. Удивительный поворот в конце. Исполнитель главной роли Рассел Кроу отлично справляется со своей ролью.

Энигма

Фильм 2001 года, экранизация романа Роберта Харриса «Энигма». Из Википедии

История о расшифровке шифра, созданного Германией, с помощью шифровальной машины Энигма.

Игра в имитацию

Еще одна история о расшифровке, в которой фигурирует Энигма. Мне нравится мировоззрение того времени.

Человек, который познал бесконечность

Произведение, описывающее общение математика Харди из Кембриджского университета и индийского математика Рамануджана. Вы можете почувствовать красоту математики.

Вселенная Стивена Хокинга

Произведение, описывающее половину жизни доктора Хокинга.