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O Mestre e o Discípulo, um Julgamento Contraditório Independente do Vencedor: O Paradoxo de Protágoras

Thu, 10 Sep 2026 21:00:00 +0900

Na Grécia Antiga, um jovem chamado Euatlo tornou-se discípulo de Protágoras, o maior dos sofistas (professores de retórica). Entre os dois, foi firmado o seguinte contrato para o pagamento das aulas:

Termos do Contrato: Após concluir o curso completo de retórica, Euatlo pagará o restante das mensalidades a Protágoras no momento em que vencer o seu primeiro julgamento.

Euatlo era um aluno brilhante e concluiu com excelência todo o curso de retórica. No entanto, após a conclusão, por algum motivo, ele não aceitava nenhum caso no tribunal. Como não comparecia a julgamentos, a condição de “vencer o primeiro julgamento” nunca seria satisfeita e, portanto, ele não precisaria pagar as mensalidades.

Protágoras, perdendo a paciência, processou Euatlo no tribunal. “Pague as mensalidades”, exigiu.

E a partir daqui, começa um labirinto lógico.

A Lógica do Mestre Protágoras

No tribunal, Protágoras argumentou da seguinte forma:

“Juízes, de qualquer maneira eu venço.

Se eu vencer este julgamento, pela decisão do tribunal, Euatlo deverá me pagar as mensalidades.
Se eu perder este julgamento, significará que Euatlo ‘venceu o seu primeiro julgamento’. Ou seja, a condição do contrato será satisfeita, e ele deverá pagar as mensalidades conforme o acordo.

Em ambos os casos, ele tem a obrigação de pagar as mensalidades.”

A Lógica do Discípulo Euatlo

Em resposta a isso, Euatlo não ficou atrás:

“Juízes, de qualquer maneira eu venço.

Se eu vencer este julgamento, pela decisão do tribunal, não precisarei pagar as mensalidades.
Se eu perder este julgamento, significará que eu ainda não ‘venci o meu primeiro julgamento’. Ou seja, como a condição do contrato não foi satisfeita, pelo contrato, não tenho a obrigação de pagar as mensalidades.

Em ambos os casos, não preciso pagar as mensalidades.”

graph TD A["Resultado do Julgamento"] --> B["Protágoras Vence"] A --> C["Euatlo Vence"] B --> B1["Veredito: Euatlo deve pagar"] B --> B2["Contrato: Euatlo não venceu → não precisa pagar"] C --> C1["Veredito: Euatlo não precisa pagar"] C --> C2["Contrato: Primeira vitória de Euatlo → deve pagar"] B1 --> D{"Contradição! Veredito vs Contrato"} B2 --> D C1 --> E{"Contradição! Veredito vs Contrato"} C2 --> E style A fill:#ECEFF1,stroke:#333,stroke-width:2px style B fill:#4CAF50,color:#fff style C fill:#2196F3,color:#fff style D fill:#F44336,color:#fff,stroke-width:3px style E fill:#F44336,color:#fff,stroke-width:3px

Por que há contradição?

A causa raiz desse paradoxo está no fato de que dois sistemas de regras diferentes (a lei e o contrato) emitem julgamentos contraditórios entre si.

Regra da lei: Obedecer à decisão do tribunal.
Regra do contrato: Obedecer à condição de “pagar se vencer o primeiro julgamento”.

Normalmente, a lei e o contrato funcionam como domínios independentes. No entanto, como Protágoras transformou o “pagamento das mensalidades” no ponto de disputa do julgamento, o próprio resultado do julgamento acabou influenciando a condição do contrato, fazendo com que os dois sistemas caíssem em um loop autorreferencial.

A Resposta dos Juristas

O jurista da Roma Antiga, Aulo Gélio, apresentou a seguinte solução para este problema:

“O tribunal deve dar o veredito a favor de Euatlo (sem necessidade de pagamento). Isso porque é fato que a condição do contrato ainda não foi satisfeita. No entanto, após esse veredito, Protágoras pode processar Euatlo novamente. Isso porque, com a vitória de Euatlo no primeiro julgamento, a condição do contrato foi preenchida. No segundo julgamento, Protágoras sairá vencedor.”

