1. As regras do estranho experimento

Você (a Bela Adormecida) foi escolhida como cobaia de um experimento científico. O experimento ocorre de domingo a quarta-feira. Na noite de domingo, dão a você uma pílula para dormir e você adormece.

Após você adormecer, o experimentador joga uma moeda justa (uma moeda em que a probabilidade de dar cara ou coroa é de exatamente 1/2). Então, dependendo do resultado, ele a acordará de acordo com o seguinte cronograma:

[Caso o resultado da moeda seja “Cara”]

• Você será acordada apenas uma vez na segunda-feira e farão uma pergunta. Em seguida, será colocada para dormir novamente e não acordará até o fim do experimento (quarta-feira).

[Caso o resultado da moeda seja “Coroa”]

• Você será acordada na segunda-feira e farão uma pergunta. Depois, darão a você um medicamento especial (um remédio para apagar a memória) e você voltará a dormir.
• Na terça-feira, você será acordada mais uma vez e farão a mesma pergunta. Em seguida, voltará a dormir, o que encerra o experimento (quarta-feira).

*Nota: Devido ao efeito do remédio para apagar a memória, ao acordar, você não consegue se lembrar absolutamente de “que dia da semana é hoje” ou “se já foi acordada antes”.

Então, na segunda-feira (ou terça-feira), você acorda. Não há relógio nem calendário no quarto, e você não sabe que dia da semana é hoje.

O experimentador entra e faz a seguinte pergunta: “Na condição em que você se encontra agora, acordada, qual você acha que é a probabilidade de a moeda jogada ter dado ‘Cara’?”

Você é uma bela conhecedora de matemática. E então, o que você responde?

2. O embate entre duas facções: 1/2 ou 1/3

Este problema foi concebido na década de 1990 e publicado em uma revista acadêmica pelo filósofo Adam Elga no ano 2000. A probabilidade da moeda parece óbvia, mas na verdade, devido a esse problema, matemáticos, estatísticos e filósofos do mundo todo se dividiram exatamente ao meio em dois grupos: os “Metadistas (1/2)” (“Halfers”) e os “Terceiristas (1/3)” (“Thirders”). Eles continuam travando um debate acalorado até hoje.

Vamos ouvir a “lógica perfeita” de cada grupo.

O argumento dos “Metadistas (1/2)” (“Halfers”)

“Como a moeda é justa e não viciada, a probabilidade de dar cara é naturalmente 1/2. Não importa quantas vezes o experimentador me acorde depois que eu dormir, ou que apague minha memória, isso não afeta em nada o resultado físico da moeda. A probabilidade no momento em que a moeda foi lançada é de 1/2, e o fato de eu acordar não me fornece nenhuma nova informação (nenhuma dica para inferir se foi cara ou coroa). Portanto, a probabilidade permanece 1/2.”

Essa é uma opinião muito sensata que valoriza o fenômeno físico objetivo e a não atualização de informações.

O argumento dos “Terceiristas (1/3)” (“Thirders”)

“O próprio fato de você estar ‘acordada’ é uma informação que altera a probabilidade. Suponha que repetíssemos esse experimento 100 vezes (durante 100 semanas). A moeda deverá dar ‘Cara’ 50 vezes e ‘Coroa’ 50 vezes.

• Nas 50 semanas em que sai Cara, você acorda apenas 1 vez, na segunda-feira $\rightarrow$ O número de vezes em que acorda com ‘Cara’ é 50 vezes
• Nas 50 semanas em que sai Coroa, você acorda 2 vezes, na segunda e na terça-feira $\rightarrow$ O número de vezes em que acorda com ‘Coroa’ é 100 vezes

Em outras palavras, em um total de 150 situações de despertar, o ‘padrão de acordar com Cara’ ocorre 50 vezes e o ‘padrão de acordar com Coroa’ ocorre 100 vezes. Portanto, a probabilidade do despertar que você está vivenciando agora ser ‘Cara’ é 50 / 150 = 1/3!”

Essa é uma opinião poderosa, baseada no “frequentismo” ou no “princípio antrópico”, que incorpora a própria situação de “estar existindo (observando) agora” como um elemento do espaço de probabilidades no cálculo.

3. Tentando calcular com o Teorema de Bayes

Há também tentativas de resolver esse problema usando o “Teorema de Bayes”, uma ferramenta matemática para atualizar probabilidades. Vamos organizar a lógica dos “Terceiristas (1/3)” sob a perspectiva da probabilidade condicional.

O estado em que se encontra ao acordar é um dos três seguintes:

1. $E_1$: A moeda deu “Cara”, e agora é “Segunda-feira”
2. $E_2$: A moeda deu “Coroa”, e agora é “Segunda-feira”
3. $E_3$: A moeda deu “Coroa”, e agora é “Terça-feira”

A probabilidade de sair “Cara” é de $1/2$, e a de “Coroa” é de $1/2$. Porém, no caso de coroa, como “segunda-feira” e “terça-feira” são perfeitamente simétricas (não é possível distingui-las por falta de memória), considera-se que a probabilidade de ocorrer $E_2$ e $E_3$ seja igual.

Como a soma total das probabilidades deve ser $1$, se atribuirmos cada despertar como um “evento (ponto de observação)” independente com igual probabilidade, teremos: $P(E_1) = 1/3$ $P(E_2) = 1/3$ $P(E_3) = 1/3$ Assim, a conclusão é que a “probabilidade de ter sido Cara ($P(E_1)$)” é $1/3$.

Por outro lado, os “Metadistas (1/2)” argumentam que, para começar, “a segunda e a terça-feira quando a moeda dá coroa ($E_2$ e $E_3$) são apenas eventos dependentes derivados do mesmo resultado único da moeda, e contá-los como probabilidades independentes é um erro”.

4. Por que esse problema não é resolvido?

O motivo pelo qual o “Problema da Bela Adormecida” perturba tanto os acadêmicos não se deve a um mero erro de cálculo ou ilusão. A razão é que esse problema toca na questão fundamental e mais profunda da teoria das probabilidades, ou seja, na pergunta filosófica: “O que exatamente é a probabilidade?”

• Para os Metadistas (1/2), a probabilidade é uma “propriedade física da moeda” ou um “fato objetivo”.
• Para os Terceiristas (1/3), a probabilidade é o “grau de crença do observador (a Bela)” ou a “frequência observada”.

Temas profundos que remetem ao “problema da medição” na mecânica quântica e ao “princípio antrópico” na cosmologia (a ideia de deduzir a probabilidade do universo a partir do fato de existirmos) estão condensados neste simples experimento de cara ou coroa.

5. Conclusão

Se você fosse a cobaia desse experimento, responderia “1/2” ou “1/3” ao acordar?

Qualquer que seja a sua resposta, haverá matemáticos de primeira linha no mundo para defendê-la. Como uma definição matemática aparentemente simples pode desmoronar assim que se vincula aos conceitos incômodos da “subjetividade” e “existência” humanas. Os paradoxos continuam a abalar o nosso senso comum todos os dias.