1. A aposta dos sonhos com valor esperado “infinito”
Enquanto você caminha por um cassino, um crupiê o convida para um novo jogo de cara ou coroa:
【Regras do Jogo】
- Você paga uma taxa de inscrição para começar o jogo.
- Uma moeda é lançada. Se der Cara, o prêmio dobra e a moeda é lançada novamente.
- Se der Coroa, o jogo termina. Você recebe o prêmio acumulado até aquele momento.
O prêmio inicial começa em 2 dólares.
- Se der Coroa no 1º lançamento, você ganha 2 dólares e o jogo termina.
- Se der Cara no 1º e Coroa no 2º, você ganha 4 dólares e termina.
- Se der Cara no 1º e 2º, e Coroa no 3º, você ganha 8 dólares e termina.
- …A partir daí, enquanto der Cara, o prêmio dobra infinitamente: 16 dólares, 32 dólares, 64 dólares…
Agora, uma pergunta para você: Se a taxa de inscrição deste jogo fosse de “10.000 dólares”, você participaria?
Provavelmente, a maioria das pessoas responderia “não participo”. Isso porque, em metade das vezes, o primeiro lançamento será coroa e você receberá apenas 2 dólares, sofrendo um grande prejuízo.
No entanto, se calcularmos fielmente usando a teoria das probabilidades da matemática (valor esperado), um fato surpreendente é revelado. Matematicamente, seja a taxa de inscrição de 10.000 ou 1 milhão de dólares, você deveria fazer um empréstimo com todo o seu patrimônio para participar deste jogo.
Mas por que será?
2. Vamos calcular o valor esperado
Um indicador matemático para julgar se uma aposta é “vantajosa ou desvantajosa” é o “valor esperado”. O valor esperado é um número que representa “quanto você ganharia em média por rodada se repetisse o jogo muitas vezes”. A fórmula é a soma de todos os “(prêmio ganho) × (sua probabilidade)”.
Vamos calcular o valor esperado do nosso jogo.
Probabilidade de dar Coroa na 1ª vez: $\frac{1}{2}$ O prêmio é $2$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $2 \times \frac{1}{2} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na 2ª vez: A sequência é Cara, Coroa, então $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ O prêmio é $4$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $4 \times \frac{1}{4} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na 3ª vez: A sequência é Cara, Cara, Coroa, então $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$ O prêmio é $8$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $8 \times \frac{1}{8} = 1$ dólar
Probabilidade de dar Coroa na $n$-ésima vez: $(\frac{1}{2})^n$ O prêmio é $2^n$ dólares. Contribuição para o valor esperado = $2^n \times (\frac{1}{2})^n = 1$ dólar
Ou seja, não importa em que rodada termine, o valor esperado de cada padrão é sempre “1 dólar”. Como o jogo pode continuar infinitamente, a soma de todos esses valores esperados fica assim:
$$ \text{Valor Esperado Total} = 1 + 1 + 1 + 1 + \dots = \infty \text{ (infinito)} $$A resposta calculada pela matemática foi que “o valor esperado deste jogo é infinito”. Como o valor esperado é infinito, independentemente de quão alta seja a taxa de inscrição, logicamente essa é uma “aposta lucrativa”.
Este é o “Paradoxo de São Petersburgo”, proposto por Nicolaus Bernoulli em 1713. Há uma forte contradição entre o resultado matemático correto (o jogo tem valor infinito) e a intuição humana realista (não queremos pagar mais do que alguns dólares).
3. A descoberta da “Utilidade” que resolve a divergência entre matemática e humanos
Quem resolveu este paradoxo foi o primo de Nicolaus, o genial matemático Daniel Bernoulli. (Recebeu este nome porque ele apresentou o artigo na Academia de Ciências de São Petersburgo.)
Daniel se aprofundou na psicologia humana. Ele pensou: “As pessoas não julgam as coisas pelo ‘valor absoluto’ do dinheiro, mas pela ‘satisfação (utilidade)’ que o dinheiro proporciona”.
A isso chamamos de “Lei da Utilidade Marginal Decrescente”.
O valor do dinheiro diminui de acordo com a quantidade que você possui
Por exemplo, quando você está com muita sede no deserto, o 1º copo de água tem um valor (satisfação) pelo qual você pagaria até “10.000 dólares”. No entanto, ao beber o 2º, o 3º, o valor de cada copo de água cai vertiginosamente. No 10º copo, você diria “não quero nem de graça”.
Com o dinheiro é a mesma coisa.
- Para uma pessoa com zero economias, ganhar “10.000 dólares” tem um valor imenso que pode salvar sua vida.
- No entanto, para Elon Musk, com um patrimônio de bilhões, ganhar “10.000 dólares” tem apenas o valor (satisfação) equivalente a encontrar uma moeda no chão.
Ou seja, mesmo que o prêmio aumente infinitamente de 2 dólares $\rightarrow$ 4 dólares $\rightarrow$ 8 dólares $\rightarrow$ 16 dólares…, a “alegria (utilidade)” sentida pelas pessoas não aumenta infinitamente de forma proporcional ao valor.
4. Recalculando o valor esperado usando “Utilidade”
Daniel Bernoulli presumiu que “o valor (utilidade) do dinheiro sentido pelas pessoas é proporcional ao logaritmo ($\log$) do montante”.
Seja o valor $x$, representamos o valor percebido (utilidade) humano $u(x)$ através de uma função logarítmica (vamos usar um modelo simples com base 2).
- Utilidade do prêmio de $2$ dólares: $\log_2(2) = 1$
- Utilidade do prêmio de $4$ dólares: $\log_2(4) = 2$
- Utilidade do prêmio de $8$ dólares: $\log_2(8) = 3$
- Utilidade do prêmio de $2^n$ dólares: $\log_2(2^n) = n$
Enquanto o montante dobra, a “alegria” humana aumenta apenas um pouco: 1, 2, 3… Usando esta “utilidade”, vamos calcular o valor esperado novamente (utilidade esperada).
$$ \text{Utilidade Esperada} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( n \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \right) $$ $$ = 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{8} + 4 \cdot \frac{1}{16} + \dots $$Ao calcular a soma desta série infinita, o resultado não é “infinito”, mas converge para “2”. Se calcularmos de volta o valor em dinheiro para a utilidade “2”, teremos $2^2 = 4$ dólares.
Em outras palavras, ao recalcular incorporando a psicologia humana (utilidade), chegamos a uma resposta extremamente sensata e realista: “O valor deste jogo, na percepção humana, é de aproximadamente ‘4 dólares’.” É por isso que não nos sentimos inclinados a pagar 10.000 dólares por este jogo.
5. Resumo: O paradoxo que abriu as portas da Economia
O Paradoxo de São Petersburgo foi um paradoxo inovador que provou matematicamente a divergência entre os números objetivos, chamados de “valor”, e o valor subjetivo humano, chamado de “satisfação”.
O conceito de “Utilidade (Utility)” proposto por Daniel Bernoulli, após 200 anos, tornou-se a base mais importante da microeconomia moderna e da engenharia financeira (como a Teoria do Portfólio). Comportamentos como o de adquirir seguros ou diversificar investimentos podem ser todos explicados por este mecanismo psicológico humano da “utilidade marginal decrescente” (a dor de uma grande perda é muito maior do que a alegria de um grande ganho).
Um simples problema de cálculo de apostas acabou se tornando o gatilho para decifrar a mente humana e dar origem à vasta disciplina da economia.