Em outras palavras, a resposta é que tentar resolver o paradoxo “simultaneamente em um único julgamento” gera contradição, mas se processado “em duas etapas”, a contradição pode ser resolvida.

A Conexão com Paradoxos de Autorreferência

O Paradoxo de Protágoras possui a mesma estrutura de autorreferência de paradoxos como o “Paradoxo do Mentiroso (‘Esta frase é falsa’)” e o “Paradoxo de Russell”. Uma determinada proposição (a conclusão do julgamento) afeta a condição (o cumprimento do contrato) que determina a sua própria verdade ou falsidade.

Esse tipo de paradoxo tem uma profunda conexão com problemas que demonstram os limites fundamentais da lógica e da computação, como o “Problema da Parada” (a impossibilidade de criar um programa que determine se outro programa irá parar ou não) e os Teoremas da Incompletude de Gödel na ciência da computação moderna.

O Paradoxo de Protágoras é um aviso de 2.400 anos atrás que nos ensina que os sistemas de regras criados pelo homem (leis e contratos) podem entrar em colapso interno devido a autorreferências engenhosas.

Quando as palavras descrevem a si mesmas: O Paradoxo de Grelling-Nelson

Thu, 10 Sep 2026 21:00:00 +0900

As palavras são ferramentas para descrever o mundo, mas quando tentamos usá-las para descrever as próprias palavras, a lógica pode cair em armadilhas inesperadas.

Criado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson, o “Paradoxo de Grelling-Nelson” é um famoso paradoxo semântico que expõe exatamente os limites de quando “as palavras definem as palavras”.

Classificando as palavras em dois grupos

Grelling e Nelson propuseram que todos os adjetivos (palavras) podem ser classificados nos dois grupos a seguir:

Autológicas (Autological): A palavra em si possui a propriedade que ela mesma significa.
Heterológicas (Heterological): A palavra em si não possui a propriedade que ela mesma significa.

Vejamos alguns exemplos

Exemplos de palavras autológicas:

“Curto” (short): Esta própria palavra é curta.
“Inglês” (English): Esta própria palavra é inglês.
“Substantivo” (noun): Esta palavra é um substantivo.
“Pentassilábico” (pentasyllabic): Em inglês, “pen-ta-syl-lab-ic” possui 5 sílabas.

Exemplos de palavras heterológicas:

“Longo” (long): Esta palavra em si é curta e não longa.
“Alemão” (German): Esta palavra está em português (ou inglês) e não é alemão.
“Invisível” (invisible): Esta palavra é claramente visível agora na tela ou no papel.

Até aqui parece um mero jogo de palavras. Afinal, todas as palavras devem necessariamente ser classificadas entre aquelas que encarnam o seu próprio significado e as que não o fazem.

A pergunta fatal: O surgimento do paradoxo

Agora, aqui começa o paradoxo. Vamos refletir sobre a seguinte palavra.

A própria palavra “heterológica” (Heterological) é autológica ou heterológica?

Para essa pergunta, depararemo-nos com uma contradição independentemente da resposta que escolhermos.

Caso 1: Supor que “heterológica” é autológica

Se a palavra “heterológica” for “autológica”, por definição, “ela possui a propriedade que ela mesma significa”. Porém, o significado desta palavra é ser “heterológica”. Ou seja, ter a propriedade de ser “heterológica” significa que ela é “heterológica”. Supusemos que fosse autológica, mas o resultado foi que ela é heterológica. (Contradição)

Caso 2: Supor que “heterológica” é heterológica

Se a palavra “heterológica” for “heterológica”, por definição, “ela não possui a propriedade que ela mesma significa”. Como o significado desta palavra é “heterológica”, não ter essa propriedade significa que ela é “autológica”. Supusemos que fosse heterológica, mas o resultado foi que ela é autológica. (Contradição)

Independentemente do caminho escolhido, a lógica entra em colapso.

graph TD A["Palavra 'Heterológica' (Heterological)"] --> B{"Em qual é classificada?"} B -->|É autológica| C["Definição: Possui a propriedade do seu próprio significado"] C --> D["Seu significado é 'heterológica'"] D --> E["Resultado: É heterológica!"] E -->|Contradição| B B -->|É heterológica| F["Definição: Não possui a propriedade do seu próprio significado"] F --> G["Seu significado é 'heterológica'"] G --> H["Resultado: É autológica!"] H -->|Contradição| B style A fill:#4CAF50,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style B fill:#FF9800,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style E fill:#F44336,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff style H fill:#F44336,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#fff

Conexão com a Matemática e a Lógica: Um parente do Paradoxo de Russell

Este paradoxo não é um simples erro de cálculo ou ilusão como o “enigma do dólar desaparecido”. Ele possui essencialmente a mesma estrutura do Paradoxo de Russell (“O conjunto de todos os conjuntos que não contêm a si mesmos contém a si mesmo?”), que abalou os fundamentos da matemática.

