Paradoxo de São Petersburgo: Quanto você pagaria por uma aposta com valor esperado "infinito"?

Thu, 10 Sep 2026 05:00:00 +0900

1. A aposta dos sonhos com valor esperado “infinito”

Enquanto você caminha por um cassino, um crupiê o convida para um novo jogo de cara ou coroa:

【Regras do Jogo】

Você paga uma taxa de inscrição para começar o jogo.
Uma moeda é lançada. Se der Cara, o prêmio dobra e a moeda é lançada novamente.
Se der Coroa, o jogo termina. Você recebe o prêmio acumulado até aquele momento.

O prêmio inicial começa em 2 dólares.

Se der Coroa no 1º lançamento, você ganha 2 dólares e o jogo termina.
Se der Cara no 1º e Coroa no 2º, você ganha 4 dólares e termina.
Se der Cara no 1º e 2º, e Coroa no 3º, você ganha 8 dólares e termina.
…A partir daí, enquanto der Cara, o prêmio dobra infinitamente: 16 dólares, 32 dólares, 64 dólares…

graph TD Start["Início do Jogo"] --> Toss1{"1º Lançamento"} Toss1 -->|Coroa (1/2)| End1["Fim: Ganha 2 dólares"] Toss1 -->|Cara (1/2)| Toss2{"2º Lançamento"} Toss2 -->|Coroa (1/2)| End2["Fim: Ganha 4 dólares"] Toss2 -->|Cara (1/2)| Toss3{"3º Lançamento"} Toss3 -->|Coroa (1/2)| End3["Fim: Ganha 8 dólares"] Toss3 -->|Cara (1/2)| Toss4{"..."} Toss4 -.->|Quanto mais consecutivas| Infinite["O prêmio dobra infinitamente!"]

Agora, uma pergunta para você: Se a taxa de inscrição deste jogo fosse de “10.000 dólares”, você participaria?

Provavelmente, a maioria das pessoas responderia “não participo”. Isso porque, em metade das vezes, o primeiro lançamento será coroa e você receberá apenas 2 dólares, sofrendo um grande prejuízo.

No entanto, se calcularmos fielmente usando a teoria das probabilidades da matemática (valor esperado), um fato surpreendente é revelado. Matematicamente, seja a taxa de inscrição de 10.000 ou 1 milhão de dólares, você deveria fazer um empréstimo com todo o seu patrimônio para participar deste jogo.

Mas por que será?

2. Vamos calcular o valor esperado

Um indicador matemático para julgar se uma aposta é “vantajosa ou desvantajosa” é o “valor esperado”. O valor esperado é um número que representa “quanto você ganharia em média por rodada se repetisse o jogo muitas vezes”. A fórmula é a soma de todos os “(prêmio ganho) × (sua probabilidade)”.

Vamos calcular o valor esperado do nosso jogo.

Probabilidade de dar Coroa na 1ª vez: $\frac{1}{2}$ O prêmio é $2$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na 2ª vez: A sequência é Cara, Coroa, então $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ O prêmio é $4$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na 3ª vez: A sequência é Cara, Cara, Coroa, então $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ O prêmio é $8$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na $n$-ésima vez: $(\frac{1}{2})^n$ O prêmio é $2^n$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dólar

Ou seja, não importa em que rodada termine, o valor esperado de cada padrão é sempre “1 dólar”. Como o jogo pode continuar infinitamente, a soma de todos esses valores esperados fica assim:

$$ \text{Valor Esperado Total} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (infinito)} $$

A resposta calculada pela matemática foi que “o valor esperado deste jogo é infinito”. Como o valor esperado é infinito, independentemente de quão alta seja a taxa de inscrição, logicamente essa é uma “aposta lucrativa”.

Este é o “Paradoxo de São Petersburgo”, proposto por Nicolaus Bernoulli em 1713. Há uma forte contradição entre o resultado matemático correto (o jogo tem valor infinito) e a intuição humana realista (não queremos pagar mais do que alguns dólares).

