Introdução: O que é um Passeio Aleatório?

Um passeio aleatório é um conceito matemático referente a um movimento em que a próxima posição é determinada aleatoriamente (probabilisticamente). Muitas vezes é chamado de “caminhada do bêbado”.

Formulação Matemática (1D)

Suponha uma partícula na origem $x = 0$. Ela se move para a direita $+1$ ou para a esquerda $-1$ com probabilidade igual.

$$ X_i = \begin{cases} +1 & (\text{probabilidade } 1/2) \\ -1 & (\text{probabilidade } 1/2) \end{cases} $$

A posição após $n$ passos é:

$$ S_n = X_1 + X_2 + \dots + X_n = \sum_{i=1}^n X_i $$

  flowchart LR
    A["Posição 0"] -->|"+1 (Probabilidade 1/2)"| B["Posição +1"]
    A -->|"-1 (Probabilidade 1/2)"| C["Posição -1"]
    B -->|"+1"| D["Posição +2"]
    B -->|"-1"| A
    C -->|"+1"| A
    C -->|"-1"| E["Posição -2"]
    %% Diagrama de fluxo do movimento 1D

Valor Esperado e Variância

O valor esperado é $0$, mas a variância é $n$.

Equação de Difusão

O limite contínuo do passeio aleatório leva à Equação de Difusão:

$$ \frac{\partial P}{\partial t} = D \frac{\partial^2 P}{\partial x^2} $$

  stateDiagram-v2
    direction LR
    state "Visão Microscópica" as Micro {
        [*] --> PasseioAleatorio
        PaseoAleatorio --> PassosDiscretos
    }
    state "Visão Macroscópica" as Macro {
        [*] --> EquacaoDifusao
        EquacaoDifusao --> PropagacaoContinua
    }
    Micro --> Macro : "Limite Contínuo (Δx, Δt → 0)"
    %% Transição do discreto para o contínuo

Movimento Browniano e o Teorema de Pólya

O Teorema da Recorrência de Pólya afirma que em 1D e 2D a probabilidade de retornar à origem é 100%, mas em 3D ou mais, é menor que 1.

  flowchart TD
    Start["Início na Origem"] --> Dim12{"1D ou 2D?"}
    Dim12 -- "Sim" --> Ret12["Retorna com prob. 1 (Recorrente)"]
    Dim12 -- "Não (3D ou mais)" --> Ret3["Probabilidade < 1 (Transitório)"]
    %% Ramificação do teorema de Polya

Simulação com Python

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import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def simulate_random_walk_2d(steps):
    """
    Função para simular passeio aleatório em 2D
    """
    directions = np.array([[1, 0], [-1, 0], [0, 1], [0, -1]])
    random_steps = np.random.randint(0, 4, size=steps)
    movements = directions[random_steps]
    path = np.vstack([[0, 0], np.cumsum(movements, axis=0)])
    return path

steps = 50000
path = simulate_random_walk_2d(steps)

plt.figure(figsize=(10, 10))
plt.plot(path[:, 0], path[:, 1], alpha=0.6, color='royalblue', linewidth=0.5)
plt.scatter(0, 0, color='red', marker='x', s=150, label='Início', zorder=5)
plt.scatter(path[-1, 0], path[-1, 1], color='darkorange', marker='o', s=100, label='Fim', zorder=5)

plt.title(f"2D Random Walk ({steps} steps)", fontsize=16)
plt.xlabel("Eixo X", fontsize=12)
plt.ylabel("Eixo Y", fontsize=12)
plt.legend(fontsize=12)
plt.grid(True, linestyle='--', alpha=0.7)
plt.axis('equal')
plt.show()