O paradoxo de Grelling-Nelson pode ser considerado a versão semântica (do significado das palavras) do paradoxo de Russell.

O Paradoxo de Russell na Teoria dos Conjuntos:

$$ R = \{ x \mid x \notin x \} $$

Ao definir tal conjunto, questionar se $R \in R$ ou $R \notin R$ resulta em uma contradição.

O Paradoxo de Grelling-Nelson na Semântica: Quando definimos $Het(x)$ como “a palavra $x$ não possui a propriedade $x$ (é heterológica)”,

$$ Het(\text{"Het"}) \iff \neg Het(\text{"Het"}) $$

caímos em uma contradição lógica.

Por que este paradoxo é importante?

Quando a linguagem se refere a si própria (autorreferência), existe sempre o perigo oculto de ocorrer um erro semelhante a um loop infinito.

Este não é um problema exclusivo da filosofia ou da linguística. No campo da ciência da computação e da inteligência artificial, enfrentamos barreiras lógicas semelhantes quando um programa tenta avaliar ou modificar o seu próprio código, ou quando modelos de processamento de linguagem natural tentam interpretar contradições de significado.

O paradoxo de Grelling-Nelson é um experimento mental que visualiza de forma brilhante os “bugs” (limites) inerentes ao próprio sistema da “linguagem”.

O Paradoxo de Berry: A contradição que surge ao tentar definir "números" com "palavras"

Thu, 10 Sep 2026 11:00:00 +0900

1. Expressando números com palavras

Diariamente, nós expressamos os números não apenas usando “algarismos arábicos (1, 2, 3…)”, mas também usando “palavras (japonês, português, inglês, etc.)”.

Por exemplo, o número “$10$” pode ser expresso de várias maneiras usando palavras, como a seguir:

“dez” (3 letras)
“o dobro de 5” (12 letras)
“um décimo de 100” (15 letras)

Desta forma, vamos pensar em explicar um certo número usando “caracteres da língua japonesa”. Estabeleceremos um limite para o número de caracteres que podem ser usados. Aqui, consideraremos os números que podem ser expressos em japonês com “19 caracteres ou menos”.

Naturalmente, existe um limite para os números que podem ser expressos com 19 caracteres ou menos. Isso ocorre porque os tipos de caracteres japoneses (hiragana, katakana, kanji, etc.) são finitos, e as combinações de organizá-los em 19 caracteres ou menos também são finitas (pode ser um número astronômico, mas não é infinito).

Em outras palavras, sempre existirá “um número inteiro gigante que simplesmente não pode ser expresso em japonês com 19 caracteres ou menos”.

2. O nascimento do paradoxo

Agora, aqui está o ponto principal. Existem inúmeros “números inteiros que não podem ser expressos em japonês com 19 caracteres ou menos”. Suponha que, dentre essa infinidade de números inexprimíveis, encontremos “o menor deles (o menor inteiro)”.

Vamos chamar esse número de $X$. Como $X$ é, por definição, o menor dos “números que não podem ser expressos em japonês com 19 caracteres ou menos”, podemos chamá-lo da seguinte forma (em hiragana):

「じゅうきゅうもじいないであらわせないさいしょうのせいすう」 (O menor inteiro não expressável em dezenove caracteres ou menos)

Vamos contar o número de caracteres. “じゅ・う・きゅ・う・も・じ・い・な・い・で・あ・ら・わ・せ・な・い・さ・い・しょ・う・の・せ・い・す・う” …Oh? Mesmo sem pontuação, há 25 caracteres. Isso já ultrapassa os “19 caracteres”.