3. A descoberta da “Utilidade” que resolve a divergência entre matemática e humanos

Quem resolveu este paradoxo foi o primo de Nicolaus, o genial matemático Daniel Bernoulli. (Recebeu este nome porque ele apresentou o artigo na Academia de Ciências de São Petersburgo.)

Daniel se aprofundou na psicologia humana. Ele pensou: “As pessoas não julgam as coisas pelo ‘valor absoluto’ do dinheiro, mas pela ‘satisfação (utilidade)’ que o dinheiro proporciona”.

A isso chamamos de “Lei da Utilidade Marginal Decrescente”.

O valor do dinheiro diminui de acordo com a quantidade que você possui

Por exemplo, quando você está com muita sede no deserto, o 1º copo de água tem um valor (satisfação) pelo qual você pagaria até “10.000 dólares”. No entanto, ao beber o 2º, o 3º, o valor de cada copo de água cai vertiginosamente. No 10º copo, você diria “não quero nem de graça”.

Com o dinheiro é a mesma coisa.

Para uma pessoa com zero economias, ganhar “10.000 dólares” tem um valor imenso que pode salvar sua vida.
No entanto, para Elon Musk, com um patrimônio de bilhões, ganhar “10.000 dólares” tem apenas o valor (satisfação) equivalente a encontrar uma moeda no chão.

Ou seja, mesmo que o prêmio aumente infinitamente de 2 dólares $\rightarrow$ 4 dólares $\rightarrow$ 8 dólares $\rightarrow$ 16 dólares…, a “alegria (utilidade)” sentida pelas pessoas não aumenta infinitamente de forma proporcional ao valor.

4. Recalculando o valor esperado usando “Utilidade”

Daniel Bernoulli presumiu que “o valor (utilidade) do dinheiro sentido pelas pessoas é proporcional ao logaritmo ($\log$) do montante”.

Seja o valor $x$, representamos o valor percebido (utilidade) humano $u(x)$ através de uma função logarítmica (vamos usar um modelo simples com base 2).

Utilidade do prêmio de $2$ dólares: $\log_2(2) = 1$
Utilidade do prêmio de $4$ dólares: $\log_2(4) = 2$
Utilidade do prêmio de $8$ dólares: $\log_2(8) = 3$
Utilidade do prêmio de $2^n$ dólares: $\log_2(2^n) = n$

Enquanto o montante dobra, a “alegria” humana aumenta apenas um pouco: 1, 2, 3… Usando esta “utilidade”, vamos calcular o valor esperado novamente (utilidade esperada).

$$ \text{Utilidade Esperada} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$

Ao calcular a soma desta série infinita, o resultado não é “infinito”, mas converge para “2”. Se calcularmos de volta o valor em dinheiro para a utilidade “2”, teremos $2^2 = 4$ dólares.

Em outras palavras, ao recalcular incorporando a psicologia humana (utilidade), chegamos a uma resposta extremamente sensata e realista: “O valor deste jogo, na percepção humana, é de aproximadamente ‘4 dólares’.” É por isso que não nos sentimos inclinados a pagar 10.000 dólares por este jogo.

5. Resumo: O paradoxo que abriu as portas da Economia

O Paradoxo de São Petersburgo foi um paradoxo inovador que provou matematicamente a divergência entre os números objetivos, chamados de “valor”, e o valor subjetivo humano, chamado de “satisfação”.

O conceito de “Utilidade (Utility)” proposto por Daniel Bernoulli, após 200 anos, tornou-se a base mais importante da microeconomia moderna e da engenharia financeira (como a Teoria do Portfólio). Comportamentos como o de adquirir seguros ou diversificar investimentos podem ser todos explicados por este mecanismo psicológico humano da “utilidade marginal decrescente” (a dor de uma grande perda é muito maior do que a alegria de um grande ganho).

Um simples problema de cálculo de apostas acabou se tornando o gatilho para decifrar a mente humana e dar origem à vasta disciplina da economia.