Então, vamos criar uma expressão um pouco melhor e encurtá-la usando kanji (ideogramas):

「十九文字以内で表せない最小の整数」

Agora, por favor, tente contar o número de caracteres nesta frase em japonês:

Surpreendentemente, são apenas “16 caracteres”.

Algo estranho aconteceu. Nós acabamos de expressar o número $X$ usando “16 caracteres em japonês”, que é a frase “十九文字以内で表せない最小の整数”!

graph TD Define["Definição:
X = O menor inteiro não expressável em 19 caracteres ou menos"] --> CheckLength{"Qual é o número de caracteres da frase
'十九文字以内で表せない最小の整数'?"} CheckLength -->|São 16 caracteres| Contradiction["Contradição!
X pôde ser expresso com '16 caracteres'!"] Contradiction --> Paradox["X 'não pode ser expresso em 19 caracteres ou menos', mas
'pôde ser expresso em 19 caracteres ou menos (16 caracteres)'"] style Contradiction fill:#ff9999,stroke:#333 style Paradox fill:#ff4444,color:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px

$X$ é um número que supostamente “não pode ser expresso em 19 caracteres ou menos”, mas as próprias palavras dessa definição expressam $X$ perfeitamente em “16 caracteres (o que é 19 caracteres ou menos)”. Este é o “Paradoxo de Berry” (Berry Paradox).

3. Quem criou este paradoxo?

Este paradoxo foi concebido em 1904 por um bibliotecário da Universidade de Oxford chamado G. G. Berry. Ele se espalhou pelo mundo depois de ser introduzido em um artigo do gênio matemático e filósofo representativo do século XX, Bertrand Russell.

(* No artigo original em inglês, foi usada a expressão “The least integer not nameable in fewer than nineteen syllables” (O menor inteiro não nomeável em menos de dezenove sílabas), e foi criada de modo que o paradoxo funcione com o número de sílabas em inglês.)

4. Por que a contradição ocorreu?

A causa fundamental desse paradoxo reside na ambiguidade e na autorreferência das “linguagens naturais (japonês, inglês, etc.)” que usamos normalmente.

A linguagem natural não suporta o rigor da matemática

No mundo da matemática, “definir um número” é uma tarefa extremamente rigorosa (usando equações e símbolos). No entanto, no Paradoxo de Berry, houve uma tentativa de definir um objeto matemático (um inteiro) usando a linguagem cotidiana humana, como “pode ser expresso” ou “não pode ser expresso”.

A linguagem cotidiana é muito poderosa e flexível, mas, devido a essa flexibilidade, é possível fazer acrobacias como “fazer referência ao seu próprio número de caracteres”. Como resultado, isso causou uma autocontradição (um paradoxo de autorreferência) onde “a própria definição quebra a regra da definição”.

O que significa “ser nomeável”?

Além disso, a definição das palavras “pode ser expresso em 16 caracteres” também é ambígua. A frase “o menor inteiro não expressável em 19 caracteres ou menos” não aponta diretamente para um número específico (como, por exemplo, o número $987654321...$). Apenas descreve indiretamente afirmando que “deve haver um número que satisfaça a condição”.

Matematicamente, “expressar algo diretamente em uma forma calculável” e “declarar uma condição indireta em palavras” devem ser claramente distinguidos. O truque lógico está escondido no fato de confundir essas duas coisas e insistir que “pôde ser expresso em 16 caracteres!”.

5. Resumo e o impacto na era moderna

À primeira vista, o Paradoxo de Berry pode parecer apenas um “jogo de palavras” ou um “enigma”. No entanto, esse problema serviu como um catalisador para fazer os matemáticos do século XX reconhecerem profundamente “o perigo de construir os fundamentos da matemática usando a linguagem cotidiana”.

“Não se deve definir números com palavras. A matemática deve ser construída inteiramente com símbolos rigorosos e independentes.”

Este paradoxo tornou-se um importante marco que levou a estudos avançados que mudariam a história posterior da matemática, como os “Teoremas da Incompletude de Gödel” (existem verdades na matemática que não podem ser absolutamente provadas) e a “Complexidade de Kolmogorov” na ciência da computação (a teoria de quão curta a informação pode ser comprimida).

Apenas 16 caracteres de japonês revelaram os limites da matemática. Essa é a beleza do Paradoxo de Berry.

O Paradoxo do Teste Surpresa: O dia em que um teste logicamente "absolutamente impossível" acontece

Thu, 10 Sep 2026 10:00:00 +0900

1. A “Declaração Absoluta” do Professor

No caminho de volta para casa, em uma sexta-feira, o professor de matemática fez uma declaração assustadora para os alunos.

“Na próxima semana, em algum dia de segunda a sexta-feira, farei um ’teste surpresa’ apenas uma vez. No entanto, se na manhã desse dia vocês puderem prever com certeza que ‘hoje é o dia do teste’, não será uma surpresa e, portanto, o teste não será realizado nesse dia.”

Ao ouvir essa declaração, os alunos estremeceram. Isso porque eles teriam que viver com medo todos os dias, sem saber quando o teste ocorreria. No entanto, o aluno A, o mais inteligente da classe, de repente sorriu e se levantou.

“Pessoal, podem ficar tranquilos. É absolutamente impossível que haja um teste surpresa na próxima semana. É logicamente impossível!”

O aluno A, cheio de confiança, começou a escrever a seguinte “lógica perfeita” no quadro-negro.

2. A Prova pela “Lógica Perfeita” do Aluno A

A prova do aluno A usa uma técnica matemática de raciocinar de trás para frente (inferência reversa) a partir de “Sexta-feira”.

Passo 1: Eliminar a possibilidade da sexta-feira

Suponha que o teste não tenha sido realizado durante os 4 dias de segunda, terça, quarta e quinta-feira. Então, o único dia restante é a “Sexta-feira”. Na manhã de sexta-feira, os alunos poderão prever com certeza: “Como hoje é o único dia restante, sem dúvida o teste é hoje!”. De acordo com a declaração do professor, “o teste não será realizado em dias que puderem ser previstos”, portanto, é logicamente impossível realizar o teste surpresa na sexta-feira. Logo, absolutamente não haverá teste na sexta-feira.

Passo 2: Eliminar a possibilidade da quinta-feira

Está confirmado que não haverá teste na sexta-feira. Isso significa que o último dia em que o teste pode ser realizado é a “Quinta-feira”. Suponha que o teste não tenha sido realizado durante os 3 dias de segunda, terça e quarta-feira. Então, a única possibilidade restante é a quinta-feira (já que a sexta-feira foi eliminada). Na manhã de quinta-feira, os alunos poderão prever com certeza: “O teste é hoje!”. Logo, também absolutamente não haverá teste na quinta-feira.

Passo 3: Todos os dias da semana desaparecem

Basta repetir a mesma lógica. Se não há quinta-feira, o último dia passa a ser quarta-feira. Portanto, se não houver teste até terça-feira, isso poderá ser previsto na manhã de quarta-feira, eliminando também a quarta-feira. Se a quarta-feira for eliminada, a terça-feira também será, e a segunda-feira também. Conclusão: Desde que as regras do professor sejam seguidas, é absolutamente impossível realizar um teste surpresa em qualquer dia de segunda a sexta-feira!

graph TD Fri["Manhã de sexta-feira
(Sem teste de seg a qui)"] -->|Previsível que 'só resta sexta'| NoFri["Teste impossível na sexta-feira"] Thu["Manhã de quinta-feira
(Sem teste de seg a qua)"] -->|Previsível que 'não é sexta, então só pode ser hoje'| NoThu["Teste impossível na quinta-feira"] Wed["Manhã de quarta-feira"] -->|Previsível que 'não é qui nem sex, então só pode ser hoje'| NoWed["Teste impossível na quarta-feira"] Tue["Manhã de terça-feira"] -->|Igualmente previsível| NoTue["Teste impossível na terça-feira"] Mon["Manhã de segunda-feira"] -->|Igualmente previsível| NoMon["Teste impossível na segunda-feira"] NoFri -.-> Thu NoThu -.-> Wed NoWed -.-> Tue NoTue -.-> Mon style NoFri fill:#ff9999,stroke:#333 style NoThu fill:#ff9999,stroke:#333 style NoWed fill:#ff9999,stroke:#333 style NoTue fill:#ff9999,stroke:#333 style NoMon fill:#ff9999,stroke:#333

Os alunos da classe comemoraram. A lógica do aluno A parecia perfeita e não tinha brechas. Eles passaram o fim de semana brincando alegremente e chegaram à segunda-feira sem estudar nada para o teste.

Segunda-feira… não houve teste. “Estão vendo!” Terça-feira… não houve teste. “O aluno A tinha razão!”

E então, na manhã de quarta-feira. A porta da sala de aula se abriu de repente, e o professor entrou dizendo:

“Muito bem, guardem tudo em cima das mesas. Vamos começar o teste surpresa agora!”

Os alunos entraram em pânico. “C-Como assim!? Que haveria um teste na quarta-feira, ninguém tinha previsto de forma alguma!”

O professor sorriu. “Viram só? Vocês não conseguiram prever, não é? A minha ‘declaração’ estava completamente correta, e o teste surpresa se concretizou de acordo com as regras.”

3. Onde afinal a lógica falhou?

Embora a prova do aluno A parecesse perfeita, por que na realidade um “teste perfeitamente surpresa” se concretizou? Esse problema é originalmente chamado de “Paradoxo do Enforcamento Inesperado” e, desde que foi proposto pelo matemático sueco Lennart Ekbom na década de 1940, continua a intrigar filósofos e lógicos.

Na verdade, ainda não existe um consenso unificado que diga “esta é a única resposta absolutamente correta” para este paradoxo. No entanto, existem algumas abordagens promissoras para resolvê-lo.

Abordagem 1: “O Paradoxo do Conhecimento (Epistemologia)”

A maior armadilha no raciocínio do aluno A foi ter incorporado a premissa de que “a declaração do professor é 100% verdadeira” em suas próprias previsões.

A declaração do professor consiste em duas condições: “O teste será realizado na próxima semana (P)” e “Não será realizado nos dias em que puder ser previsto (Q)”. Se o teste não tiver ocorrido até sexta-feira, os alunos pensariam “se a declaração for verdadeira, só pode ser hoje”, mas ao mesmo tempo surgiria a dúvida: “Se pudermos prever que é hoje, isso viola o Q da declaração. Então, a própria declaração P (de que o teste seria realizado) não seria uma mentira desde o início?”.

Como resultado do conflito entre a crença de que “as palavras do professor são absolutamente corretas” e o “raciocínio lógico”, os alunos chegaram à conclusão errônea (crença) de que “o professor não fará o teste”, e, como consequência disso, sempre que o teste fosse aplicado, seria uma situação “inesperada (surpresa)”.

Abordagem 2: “O Paradoxo da Autorreferência”

Vamos converter as palavras do professor em uma fórmula lógica. Seja $S$ a afirmação do professor. $S = $ “Eu farei um teste em um dia $T$. E vocês não poderão prever esse dia $T$.”

Esta afirmação tem uma “estrutura autorreferencial”, cuja verdade ou falsidade muda dependendo de como os próprios alunos percebem a afirmação (declaração). Assim como o “Paradoxo do Mentiroso (‘Esta frase é falsa’)”, tem a propriedade de colocar o raciocínio lógico em um loop infinito.

4. “Testes Surpresa” no Cotidiano

Esse paradoxo se aplica não apenas à matemática, mas também à nossa vida cotidiana.

[O Dilema da Festa Surpresa]

Suponha que um amigo declare: “Este mês, faremos uma festa surpresa para o seu aniversário!”. Ao ouvir isso, você tenta adivinhar todos os dias: “Será hoje? Será amanhã?”. Se a festa não acontecer até o último dia do mês, você raciocinará que, para satisfazer a condição de “surpresa (imprevisível)”, ela absolutamente não poderá ser realizada no último dia… Mas na realidade, se um bolo aparecer de repente no meio do mês, você terá um choque genuíno: “Eu realmente me surpreendi!”, recebendo uma surpresa perfeita.

5. Conclusão

O “Paradoxo do Teste Surpresa” expressa brilhantemente a dificuldade de incluir o próprio estado de ‘saber (prever)’ em cálculos lógicos.

O que consideramos um “raciocínio perfeito” pode não passar de um castelo de areia construído sobre a crença infundada de que “a outra pessoa seguirá as regras rigorosamente”. Da próxima vez que um professor disser “Vou fazer um teste surpresa”, parece que o mais racional a se fazer é parar de complicar a lógica e simplesmente estudar obedientemente todos os dias.